WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |

«А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Второе полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Домрин А. В., Сергеев А. Г. Д66 Лекции по комплексному ...»

-- [ Страница 1 ] --

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

А. В. Домрин, А. Г. Сергеев

Лекции по комплексному анализу

Второе полугодие

Москва

2004

УДК 517.5

ББК (В)22.16

Д66

Домрин А. В., Сергеев А. Г.

Д66 Лекции по комплексному анализу : В 2 частях. / А. В. Домрин,

А. Г. Сергеев. — М.: МИАН, 2004.

ISBN 5-98419-006-0 Часть II : Второе полугодие. — 2004. — 136 с.

ISBN 5-98419-008-7 Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-14126).

c Домрин А. В., Сергеев А. Г., 2004 ISBN 5-98419-008-7 (ч. II) c Математический институт ISBN 5-98419-006- им. В. А. Стеклова РАН, Памяти Анатолия Георгиевича Витушкина Содержание Первое полугодие Лекция 1. Комплексная плоскость.............. 1.1. Определение..................... 1.2. Алгебраическая структура............. 1.3. Полярное представление.............. 1.4. Топология комплексной плоскости........ 1.5. Компактификация комплексной плоскости... Лекция 2. Комплексная дифференцируемость. Геометрический смысл производной............. 2.1. R-дифференцируемость.............. 2.2. C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана 2.3. Производная по направлению........... 2.4. Голоморфные функции и конформные отображения......................... 2.5. Геометрический смысл комплексной производной 2.6. Голоморфность и конформность отображений расширенной комплексной плоскости...... Лекция 3. Дробно-линейные функции............ 3.1. Дробно-линейные отображения расширенной комплексной плоскости................. 3.2. Конформность дробно-линейных отображений. 3.3. Группа дробно-линейных отображений..... 3.4. Круговое свойство дробно-линейных отображений 3.5. Сохранение симметрии при дробно-линейных отображениях.................... 3.6. Свойство трех точек................ 3.7. Дробно-линейные изоморфизмы основных областей.......................... Лекция 4. Интеграл и первообразная............. 4.1. Определение интеграла вдоль пути........ 4.2. Свойства интеграла вдоль пути.......... 4.3. Лемма Гурса..................... 4.4. Первообразная.................... 4.5. Первообразная вдоль пути............. Лекция 5. Теорема Коши.................... 5.1. Теорема Коши о гомотопии............ 5.2. Теорема Коши для многосвязной области.... vi Содержание 5.3. Интегральная формула Коши........... Лекция 6. Ряды Тейлора.................... 6.1. Напоминание..................... 6.2. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора 6.3. Неравенства Коши................. 6.4. Теорема Лиувилля................. 6.5. Множество точек сходимости степенного ряда. 6.6. Голоморфность суммы степенного ряда..... 6.7. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций....................... 6.8. Коэффициенты ряда Тейлора........... 6.9. Интегральная формула Коши для производных 6.10. Теорема Морера................... 6.11. Три эквивалентных определения голоморфной функции....................... 6.12. Разложение голоморфной функции в окрестности нуля....................... 6.13. Теорема единственности.............. 6.14. Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций....................... 6.15. Аппроксимация голоморфных функций полиномами......................... Лекция 7. Ряды Лорана и особые точки........... 7.1. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана 7.3. Неравенства Коши для коэффициентов Лорана 7.4. Замечание о рядах Лорана и Фурье....... 7.5. Изолированные особые точки. Определение... 7.6. Описание устранимых особых точек....... 7.10. Целые функции с полюсом на бесконечности.. 7.11. Мероморфные функции с полюсом на бесконечности......................... 8.3. Формулы для вычисления вычетов........ 8.7. Пример на вычисление преобразования Фурье Лекция 9. Аналитическое продолжение. Постановка задачи 10.3. Свойства непосредственного аналитического продолжения....................... 10.4. Продолжение канонических элементов вдоль 10.5. Эквивалентность аналитического продолжения 10.6. Теорема о продолжении вдоль гомотопных 11.5. Изолированные особые точки аналитической 11.7. Примеры аналитических функций и их особых Лекция 12. Римановы поверхности..............

