WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«Две геометрии – один мир. Гиперболические четырёхугольники максимальной площади. Исследовательская работа по математике Автор: ученица 10 класса А, Афанасьева Ирина ...»

-- [ Страница 1 ] --

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ЗАПАДНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1000

Две геометрии – один мир.

Гиперболические четырёхугольники

максимальной площади.

Исследовательская работа по математике

Автор:

ученица 10 класса «А», Афанасьева Ирина Научный руководитель:

учитель математики ГБОУ СОШ №1000, Полункина Светлана Николаевна Москва, 2014 «Две геометрии – один мир.

Гиперболические четырёхугольники максимальной площади»

Секция: Точные науки Автор:

Афанасьева Ирина Анатольевна, ученица 10 класса ГБОУ СОШ №1000, Аннотация. Данная исследовательская работа показывает сходства и различия евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. На двух плоскостях рассматриваются свойства треугольника, четырёхугольника и фигуры максимальной площади, приводится элементарное доказательство теорем, описывающих площади этих фигур.

Оглавление Введение

Предварительное исследование.

Глава 1. Евклид, Лобачевский. Две геометрии – один мир

Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и Лобачевского

Глава 2. Фигуры максимальной площади.

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Николай Лобачевский – Коперник геометрии.

Приложение 2. Открытие геометрии Лобачевского.

Приложение 3. Доказательство 5- того постулата

Приложение 4. Сравнение геометрии Лобачевского и Евклида.

Приложение 5. Три модели геометрии Лобачевского

Приложение 6. Практическое применение геометрии Лобачевского................. Приложение 7. Влияние открытия Лобачевского на развитие науки.................. Введение Любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая. Это своеобразный факт развития науки, который имеет подтверждение. Например: физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та - в квантовую. Алхимия (теория Флогистона) стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и геометрия не исключение. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрию Лобачевского. Именно сравнению некоторых теорем этих теорий и посвящена данная работа.

Геометрия Лобачевского является очень удачным объектом для исследования. Это обусловлено, во-первых, наглядностью и естественностью задач, и во-вторых, парадоксальностью ответов. В то же время геометрия Лобачевского является важной частью математики и активно используется в самых разных ее областях. Лобачевский принадлежит к числу тех великих русских математиков, труды которых являлись не только ценным вкладом в науку, но и открывали ей новые пути.

Объект исследования: Геометрия Н.И. Лобачевского и Евклида.

Предмет исследования: некоторые теоремы и доказательства «геометрии Лобачевского.

Актуальность исследования. Новые результаты чаще всего появляются благодаря поиску аналогий различных утверждений. Зачастую аналог даже элементарной задачи геометрии Евклида оказывается далеко не тривиальным в геометрии Лобачевского. В то же время получаемые результаты оказываются красивыми и интересными.

Цель данной работы: определить основные свойства четырёхугольника максимальной площади в двух геометриях?

Задачи проекта:

1. Проанализировать научную и исследовательскую литературу по данной теме.

2. Систематизировать и обобщить знания о евклидовой и неевклидовой геометриях.

3. Познакомиться с биографией Н.И. Лобачевского и его научной деятельностью.

4. Рассмотреть некоторые теоремы геометрии Лобачевского, ознакомиться с моделями неевклидовой геометрии.

5. Сделать сравнительный анализ геометрии Евклида и геометрии Лобачевского 6. Доказать некоторые теоремы двух геометрий.

7. Решить задачи о треугольнике, четырёхугольнике и фигуре максимальной площади в геометриях Евклида и Лобачевского.

8. Выяснить практическую значимость геометрии Лобачевского.

9. Организовать и проанализировать результаты исследовательской деятельности.

10. Сделать выводы.

Методы исследования:

теоретические: метод сравнительно-исторического анализа литературы, восхождение от абстрактного к конкретному;

эмпирические: метод опроса (анкетирование), метод причинно-следственного математические: статистические методы, метод визуализации данных, метод оценивания и сравнения.

Проблемы исследования: Почему возникла геометрия Лобачевского? Реальна ли геометрия Лобачевского в смысле соответствия физическому пространству? Существует ли поверхность, на которой справедлива эта геометрия? В чём заключаются различия двух геометрий? Какими будут фигуры максимальной площади в геометрии Евклида и Лобачевского?

