WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Содержание 1 Тропическая прямая 2 2 Тропическое полуполе 5 3 Тропические многочлены и тропические кривые 5 4 Диаграмма Ньютона и её разбиение 8 5 Задача перечисления ...»

-- [ Страница 1 ] --

Тропическая геометрия

М.Э.Казарян

Содержание

1 Тропическая прямая 2

2 Тропическое полуполе 5

3 Тропические многочлены

и тропические кривые 5

4 Диаграмма Ньютона и её разбиение 8

5 Задача перечисления плоских алгебраических кривых 10 6 Тропическое вырождение комплексных кривых 12 7 Перечисление тропических кривых 15 8 Вещественные алгебраические кривые и склейка Виро 20 9 Перечисление вещественных нодальных кривых и инвариант Вельшенжера 10 Заключительные замечания Аннотация Двумерная комплексная геометрия изучает гладкие комплексные кривые на плоскости, заданные многочленом фиксированной степени. Топологические инварианты кривой не меняются при непрерывном изменении коэффициентов многочлена, пока кривая остается гладкой. Один из возможных способов изучения кривых состоит в том, чтобы рассмотреть предельные значения коэффициентов, при которых кривая становится особой.

В некоторых случаях исследование особой кривой проще, и это дает информацию об исходной невырожденной кривой.

Тропическая геометрия — это способ решения задач комплексной геометрии при помощи «сверхвырождения» кривой, при котором она уже перестает быть, собственно говоря, комплексной, а описывается графом с прямыми ребрами на вещественной евклидовой плоскости. В результате задача сводится к абсолютно элементарному комбинаторному исследованию полученных графов.

Благодаря большому количеству приложений, а также удачному громкому названию (не имеющему отношения к существу дела) тропическая геометрия приобрела большую популярность в последние годы.

В приведённых записках тропическая геометрия рассматривается на примере решения следующей задачи: найти количество комплексных кривых фиксированной степени на плоскости, имеющих заданное число двойных точек и проходящих через заданный набор точек общего положения.

1 Тропическая прямая «Тропическая геометрия» появилась изначально в теории информации и получила свое название по месту работы бразильского профессора Имре Саймона, работавшего в этой области. В настоящее же время тропическая геометрия обычно упоминается в связи с её приложениями к алгебраической геометрии и к содержанию предмета её название отношения не имеет. Простейшим объектом тропической геометрии является тропическая прямая, изображённая на рис. 1.

Это объединение трёх лучей на обычной вещественной плоскости, выходящих из           Рис. 1: Тропическая прямая одной точки, один из которых направлен строго влево, другой строго вниз, а третий — вправо вверх под углом ровно 45. Различные тропические прямые получаются друг из друга параллельным переносом. Таким образом, множество всех тропических прямых само образует пространство R2. Термин «прямая» обосновывается следующими неожиданными, на первый взгляд, свойствами:

• любые две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке;

• через любые две точки общего положения на плоскости проходит единственная тропическая прямая.

Условие общности положения важно, но не является слишком ограничительным. Рассмотрим какую-нибудь вырожденную конфигурацию, например, предположим, что заданные две точки находятся на одной горизонтальной прямой.

Пошевелив слегка эти две точки, мы получаем невырожденную конфигурацию, для которой проходящая через них прямая определена уже однозначно. Нетрудно заметить, что имеется единственное предельное положение этой прямой при стремлении пошевелённых точек к исходному положению (найдите его!). Таким образом, из всех тропических прямых, содержащих исходные две точки необщего положения, имеется одна, наиболее предпочтительная.

На первый взгляд, тропическая прямая мало чем напоминает обычную, к которой мы привыкли еще со школьной программы. В действительности же, тропическая прямая является своего рода бесконечным вырождением обычной (правда, комплексной) прямой, так что приведённые выше свойства являются следствиями соответствующих свойств прямых в классической геометрии. К описанию связи тропической геометрии с классической мы и перейдем.

Рассмотрим обычную комплексную плоскость C2 с комплексными координатами X, Y (строчные буквы x, y мы зарезервируем для обозначения вещественных координат на вещественной тропической плоскости R2 ). Рассмотрим пару точек P1 и P2 с координатами (X1, Y1 ) и (X2, Y2 ), соответственно, и прямую L, проходящую через эти две точки. Эта прямая задается линейным уравнением X X1 Y Y =.