12.4. Риманова поверхность аналитической функции 12.7. Риманова поверхность аналитической функции Лекция 13. Принцип аргумента................. 13.1. Логарифмический вычет.............. Лекция 14. Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций................. 14.1. Принцип сохранения области........... 14.2. Локальное обращение голоморфных функций. Лекция 15. Принцип максимума модуля и его следствия.. 15.1. Принцип максимума модуля............ Лекция 16. Принцип компактности. Последовательности голоморфных функций................ 16.1. Принцип компактности............... 16.3. Непрерывные функционалы на семействах голоморфных функций................ Лекция 17. Теорема Римана................... 17.1. Автоморфизмы основных областей........ Лекция 18. Соответствие границ и принцип симметрии... 18.1. Принцип соответствия границ........... Лекция 19. Конформное отображение полуплоскости на многоугольник...................... 19.1. Конформное отображение полуплоскости на прямоугольник...................... 19.2. Интеграл Кристоффеля–Шварца......... Лекция 20. Эллиптические функции.............. 20.1. Эллиптический синус................ 20.2. Периоды мероморфных функций......... 20.3. Определение и свойства эллиптических Лекция 21. Функция Вейерштрасса.............. 21.1. Определение и основные свойства........ 21.2. Описание эллиптических функций с заданной 21.3. Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса...................... Лекция 22. Реализация тора в виде кубической 22.2. Параметризация кубической кривой с помощью Лекция 23. Модулярная функция и теорема Пикара.... Лекция 24. Гармонические функции.............. 24.1. Определение и основные свойства гармонических функций.................... Дополнение. Физическая интерпретация голоморфных функций и доказательство теоремы Римана...... Д.1. Гидродинамическая интерпретация конформных Д.2. “Физическое” доказательство Д.3. Другие физические интерпретации голоморфных функций.................... 13.1. Логарифмический вычет. Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности V = {0 |z a| r} точки a и не имеет нулей в V. Тем самым, точка a является изолированной особенностью как для функции f, так и для функции 1/f.



Определение. Логарифмическим вычетом функции f в точке a называется вычет ее логарифмической производной f (z)/f (z) в этой точке. Иными словами, логарифмический вычет f в точке a равен Вычислим логарифмический вычет мероморфной функции в ее нуле и полюсе.

Пример 13.1. Пусть a — нуль порядка n функции f, голоморфной в окрестности a. Тогда в некоторой окрестности U точки a справедливо разложение где голоморфна и не имеет нулей в U. Следовательно, где функция голоморфна в U и (a) = n = 0. Поэтому логарифмический вычет f в нуле порядка n равен n.

Пример 13.2. Пусть a — полюс порядка p функции f. Тогда функция g(z) := 1/f (z) имеет при z = a нуль порядка p. Поскольку f /f = g /g, получаем, что логарифмический вычет f в полюсе порядка p равен p.

Приведенные примеры подсказывают, что с помощью логарифмического вычета мероморфной функции можно подсчитывать число ее нулей и полюсов с учетом их кратности. Это подтверждается нижеследующей теоремой.

Теорема. Пусть D C — область с простой границей и f (z) — функция, которая мероморфна в области G D и не имеет нулей и полюсов на D. Обозначим через N (f, D) и P (f, D) соответственно число нулей и полюсов f в области D (с учетом их кратностей). Тогда Доказательство. Поскольку функция f мероморфна в окрестности замыкания D области D, в этой области имеется лишь конечное число нулей a1,..., ak и полюсов b1,..., bl функции f (см. п. 7.11). Функция g := f /f голоморфна всюду в окрестности замыкания D, за исключением точек {a1,..., ak, b1,..., bl }.

Поэтому к ней применима теорема Коши о вычетах:

Согласно вычислениям, проведенным в примерах 13.1 и 13.2, правая часть равна N (f, D) P (f, D), что и требовалось доказать.

Задача. Примеры 13.1 и 13.2 показывают, что логарифмическая производная f /f функции f имеет в точке a полюс 1-го порядка всякий раз, когда сама функция f имеет нуль или полюс в этой точке.

Докажите обратное: если f голоморфна в проколотой окрестности точки a и f /f имеет в точке a полюс 1-го порядка, то f имеет в этой точке нуль или полюс.

13.2. Принцип аргумента. Пусть : I C — непрерывный путь на комплексной плоскости, параметризованный единичным отрезком I = [0, 1], и f : (I) C \ {0} — функция, непрерывная вдоль.

Тогда найдется непрерывная функция : I R такая, что Такая функция определяется не единственным образом, но любые две подобные функции 1, 2 отличаются на константу 2n для некоторого n Z. (Доказательство этих утверждений повторяет рассуждения из п. 4.5 и оставляется читателю в качестве упражнения.) Отсюда следует, в частности, что вещественное число не зависит от выбора функции. Оно называется приращением аргумента функции f вдоль пути и обозначается через Замечание 13.1. Приращение аргумента arg f не зависит от выбора параметризации пути. Точнее, если заменить путь на путь, где : I I — любое биективное монотонно возрастающее непрерывное отображение, то Тем самым, приращение аргумента функции f корректно определено не только вдоль пути, но и вдоль задаваемой им ориентированной кривой.

Заметим, что для монотонно убывающего биективного отображения : I I правая и левая части этого равенства отличаются знаком:

Замечание 13.2. Рассмотрим отображение w = f (z), задаваемое функцией f, и обозначим через путь = f. Заметим, что функция (см. формулу (13.2)) является первообразной функции g(w) := 1/w вдоль (проверьте это!). Поэтому, применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим:

откуда Из этой формулы можно вывести два полезных следствия. Вопервых, взяв от обеих частей последнего равенства мнимую часть, получим, что для произвольного пути. Во-вторых, для любого замкнутого непрерывного пути : I C и любой непрерывной функции f : (I) C \ {0} формулу (13.3) можно переписать в виде Принцип аргумента. Пусть D C — область с простой границей, причем D связна и, следовательно, является кусочно гладкой жордановой кривой. (Напомним, что D ориентирована так, что область D остается слева при обходе вдоль D.) Пусть функция f (z) мероморфна в области G D и не имеет нулей и полюсов на D. Тогда Доказательство. Параметризуем D отображением Пользуясь формулой (13.1) и определением интеграла, запишем левую часть формулы (13.5) в виде согласно формуле (13.4), откуда и следует доказываемая формула (13.5).



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |
 



Похожие работы:

«Сборникь отдленія русскою языка и словесности Императорской академіи наукь т от 47: Сочиненія А. А. Котляревскаю т. I. Спб. 1889 г. Покойный славистъ А. А. Котляревскій, бывшій профессороыъ въ кіевскомъ университет, имлъ въ своемъ характер одну любо­ пытную странность: онъ любилъ издавать свои труды лишь въ весьма ограниченномъ количеств экземиляровъ, вслдствіе чего они очень скоро носл своего ноявленія исчезали изъ обращенія въ продаж и длалнсь библіографическою рдкостію. Всиомнинъ, напр., о...»

«Интернет Малая Книга, VI/2010 Оглавление ПРЕДУВЕДОМЛЕНИЕ О БОРЩАХ Условия хорошего борща [Хмелевская1914] Борщи [Ананьев1957] Борщи [Похлёбкин1978] Борщ [Ковалев1990] Борщ [Похлёбкин1996] Борщок [Похлёбкин1996] РЕЦЕПТЫ Борщ из поросенка [№I.I.VI.1 / Повар1844] Борщ малороссийский [№I.I.VI.2 / Повар1844] Борщ французский [№I.I.VI.3 / Повар1844] Борщ со свежим судаком [№III.II.I.2 / Повар1844] Борщ польский лейзенованный с ушками [№I.3 / Радецкий1852] Борщ из зеленого селлерея по-литовски [№I.69...»

«Семь лучей солнца Часть 6 ЗначимоСть благоСловения благородного Пророка r Махачкала - 2008  Семь лучей Солнца ББК 86,38 УДК 29 Курамухаммад-хаджи Рамазанов. Семь лучей солнца. Часть VI. Махачкала. Издательство “Ихлас“, 2008 - 60 с. Одобрено Экспертным Советом Духовного управления мусульман Дагестана. Регистрационный номер № 08-025 Ответственный эксперт: А. Магомедов ББК 86,38 УДК 29 © К. Рамазанов 2008 2 Часть 6 Значимость благословения благородного Пророка r ПРЕДИСЛОВИЕ Именем Всемилостивого...»

«Пионеры, или У истоков Саскуиханны Джеймс Фенимор Купер Глава 1 Взгляни, грядет угрюмая зима В сопровождении могучей свиты Метелей, туч и льда. Тамсон Времена года В самом сердце штата Нью-Йорк лежит обширный край, где высокие холмы чередуются с широкими оврагами или, как чаще пишут в географических книгах, где горы чередуются с долинами. Там, среди этих холмов, берет свое начало река Делавар; а в долинах журчат сотни кристальных ключей, из прозрачных озер бегут быстрые ручьи - это истоки...»

«Драконоборец Виктор Точинов 2 Книга Виктор Точинов. Драконоборец скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Виктор Точинов. Драконоборец скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Виктор Точинов Драконоборец 4 Книга Виктор Точинов. Драконоборец скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! I. Озеро: Смерть на закате 5 Книга Виктор Точинов. Драконоборец скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 1 Валера...»

«Роберт Кийосаки Если хочешь быть богатым и счастливым не ходи в школу? Spellcheck Max Levenkov: sackett(@)mail.ru Если хочешь быть богатым и счастливым не ходи в школу?: Колибри; Киев; 2001 Роберт Кийосаки Если хочешь быть богатым и счастливым не ходи в школу? Надежная гарантия жизни Для Вас и Ваших Детей Прочтя книгу, все что я увидел и прочувствовал в своей рабочей жизни, откликнулось – наконец-то! Роберт дал мне надежду и пробудил мой дух к действию. Это ободряющий мозги коктейль, и я хочу...»

«Введение: Основные почему и каким образом 2 Часть 1: Природа человеческой сущности Глава 1: Человеческая точка зрения об экспертности 7 Глава 2: 21 Развивая свой скептицизм Часть 2: Планирование и подготовка Глава 3: Язык тела экспертов, аферистов и всех остальных 28 Глава 4: Движущая сила: Кто, Что, Когда 55 Глава 5: Модели экспертности – Стратегии, Техники и Тактики 64 Глава 6: Назначение и форма исследования 90 Глава 7: Упаковка информации 109 Часть 3. Выполнение и спасение Глава 8: Поставка...»

«3 Игрушки для м+ новорожденных 9 м+ КУКЛА СЛАДКИЕ СНЫ 12 МУЗЫКАЛЬНАЯ м+ Музыкальная кукла для вечерней сказки и сна с классической музыкой и настоящими звуками природы. Нажмите на кнопку 2 в виде луны на животике куклы, и зазвучит колыбельная Моцарта и польется мягкий успокаивающий свет. Если нажать г+ на кнопку с рисунком книги, звучат фрагменты музыки Россини, Шумана и Нью Ейдж, сочетаясь с просмотром изображений книги. Арт. 61654.00 (девочка) Арт. 61659.00 (мальчик) 1 ИГРУШКИ ДЛЯ...»

«ТРУДЫ Издаются с 2001 года 56 И.И. Никулин, А.Д. Савко ЛИТОЛОГИЯ АЛМАЗОНОСНЫХ НИЖНЕЮРСКИХ ОТЛОЖЕНИЙ НАКЫНСКОГО КИМБЕРЛИТОВОГО ПОЛЯ (ЗАПАДНАЯ ЯКУТИЯ) Воронеж, 2009 ISSN 1608-5833 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ ТРУДЫ Издаются с 2001 года ВЫПУСК 56 И.И. Никулин, А.Д. Савко ЛИТОЛОГИЯ АЛМАЗОНОСНЫХ НИЖНЕЮРСКИХ...»

«Судебная помощь и исполнительное производство Наложение взыскания за счет активов за рубежом Корпоративные рейдерские захваты Споры с участием Российской Федерации и государственных компаний Новейшие тенденции СТРАТЕГИЧЕСКИЙ ПРИ ПОДДЕРЖКЕ: ПАРТНЕР: СПОНСОРЫ CONFERENCE STRATEGIC PARTNER LUNCHEON SPONSOR CONFERENCE PARTNERS NETWORKING BREAK SPONSORS MEETING SUPPORTER CONFERENCE DELEGATE BAG SPONSOR THERMAL MUGS SPONSOR PRE-CONFERENCE SPEAKER DINNER SPONSOR ПРИ ПОДДЕРЖКЕ Federal Chamber of...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.