«ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ГИДРООПТИКЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е А СП ЕКТЫ РГГМУ Санкт-Петербург 2004 УДК 551.463.5:535.31 Яковлев В.А. Прямые и обратные задачи в гидрооптике. - ...»

корень уравнения f ( ш) = 0; а,„ Ьп - вычеты функций в точ­ где ке Ж= Предполагая для простоты х = |х| и, соответственно, % - |х| (плоский случай) и, опуская промежуточные выкладки [16] запи­ шем окончательное выражение:

Здесь * - свертка по х; а 02 = N 2/co02 - 1; при записи (3.24) знак суммы по п опущен; Vp - интеграл в смысле главного значения.

Анализ (3.24) показывает, что в результате рассеяния происхо­ дит насыщение спектра падающей внутренней волны высокими пространственно-временными частотами. Видно, что поле рассеян­ ной внутренней волны складывается из двух течений:

- незатухающие со временем колебания (первое слагаемое), распространяющиеся с частотой 0)0 падающей внутренней волны;

- нестационарное, затухающее со временем течение сложного вида, которое описывается вторым членом.

Остановимся на первом слагаемом в (3.24). Стационарное течение является суперпозицией бесконечного числа волн с волновыми числа­ ми удовлетворяющими дисперсионному соотношениюД^,(Уэ) = 0.

Первый член ряда описывает волну с дисперсионным соотношением для длинных волн на мелкой воде д? ~ 0}?/g(H+h+d). Он связан с уче­ том формы свободной поверхности и слабо зависит от стратификации.

В реальных гидрофизических условиях этот член весьма слабо сказы­ вается на структуре поля скорости в глубине океана и им можно пре­ небречь. Это означает, что в граничных условиях на поверхности океана мы пренебрегаем возмущениями формы свободной поверхно­ сти и переходим к приближению «твердой крышки» [45] при описании распространения внутренних волн.

Для единообразия записи вместо потенциала скорости Ф и вер­ тикальной компоненты скорости W перейдем к функции тока.

Введем параметры 8\ = nh/a^H, 2=nd/aoH, характеризующие отно­ сительные толщины однородных слоев. Представив в виде ~ (л/(ХоН)(п+у„), получим уравнение для у„:

Если же положить 1,2 = 0 (следовательно, и у„ = 0), то получим решение стационарной задачи рассеяния, описанное в [149].

Сложность получаемых с помощью (3.25) выражений для ап и Ь„ не позволяет точно просуммировать получающиеся ряды при произвольном значении параметров ij2. Однако в случае, когда толщина однородных слоев сравнима с толщиной пикноклина или превышает ее ii2 ^ 1, можно найти приближенное выражение для 4х. Заметим, что для океана обычно h ~ Н « d [45], и полученные выражения будут вполне реальны.

При i2 1 можно считать, что -у„ = - у = (l/n)arctg(2(X(/l - Ою), th(^,u) = 1, sech(^„\pj = 0, для всех п 1. Учитывая эти приближен­ ные равенства и используя (3.25), получим следующее выражение:

z,t)=-----ехр(- г& ) | ir(U • P)*signxcos^nx(a0cos^nT+sin^nz ) x Для иллюстрации данного решения конкретизируем вид (U|3) и рассмотрим идеализированный случай, когда возмущение поля плотности имеет вид /3 (р,г)= /3 0 (А -|х |)гх р [-(г- )2/ # 2], причем А « Я, где Я - длина исходной внутренней волны. Тогда можно приближенно считать, что где Е — амплитуда поля скорости падающей внутренней волны.

Подставив (3.27) в (3.26), имеем х — а 0cos— д п + sin— дт где т = п + у. При записи (3.28) знак суммы по п опущен.