Социальная актуальность работы:

220 – лет со дня рождения Николая Ивановича Лобачевского;

необходимость формирования другого взгляда на привычные вещи;

необходимость развития математического и творческого мышления у Главная идея этой работы – найти сходство и различия двух геометрий, убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Практическое применение: данная работа и её результаты могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках геометрии и алгебры, на факультативах по данным предметам и т.д. Конструкция гиперболических фигур максимальной площади является фундаментальной и может быть использована при решении изопериметрических задач геометрии Лобачевского.



Гипотеза к теоретической части: В геометрии Лобачевского и Евклида различаются только те теоремы, которые опираются на V постулат.

Гипотеза к практической части: В геометрии Лобачевского наибольшую площадь имеет гиперболический квадрат, который обладает многими свойствами аналогичными для квадрата Евклида.

Предварительное исследование.

Стандартный школьный курс предусматривает изучение геометрии Евклида, что в некоторой степени ограничивает кругозор учащихся, и им, при знакомстве с неевклидовой геометрией, достаточно трудно поверить, к примеру, в то, что через точку не лежащую на данной прямой можно провести более одной прямой, не пересекающих данную.

Прежде чем приступить к исследованию, мы решили провести социологический опрос. Ученикам 9-х классов ГБОУ СОШ №1000 были заданы 4 вопроса:

1.Сформулируйте аксиому параллельных прямых (рис. 1).

Геометрия Евклида Анализ анкетирования, проведенного среди учащихся, показал, что не все они знакомы с геометрией Лобачевского. По результатам опроса мы также можем сделать вывод о том, что не все ученики не знают, что изучают. Они не знают:

Часто на вопрос «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?» многие отвечают, что в геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой, «Параллельные прямые не пересекаются». На самом деле это неверно.

В данной работе попробуем провести сравнительный анализ геометрии Евклида и геометрии Лобачевского и определить область использования каждой из геометрий, постараемся найти практическое применение геометрии Лобачевского в физике и окружающем нас мире.

Глава 1. Евклид, Лобачевский. Две геометрии – один мир В абсолютной части геометрия Лобачевского по существу не отличается от евклидовой. В той же части, где используется 5-й постулат, дело обстоит иначе. К ней относят следующие группы теорем: о расположении параллельных прямых; о сумме углов в треугольниках и многоугольниках; о площадях; о вписанных в окружность и описанных около нее многоугольниках; о подобии фигур; всю тригонометрию; теорему Пифагора;

измерение круга и его частей.

В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида [3-с.148]. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных прямых являются общими для обеих геометрий и образуют т. н. абсолютную геометрию. Вслед за теорией параллельных строились другие отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Проведя сравнительный анализ евклидовой и неевклидовой геометрий, мы получили следующую таблицу:

сравнения:

планиметрии Аксиома о параллельных прямых (Пятый проходит не более одной постулат) Кривизна Сумма внутренних треугольника Подобные Признаки Сумма углов треугольника всегда равна 180. непостоянна и всегда меньше 2d.

Сумма углов четырёхугольника всегда равна 360. четырехугольника меньше 4d.

Внешний угол треугольника треугольника равен сумме больше суммы внутренних, с ним не Расположение прямых на плоскости.

Определение параллельных Величина угла перпендикуляром и параллелью.

Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую сторону перпендикулярные одной прямой.

Расположение прямой и точек на плоскости Вписанная в треугольник и описанная около треугольника окружности.

Длина окружности пропорциональна длине ее пропорциональна радиусу, а растет Формулы для площади круга и окружности, окружности, ограничивающей этот длины окружности.

Линии постоянной кривизны.

прямую, либо окружность. постоянной кривизны являются Поверхности постоянной кривизны.

Теорема Пифагора Площадь треугольника вычисляется через углы через меры его углов. S=k(p-s), где Соотношении имеющих равный Теорема косинусов Теорема синусов Таблица 1. Сравнение теорем геометрий Евклида и Лобачевского Итак, чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от ; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2.

Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия в этом смысле - «предельный»

случай геометрии Лобачевского. Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир - не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы? В качестве примера можно привести тот факт, что видимый звездный свод - это не что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами, и ошибки достигали значительной величины. Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью (см. Приложение 4, 6). Но в пределах ежедневных измерений геометрия Евклида дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и Лобачевского.

Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского.

Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств.

Рассмотрим некоторые из них. Исследуем, прежде всего, связь постулатов Евклида и Лобачевского с вопросом о сумме углов треугольника. Покажем, что постулат Евклида равносилен предположению, что сумма углов треугольника равна двум прямым, а постулат Лобачевского – что сумма углов меньше 2-х прямых.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
 

Похожие работы:

«Корпорация Hyperion — мировой лидер в области программного обеспечения для управления эффективностью деятельности (Business Performance Management, BPM). Более 9000 клиентов во всем мире уже сделали свой выбор в пользу решений Hyperion, благодаря которым они трансформируют стратегии в планы, контролируют исполнение планов и улучшают свои операционные и финансовые показатели за счет более глубокого понимания ключевых факторов бизнеса. Решения Hyperion представляют собой наиболее полный набор...»

«Ямабэ М.: Парашютисты японского флота Проект Военная литература: militera.lib.ru Издание: Ямабэ М. Парашютисты японского флота. — М.: Издательство иностранной литературы, 1959. Книга на сайте: militera.lib.ru/h/yamabe/index.html Иллюстрации: militera.lib.ru/h/yamabe/ill.html OCR, корректура: Воротников В.В. (mild@ufacom.ru) Дополнительная обработка: Hoaxer (hoaxer@mail.ru) обозначены ссылки на комментарии редактора. Комментарии в конце текста {1}Так книги. Аннотация: Книга Парашютисты японского...»

«бЕСТИАРИЙ II ЗООМОРФИЗМы АЗИИ: ДВИжЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ Санкт-Петербург 2012 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_03/978-5-88431-182-4/ © МАЭ РАН УДК 39(1-925.3+1.925.6) ббК 63.5(3) б53 Утверждено к печати Ученым советом МАЭ РАН Рецензенты: д-р ист. наук Н. Н. Дьяков, д-р ист. наук И. А. Алимов. Ответственный редактор М. А. Родионов. Бестиарий II. Зооморфизмы Азии: движение во времени. — СПб.: Б53...»

«Москва, 2013 1 В данном издании представлены лучшие проекты по результатам выполнения мероприятий Федеральной целевой программы Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно технологического комплекса России на 2007 2013 годы Минобрнауки России по приоритетному направлению Рациональное природопользование. Каталог адресован руководителям и специалистам отечественных и зарубежных промышленных предприятий, научных организаций и ВУЗов. © Министерство образования и науки...»

«ООО “Аукционный Дом “Империя Аукцион №4 Антикварные книги, карты, автографы, открытки. 21 ноября 2009 года. Начало в 15.30 Регистрация начинается в 15.00 Отель MARRIOTT MOSCOW ROYAL AURORA Москва ул. Петровка д.11/20 Предаукционный просмотр лотов с 10 по 20 ноября 2009 года ежедневно, кроме воскресенья в офисе Аукционного Дома Империя расположенного по адресу: Москва, ул. Остоженка, 3/14, вход с 1 го Обыденского переулка с 11.00 до 20.00. Заявки на участие в аукционе, телефоны и заочные биды,...»

«Сведения о содержательном обеспечении учебного плана МБОУ Гимназия № 8 на 2013-2014 учебный год Учебные предметы, класс уро- Название программы Вид про- Учебно-методическое обеспечение курсы по выбору вень граммы учебники учебно-методические пособия Школа I ступени Федерально-региональный компонент и обязательные предметы школьного компонента Русский язык Школа 2100. Образовательная 2в, 3а, Государ- 1. Бунеев Р.Н., Бунеева Е.В., Пронина О.В. Русский язык. – М.: Баласс, 2012 Русский язык гим...»

«Д. Корчинский В. Артеменко Предисловие к русскому изданию Мне очень приятно, что люди еще в 1996 г. собиравшиеся взорвать смоленский вокзал (чему есть доказательства) по зрелом размышлении решили издать свою книгу именно в Смоленске. Я с сомнением отношусь к военным мемуарам, авторы которых (в чине пониже генеральского) берут на себя смелость рассуждать о стратегических проблемах и действиях сторон. Здесь читатель найдет только личные впечатления, не претендующие на пресловутую объективность....»

«1. Обращение в полицию 8-31.7.2003 3 июля 2003 года (возможно, днем раньше) мне позвонил некто по имени Гидон. Он пригласил меня в свою контору в промзоне Иерусалима – ГиватШауле, в промышленных Зданиях Сапир, дом номер 4. Обычное дело – такое приглашение. Я инженер, 26 лет частник, мои данные – в телефонной книге. Необычное – на мой вопрос, какой номер конторы, Гидон ответил, что находится она на среднем этаже. В Зданиях Сапир четыре этажа. - Так какой номер? – спросил его. - Возле лестничной...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.