«ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПОСОБИЕ по изучению дисциплины, выполнению лабораторных работ и домашних заданий для студентов III курса ...»

Аппроксимация функции – это приближенная замена заданной сложной функциональной зависимости более простой функцией: алгебраическим полиномом (многочленом), тригонометрическим полиномом, или какой-либо другой функцией, которую можно построить с помощью метода наименьших квадратов. Но в любом случае подбор подходящего класса (вида) функциональной зависимости осуществляется исходя из ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ аппроксимируемой зависимости.

Метод наименьших квадратов основан на отыскании таких значений параметров a функциональной зависимости (x,a) заданного вида, которые минимизируют величину суммы квадратов отклонений вычисленных значений функции от соответствующих наблюдаемых значений:

Поэтому все параметры a j функции (x,a) определяются из условия минимума функции нескольких аргументов, т.е. из системы уравнений:

В важном частном случае полиномиальной аппроксимации (многочленами) в результате несложных преобразований получается "система нормальных уравнений метода наименьших квадратов":

которая в развернутом виде выглядит следующим образом:

Таким образом, задача аппроксимации, например, экспериментальной зависимости полиномом m-ой степени сводится к решению системы неоднородных линейных алгебраических уравнений с m+1 неизвестными коэффициентами полинома.

Полярой самолета называется графическое изображение взаимной зависимости коэффициента аэродинамической подъемной силы cya и коэффициента аэродинамического лобового сопротивления cxa (рис. 1). Поляра характеризует летные качества самолета и имеет некоторые характерные свойства.

Во-первых, поляра – выпуклая кривая, т.е. у нее нет точек перегиба. Вовторых, у нее есть точка минимального значения cxa. Эту точку аэродинамикиэкспериментаторы называют "носиком поляры".

Наличие минимального значения cxa означает возможность использовать соответствующую ориентацию самолета относительно воздуха для того, чтобы производить полет на выгодном режиме с минимальным сопротивлением.

Обычно такой режим близок к крейсерскому, совершаемому на большой высоте с большой скоростью V. Большая скорость полета соответствует большому знаV чению числа Маха M, где a – скорость звука.

Однако основным условием полета самолета на любых режимах является уравновешивание веса подъемной силой Ya, рассчитываемой в аэродинамике по следующей формуле:

где mg – вес самолета, S – площадь крыла, – плотность воздуха. Поэтому для того, чтобы летать на выгодных режимах с минимальным cxa, необходимо иметь достаточное для выбранной скорости полета положительное значение cya. Так как крейсерский полет совершается на большой скорости, то "носик поляры" располагается при небольших значениях коэффициента подъемной силы cya.

Экспериментальная поляра самолета получается продувками модели в аэродинамической трубе. В каждой продувке после вывода установки на режим заданного числа Маха замеры сил производятся на всех возможных углах атаки модели. В реальном полете далеко не весь этот диапазон может быть реализован. Так, например, при больших числах Маха (при большой скорости полета) нельзя реализовать большие значения коэффициента подъемной силы cya, так как возникающая при этом большая подъемная сила (больше веса) создает большую перегрузку, угрожающую разрушением конструкции самолета. При малых числах Маха невозможен полет на малых cya, так как недостаток подъемной силы приведет к падению самолета. Поэтому для расчетов используется лишь та часть полученного в экспериментах диапазона значений коэффициента подъемной силы cya, которая соответствует числу Маха.

Таким образом, аппроксимация экспериментальной поляры, призванная играть роль модели, ДОЛЖНА ОБЛАДАТЬ ВСЕМИ НЕОБХОДИМЫМИ

ХАРАКТЕРНЫМИ СВОЙСТВАМИ ПОЛЯРЫ ЛИШЬ В ТОЙ ЧАСТИ,

ДЛЯ КОТОРОЙ ОНА СЛУЖИТ.

Лабораторная работа № 1 выполняется с помощью учебной программы, реализующей метод наименьших квадратов для отыскания коэффициентов аппроксимирующего полинома 2-й, 3-й и 4-й степеней по "экспериментальной" зависимости.

1) С помощью программы получить результаты аппроксимации поляры самолета Ту-134А полиномами 2-й, 3-й и 4-й степени.

2) Проанализировать пригодность каждой из них с точки зрения физичности отображаемой зависимости, свойств аппроксимирующей зависимости и точности приближения. При этом обратить внимание на:

– диапазон эксплуатационных значений cya (оценивается по числу М и составляет не менее 6 точек из представленной таблицы – сверху, снизу или в середине);

– положение точек перегиба на аппроксимациях;

– положение точек экстремумов на аппроксимациях;

– положение экстремума на экспериментальной поляре;

– погрешности аппроксимации;

– простоту расчетов аппроксимирующего многочлена.

3) Оценить степень достоверности отдельных точек в экспериментальной зависимости (например, если для всех полиномов погрешность высока – более 5 % – и имеет один знак, то доверие к такой экспериментальной точке невелико, и на ее основе делать выводы не следует).

4) Определить наиболее приемлемую по совокупности качеств аппроксимацию и предложить аргументированное обоснование.

Форма отчетности: итоговая таблица аппроксимации НА ЭКРАНЕ ДИСПЛЕЯ и устные аргументированные выводы по результатам анализа приближения.

Дисперсионный анализ результатов измерений Цель лабораторной работы: проведение дисперсионного анализа результатов дефектоскопии размера трещины с целью выявления ее роста в течение срока эксплуатации.

После обнаружения трещины в некотором силовом элементе планера самолета проводятся плановая ее дефектоскопия после каждых 2 посадок. В данной лабораторной работе таких плановых работ, характеризующих фактор времени, проводится 9 (k = 9). Каждый раз замеры трещины проводятся 5-кратно (все Ni = n = 5) для определения среднего значения. Всего замеров N = kn. Результаты приводятся к начальному размеру трещины, т.е. фиксируются относительные значения размера трещины.

Для эксплуатации ЛА важно знать, растет ли со временем трещина. Если роста сверх допустимого размера нет, то эксплуатация безопасна. Если рост заметен, то при достижении трещиной определенного размера необходимо проводить ремонтные работы. Непосредственно по результатам замеров установить факт роста трещины на практике чрезвычайно трудно. Это объясняется значительной погрешностью приборов и слабой скоростью развития трещины. Поэтому необходимо проведение статистического анализа.

Дисперсия некоторого объема данных характеризует разброс, "размазанность" значений вокруг среднего. Поэтому выявление факта зависимости результатов такого однофакторного эксперимента от исследуемого фактора (числа посадок) осуществляется с помощью дисперсионного анализа. Для этого результаты замеров располагают в виде матрицы y ij, где каждая строка соответствует определенному циклу замеров (после 2, после 4 и т.д. посадок), а номер позиции в строке соответствует порядковому номеру единичного замера из 5 в цикле.

По элементам этой матрицы рассчитываются частные дисперсии:

МЕЖГРУППОВАЯ, отражающая разброс средних (по циклам замеров) экспериментальных данных между собой из-за влияния исследуемого фактора:

и ОСТАТОЧНАЯ, отражающая разброс результатов единичных опытов вокруг средних по циклам экспериментальных данных каждого цикла, обусловленная неконтролируемой погрешностью эксперимента:

Оценку значимости исследуемого фактора (времени эксплуатации) получают с помощью критерия Фишера для сравнения двух дисперсий при заданном уровне значимости :

– если межгрупповая дисперсия ЗНАЧИМО БОЛЬШЕ остаточной:

то влияние фактора существенно и его необходимо учитывать;

– если межгрупповая дисперсия ЗНАЧИМО МЕНЬШЕ остаточной:

то влияние фактора несущественно и им можно пренебречь;

– в остальных случаях, когда нельзя говорить о ЗНАЧИМОМ превосходстве одной из дисперсий над другой, влияние исследуемого фактора сравнимо с погрешностью эксперимента или влиянием неучтенных факторов, поэтому конкретный вывод невозможен.

На рис. 2 показаны примеры различных случаев экспериментальных данных, характеризующихся различными соотношениями дисперсий. По оси абсцисс отложены лишь номера уровней исследуемого входного фактора, но не его физическая величина – так обычно строятся исследования в дисперсионном анализе, чтобы не привносить лишней информации.

Основываясь лишь на зрительном восприятии этого рисунка, нельзя сказать, существует ли зависимость функции, отложенной по ординате, от параметра, отложенного по абсциссе. Этого нельзя сказать даже в том случае, если расположить очередность уровней исследуемого входного фактора в порядке возрастания частных средних, соответствующих этим уровням, которые на рисунке обозначены кружочками и соединены сплошной линией. Несмотря на это дисперсионный анализ позволяет сделать достаточно уверенный вывод о влиянии исследуемого входного фактора на выходной.

8,07 F1 ( N k, k 1) 5,15, что свидетельствует о значительном влияsA нии неучтенных факторов, которые "забивают" возможную зависимость от исследуемого входного фактора. В этих условиях естественно считать эту зависимость несущественной. В случае "б" больше уже межгрупповая дисперсия, но отношение дисперсий не достигает критического значения по критерию Фишера: s A 1, 21 F1 ( k 1, N k ) 3,04, следовательно, сделать уверенный выs вод о влиянии или невлиянии исследуемого входного фактора нельзя. В случае "в" межгрупповая дисперсия не только больше, но и значимо больше остаточной: s A 9,02 F1 ( k 1, N k ) 3,04, поэтому необходимо сделать вывод о существенности влиянии исследуемого входного фактора.

Значимое превосходство одной из дисперсий определяется с помощью таблицы распределения Фишера, в которой приведены критические значения ОТНОШЕНИЯ БОЛЬШЕЙ ДИСПЕРСИИ К МЕНЬШЕЙ для уровня значимости 0,01 и двух чисел степеней свободы f1 и f2. Для межгрупповой дисперсии число степеней свободы определяется величиной (k – 1), а для остаточной – величиной k·(n – 1). Таким образом, о значимом превосходстве одной из дисперсий можно говорить, когда соответствующее их расчетное отношение превышает критическое, определенное по таблице распределения Фишера.

Таблица критических значений распределения Фишера f2 – число степеней свободы f1 – число степеней свободы для большей дисперсии Лабораторная работа № 2 выполняется с помощью имитатора результатов дефектоскопии. Он позволяет:

– сымитировать данные замеров трещины;

– вычислить средние значения замеров в цикле дефектоскопии;

– вычислить межгрупповую и остаточную дисперсии;

– вычислить их отношения друг к другу.

1) Получить с помощью расчетной части программы результаты замеров и их обработки.

2) Выявить бльшую дисперсию и выписать в отчет соответствующее отношение дисперсий (большее 1).

3) Определить числа степеней свободы для каждой из полученных дисперсий.

4) По таблице, приведенной в описании лабораторной работы, найти критическое значение критерия Фишера.

5) Обосновать вывод о наличии или отсутствии роста трещины.

Форма отчетности: формулы для межгрупповой и остаточной дисперсий;

числа степеней свободы межгрупповой и остаточной дисперсий; выражение критерия Фишера и числовые значения его частей; вывод о наличии или отсутствии роста трещины.

Ознакомление с программой GARLINA для приема зачета Цель лабораторной работы: Ознакомиться и отработать навыки работы с программой GARLINA для приема зачета.

Работа проводится в компьютерном классе в режиме, имитирующем зачет.

Отчетность не требуется.