Из (3.28) следует, что в результате интерференции различных мод поле рассеянной внутренней волны концентрируется в узких зонах, геометрические размеры которых зависят от размеров неод­ нородности (см. рис. 3.1). Оценки максимальных значений ампли­ туд и градиентов поля скорости рассеянной внутренней волны в этих зонах дают:

Видно, что в зонах, указанных на рисунке, поле рассеянной внутренней волны может быть сравнимо с полем падающей внут­ ренней волны. При этом существенно то, что на границах этих зон достигаются значительные по сравнению с исходными градиенты скорости, а степень локализации энергии рассеянных внутренних волн может быть достаточной для возникновения и развития неус­ тойчивости.

Р и с.3.1. Характерная структура поля течений рассеянной на неоднородности плотности внутренней волны. Н - нижняя граница термоклина. L mp и Z,B - соот­ ветственно, горизонтальны й и вертикальный масштаб неоднородности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСИ

ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПТИЧЕСКОГО

МОНИТОРИНГА ОКЕАНА

Естественно, что для описания рассеяния внутренних волн необ­ ходима априорная информация как о структуре и форме плотностной неоднородности, так и о параметрах поля исходных (фоновых) внут­ ренних волн. А налогичная информация необходима и для верифика­ ции модели (экспериментальной проверки теоретических построе­ ний). Очевидно, что реальная перспектива получения такой инфор­ мации - дистанционны й оптический мониторинг океана с минималь­ ным использованием контактных измерений [2, 35, 55-62].

В настоящ ее время наибольш ее распространение получили пас­ сивные многоспектральны е системы дистанционного зондирования океана с аэрокосмических носителей и научно-исследовательских судов [58]. И спользование в качестве источников подсветки небосво­ да и Солнца позволяет резко упростить используемую дистанцион­ ную оптическую аппаратуру и в то же время значительно-расш ирить ее информационные возможности (например, путем оптимизации подбора рабочих спектральных диапазонов оптического зондирова­ ния, увеличения числа каналов и т.д.). О днако пассивные системы имею т и сущ ественны е недостатки (в частности, нестабильность и н ­ тенсивности и спектрального состава светового потока естественного излучения особенно при наличии облачности, зависимость эффек­ тивности зондирования от положения С олнца на небосводе и т.п.).

Эти обстоятельства предъявляю т повы ш енны е требования к теорети­ ческому обеспечению данного класса экспериментов (обоснованию достоверности их результатов).

Н иж е обсуж дается ряд аспектов указанной проблемы. В основ­ ном мы будем следовать работам [2, 34, 68, 70, 110-112], в которых излож ены результаты цикла подобны х исследований, проведенны х в различны е годы под научным руководством автора монографии.

4.1. Моделирование изменчивости оптических трасс пассивного многоспектрального зондирования океана В наш ем случае, м оделирование оптических трасс по сути со­ стоит в теоретическом обосновании м етодик постановки и проведе­ ния ком плексны х эксперим ентов по дистанционном у м ногоспек­ тральном у зондированию м орской толщ и, позволяю щ их определять пространственно-врем енны е характеристики изменчивости концен­ траций оптически активны х примесей, вы званной рассеянием внут­ ренних волн на локализованны х неоднородностях поля плотности.

М одель вертикального распределения концентраций оптически активны х прим есей и м одельная схем а эксперим ента по м ногоспек­ тральном у оптическом у зондированию показаны па рис. 4.1.

Рис. 4. 1. Схема эксперимента по многоспектральному оптическому Реш ение соответствую щ ей обратной задачи оптического зон­ дирования м орской среды базируется на следую щ их предполож е­ ниях [68,70]:

- изм енчивость оптических свойств морской воды обусловлена наличием в «чистой» м орской воде конечного набора прим есей в виде взвесей и растворенны х вещ еств;

- первичные оптические характеристики морской воды (пока­ затель рассеяния, коэффициент ослабления и т.д.) являются линей­ ными функциями концентраций примесей;

- вертикальное распределение оптических свойств морской во­ ды аппроксимируется кусочно-линейной функцией глубины (в ча­ стности, линейной или кусочно-постоянной);

- при решении используется двухпотоковое приближение тео­ рии переноса излучения;

- факторы искажающие результаты многоспектрального фотометрирования (состояние атмосферы, морской поверхности, аппа­ ратные функции и т. п.) неизменны в процессе проведения измере­ ний в исследуемом районе;

- зондирование морской среды осуществляется путем регист­ рации восходящей и нисходящей облученностей, как функций глу­ бины;

- ширины используемых оптических спектральных диапазонов достаточно малы.