X2 X1 Y2 Y Нас интересуют комплексные решения этого уравнения. Всякое комплексное число X представимо в виде X = r, где — комплексное число единичной длины, называемое фазой, а r 0 — вещественное число, называемое амплитудой.

Предположив, что r 0, мы можем положить r = tx, где t 1 — фиксированное вещественное число и x R. В соответствии с этим, положим Pi = (i txi, i tyi ), |i | = |i | = 1, (xi, yi ) R2, i = 1, 2. Тогда уравнение прямой L принимает вид A X + B Y + C = 0, (1) где, скажем, A = 1/(X2 X1 ) = 1/(2 tx2 1 tx1 ), и аналогично для коэффициентов B и C. Предположим теперь, что фазы i, i и показатели амплитуд xi, yi точек P1 и P2 фиксированы, а величина t меняется. В результате мы получаем семейство прямых L(t), зависящих от вещественного параметра t.

Нас интересует поведение этих прямых при t. Заметим, что коэффициент A = A(t) уравнения для кривой L(t) ведет себя при больших t как степенная функция вида const t. Действительно, при x2 x1 мы имеем tx2 1 x A(t) = t, 2 1 tx1 x2 поскольку tx2 x1 0. Поэтому в данном случае мы получаем = x2. В случае x2 x1 мы имеем аналогичное представление с = x1. Аналогичные вычисления приводят к асимптотическим разложениям вида B const t, C const t.

Положив, также, X = tx, Y = ty, где || = || = 1, мы можем приближённо переписать левую часть равенства (1) в виде где комплексные числа a, b, c, хотя и содержат неизвестные фазы и, являются отличными от нуля и ограниченными константой, не зависящей от t. Если показатели x +, y +, и все различны, то из трёх мономов, участвующих в последнем выражении, один существенно преобладает над другими, так что выражение никак не может обратиться в ноль. Следовательно, для того, чтобы точка ( tx, ty ) являлась решением уравнения (1), необходимо, чтобы максимум из трёх чисел x +, y +, достигался по крайней мере в двух из них. Нетрудно видеть, что множество пар (x, y), в которых выполняется это условие, является тропической прямой, а именно, множеством негладкости кусочно-линейной функции Более формально, сделанный вывод можно сформулировать следующим образом. Положим C = C \ {0} и рассмотрим отображение заданное в координатах в виде (X, Y ) (x, y), x = logt |X|, y = logt |Y |.

Предложение. Образ прямой L(t) при отображении Logt содержится при больших t в -окрестности некоторой тропической прямой. Размер этой окрестности тем меньше, чем больше t, и при t величина стремится к нулю.

Таким образом, тропическую прямую можно рассматривать как вырождение комплексной прямой L(t) при t. Образ комплексной прямой при отображении Logt называется её амёбой. Амёба, вместе с содержащейся в ней тропической прямой, изображена на рис. 2. Внутренние точки амёбы имеют по два прообраРис. 2: Амёба комплексной прямой за на комплексной прямой, граничные — по одному. Саму комплексную прямую можно представлять себе как результат склейки двух экземпляров амебы вдоль общей границы. Результат такой склейки (иногда называющийся также штанами) топологически эквивалентен двумерной сфере без трёх точек. Три выколотые точки, соответствующие «щупальцам» амебы, отвечают двум точкам пересечения прямой L(t) с координатными осями, а также точке C = C{} = S 2.

2 Тропическое полуполе Другой, более алгебраический, взгляд на тропическую геометрию, состоит в следующем. Рассмотрим множество R вещественных чисел и введём на нём модифицированные операции сложения и умножения следующим образом:

где t 1 — параметр. Очевидно, что так введённые операции совпадают с обычным умножением и сложением на полупрямой R0 при отождествлении R R0, задаваемом соответствием x tx. Оказывается, что эти операции допускают предел при t. Действительно, введённое умножение от t вообще не зависит, а для сложения заметим, что из двух слагаемых под знаком логарифма при больших t существенным является вклад только того из них, у которого показатель больше. В результате мы получаем предельные операции (в обозначении которых мы индекс опускаем) Множество вещественных чисел с введёнными двумя операциями называется тропическим полуполем. Обе операции коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют обычному свойству дистрибутивности. Эти свойства вытекают из того, что они выполняются до взятия предела. Конечно, их легко установить и непосредственно из определения. В тропическом полуполе отсутствует аддитивный ноль. Его роль играет. Тропическое частное “x/y” = x y определено без ограничения на знаменатель y, а тропическая разность не определена вовсе. Потому и используется термин полуполе.

3 Тропические многочлены и тропические кривые Определение. Тропическим многочленом степени d называется кусочнолинейная функция где i,j — вещественные константы.

Может случиться так, что для некоторого из мономов “i,j xi y j ” = i x+j y+i,j значение функции не совпадает со значением этого монома ни в одной точке. В этом случае малое изменение коэффициента i,j не меняет многочлена. Иными словами, мы рассматриваем тропический многочлен не как набор коэффициентов i,j, а именно как саму кусочно-линейную функцию. Пространство тропических многочленов можно отождествить с (замкнутым) конусом в пространстве коэффициентов i,j. Еще одно важное замечание заключается в том, что тропический многочлен степени d не является частным случаем тропического многочлена степени d при d d. Иными словами, степень d входит в определение многочлена.

Пример. Тропическая линейная функция имеет следующее поведение (см. рис. 3). При x и y отрицательных и больших по абсолютной величине максимальным из трёх величин является постоянное значение. При увеличении x значение функции не меняется до тех пор, пока точка (x, y) не пересечет вертикальную прямую x + =. Правее этой прямой максимальной является ветвь x +. Аналогично, при движении точки (x, y) вверх переход к ветви y + осуществляется на горизонтальной прямой y + =, вдоль которой максимум достигается на двух конкурирующих ветвях y + и.

Наконец, области, в которых значение функции f (x, y) совпадает с ветвями x + и y +, разделяются лучом прямой x + = y +, имеющей наклон 1. Таким образом, множеством негладкости линейной тропической функции служит тропическая прямая, рассмотренная в предыдущем пункте.

Пример. Рассмотрим тропические многочлены второй степени. Множество негладкости такого многочлена называется тропической кривой второй степени, служащей тропическим аналогом эллипса и гиперболы из классической геометрии. Как и для обычной гиперболы, тропическую кривую второй степени можно получить, пошевелив слегка объединение двух тропических прямых.

Объединение двух прямых задается произведением (в тропическом смысле) двух линейных функций. У графа, являющегося множеством негладкости такого произведения, имеется вершина валентности 4, в которой максимум достигается одновременно на четырёх конкурирующих линейных функциях. После небольшого шевеления одной из этих линейных функций точка валентности четыре распадается на две точки валентности три. Некоторые из возможных тропических кривых второй степени приведены на рис. 4.

Рис. 4: Вырожденная тропическая кривая второй степени и два её шевеления Задача. Определите наклон каждого из рёбер тропических кривых, изображённых на рисунке. Найдите все возможные конфигурации тропических кривых второй степени общего положения (под корфигурацией я понимаю комбинаторный тип графа и наклон его рёбер, но не их длины и положение).



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 


Похожие работы:

«КИЕВ 2004 Научно-практическая конференция Построение систем электронного документооборота в органах государственной власти Украины. 7 октября, 2004 год. СОДЕРЖАНИЕ 1. Программное обеспечение IBM Lotus. Повышение эффективности работы сотрудников в коллективе 2. Решения компании АйТи по созданию систем документационного обеспечения управления на базе Lotus Notes 3. Об особенностях модели электронного документооборота для органов государственной власти 4. Система электронного документооборота...»

«М.Н. Долгова КАК ВЗЫСКАТЬ ЗАРАБОТНУЮ ПЛАТУ С НЕДОБРОСОВЕСТНОГО РАБОТОДАТЕЛЯ ПОДАЕМ В СУД М.Н. Долгова Как взыскать заработную плату с недобросовестного работодателя МОСКВА 2009 УДК [331.211/.212:349.232](470+571) ББК 67.405.114(2Poc)+67.410.117(2Poc)+67.711.1(2Poc) 916 Д64 Долгова, Марина Николаевна. Как взыскать заработную плату с недобросовестного ра Д64 ботодателя / М. Н. Долгова. – М. : ГроссМедиа : РОСБУХ, 2009. – 208 с. – (Подаем в суд). – ISBN 978 5 476 00769 2. Агентство CIP РГБ Способы...»

«Однофамильные роды Список. Составитель – Алла Владимировна Краско, старший научный сотрудник Института генеалогических исследований Российской национальной библиотеки Ведется с 2006 года Содержание Анненковы Апраксины Аракчеевы Балашевы Баратынские Барятинские Бенкендорф (иногда Бекендорф) Бибиковы Бироны Боборыкины Бобринские Бороздины Борх Булыгины Булычевы Бутурлины Вадковские Васильчиковы Витгенштейн Волконские Воронцовы Воротынские Вяземские Гагарины Гейден Гендриковы Гнедич Голицыны...»

«Темные туннели Сергей Антонов 2 Книга Сергей Антонов. Темные туннели скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Сергей Антонов. Темные туннели скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Сергей Антонов Метро 2033: Темные туннели 4 Книга Сергей Антонов. Темные туннели скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Вселенная Метро 2033 расширяется Объяснительная записка Дмитрия Глуховского У нас все получается! Темные туннели...»

«Шуддха-бхактичинтамани Волшебный камень чистого преданного служения Lal Kiad УДК 233-254 ББК 86.39 Ш55 Иллюстрация на обложке Таралакши деви даси Шиварама Свами Ш55 Кришна во Вриндаване. Кн. 4: Шуддха-бхакти-чинтамани (Волшебный камень чистого преданного служения): [Пер. с англ. Lal Kiado] / Шиварама Свами. — М.: 2010. — 848 с., 8 с. цв. ил. ISBN 978-5-902629-89-4 УДК 233-254 ББК 86.39 ISBN 978-963-200-100-5 (англ.) ISBN 978-5-902629-89-4 © Sivarama Swami, 2007 © Lal Kiado, Hungary, 2007 ©...»

«Луис А. Брайтон (Louis A. Brighton) Комментарий на Книгу Откровения Из цикла библейских комментариев Concordia Commentary Series Лютеранская церковь – Миссурийский синод, США © Евангелическое Лютеранское Служение, 2007 Перевод с английского: Александр Шмидт, Виктор Генке Редактор: Валерий Григорик Предисловие автора Данное исследование Откровения стало моим пожизненным призванием и занятием. Все началось еще во времена моего пасторского служения, в 50-х годах, в Лондоне, Англия, когда я...»

«Весёлый Роджер на подводных крыльях Владимир Васильев 2 Книга Владимир Васильев. Весёлый Роджер на подводных крыльях скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Владимир Васильев. Весёлый Роджер на подводных крыльях скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Владимир Васильев Весёлый Роджер на подводных крыльях Авторский сборник 4 Книга Владимир Васильев. Весёлый Роджер на подводных крыльях скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много...»

«Spellcheck, оформление: ТаКир, 2008 ISBN: 5–88503–115–0 Издательство: Диля, 2003 Книга посвящена представителям самых миниатюрных пород собак. В городских условиях целесообразно заводить именно такого питомца – маленького, но, тем не менее, верного и к тому же милого и забавного. Каждая из таких пород имеет свои особенности, которые нужно знать для того, чтобы сделать правильный выбор, если Вы решились завести щенка. Ведь и у собак есть характер! В книге содержится много ценной информации,...»

«ДАО ДЭ ЦЗИН (Книга о Дао и Добродетели) Перевод И.И. Семененко 1 Книга о Дао и Добродетели Глава 1 Если Дао могут высказать, Дао не является незыблемым; если могут назвать имя, имя не является незыблемым. Безымянность — вот начало Неба и Земли, в наличии же имени таится мать десяти тысяч вещей. Незыблемое неналичие — желаю поглядеть на скрытые в нем чудеса; наличие в незыблемости — желаю осмотреть его окраину. Выходит эта пара вместе, но именами различается. Даю одно им имя сокровенного. За...»

«ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИЯМ ПО СОБЛЮДЕНИЮ ИМИ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА РФ О ПРОТИВОДЕЙСТВИИ ЛЕГАЛИЗАЦИИ ДОХОДОВ, ПОЛУЧЕННЫХ ПРЕСТУПНЫМ ПУТЁМ, И ФИНАНСИРОВАНИЮ ТЕРРОРИЗМА (издание пятое, дополненное с учётом изменений, внесённых Федеральным законом от 28.12.2013 г. № 403-ФЗ и Постановлением Правительства РФ от 19.03.2014 г. № 209) ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИЯМ ПО СОБЛЮДЕНИЮ ИМИ ЗАКОНОДЕЛЬСТВА РФ О ПРОТИВОДЕЙСТВИИ ЛЕГАЛИЗАЦИИ ДОХОДОВ, © 2014 Алексей Стпин ПОЛУЧЕННЫХ ПРЕСТУПНЫМ ПУТЁМ, И...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.