В рамках данных предположений каждый из оптических пара­ метров морской воды может быть представлен в следующем виде:

P„{X,z) - и-ный оптический параметр на длине волны Я и глу­ бине z;

P„o(A,z) - соответствующий параметр «чистой» морской воды;

Ck(z) - концентрация к-ой примеси на глубине г ;

Р„*(Я) - вклад к-й примеси в значение п-oro параметра при ее единичной концентрации;

К - общее число примесей, учитываемых в модели.

Одной из наиболее удобных для практических измерений ха­ рактеристик светового поля, провзаимодействовавшего с припо­ верхностным слоем океана, является восходящая облученность на уровне моря (световой поток идущий в верхнюю полусферу через единичную площадку морской поверхности) - EB (2.,z=0).

В двухпараметрическом варианте двухпотокового приближе­ ния решение уравнения переноса излучения в пренебрежении пото­ ком прямого солнечного излучения (например, в условиях сплошной облачности) коэфф ициент диф фузного отраж ения толщ и моря им еет вид где Е н(Л )—Е н(Я, г = О) - нисходящ ая облучённость на уровне моря, и b ( X, z ) - показатели поглощ ения и рассеяния света для м ор­ a (X,z) ской воды, /л(Х) и ф(Л) - заданны е параметры двухпотокового при­ ближения.

Рассм отрим следую щ ую м одель вертикального распределения концентраций:

M + l - число слоев в рассм атриваем ой модели, Z ; - глубина залегания ниж ней границы i - т о слоя, Yki - концентрация к-й примеси на горизонте Z = Z,_ b Tki - градиент концентрации к-й примеси в г-м слое.

слое) можно представить в виде:.

где а0(Я), ф о Ь о ( Л ) - соответствую щ ие параметры «чистой» морской воды, а а к ( Х ), ф кЬ к( Х ) - соответствую т k -ой прим еси (см. (4.1)).

В рассм атриваем ой м одели предполагается, что коэффициенты а(Х), ак(Х), ф0Ь0(Х), фкЬк(Х) априорно известны, они м огут быть полу­ чены из сопутствую щ их или предварительно проведенны х исследо­ ваний, либо вы числены теоретически, a Y ki, T ki и Z,- являю тся иско­ мыми величинами.

П одставив (4.4) в (4.2) и вы полнив интегрирование, получим простое, но гром оздкое вы раж ение. П риведем здесь более ком пакт­ ную формулу для безградиентной среды ( T k i = 0, к = 1, К, i = 1, М+1):

П усть L - число спектральны х диапазонов, в которых произво­ дятся изм ерения R ( A ). Л егко видеть что, при L 2 К ( М + 1 ) + М вы ра­ ж ение (4.5) совм естно с (4.4) разреш аю тся относительно не завися­ щ их от Я иском ы х парам етров T ki, Y ki, и Z, обы чны ми методами ре­ ш ения систем уравнений. С пособы повы ш ения точности и досто­ верности результатов реш ения таких систем такж е общ еизвестны.

П ерейдем к описанию м етодики проведения натурных изм ере­ ний, использую щ ей полученны е выш е форм улы на стадии обработ­ ки результатов.

С учётом шумов (рассеяние и поглощ ение света в атмосфере, от­ ражение от морской поверхности и т.д.) реш ение задачи (4.1) - (4.5) определения параметров толщ и океана по результатам дистанционно­ го многоспектрального фотометрирования является типичным приме­ ром математически некорректной обратной задачи гидрооптики.

О становим ся кратко на одном из возм ож ны х путей регуляриза­ ции реш ения (алгоритм а коррекции результатов). Сигнал E e ( X j, r ) при j = l, L, приняты й от водной поверхности направленны м вниз дистанционны м оптическим датчиком, м ож но записать в виде: