WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«Ключевые слова: компьютерная алгебра, системы дифференциальных уравнений, формальные ряды Лорана, особые точки решений, выявляющий полином, выявляющее преобразование, ...»

-- [ Страница 1 ] --

Особые точки решений

линейных обыкновенных дифференциальных

систем с полиномиальными коэффициентами

С. А. АБРАМОВ

Вычислительный центр РАH

e-mail: sergeyabramov@mail.ru

Д. Е. ХМЕЛЬНОВ Вычислительный центр РАH e-mail: dennis_khmelnov@mail.ru УДК 512.628.2 Ключевые слова: компьютерная алгебра, системы дифференциальных уравнений, формальные ряды Лорана, особые точки решений, выявляющий полином, выявляющее преобразование, рациональные решения.

Аннотация Рассматриваются системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно m неизвестных функций от x. Коэффициенты систем являются полиномами над полем k характеристики 0. Каждая из рассматриваемых систем состоит из m независимых над k[x, d/dx] уравнений, порядки которых произвольны. Предлагается компьютерно-алгебраический алгоритм, который по заданной системе S рассматриваемого вида находит такой полином d(x) k[x] \ {0}, что если при некотором k система S обладает в k((x ))m решением и какая-то из компонент этого решения имеет ненулевую полярную часть, то d() = 0. Если k C и система обладает аналитическим решением с особенностью любого вида (не обязательно полюсом) в, то равенство d() = 0 также выполняется.

Abstract S. A. Abramov, D. E. Khmelnov, On singular points of solutions of linear differential systems with polynomial coefficients, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 17 (2011/2012), no. 1, pp. 3—21.

We consider systems of linear ordinary differential equations containing m unknown functions of a single variable x. The coefficients of the systems are polynomials over a field k of characteristic 0. Each of the systems consists of m equations independent over k[x, d/dx]. The equations are of arbitrary orders. We propose a computer algebra algorithm that, given a system S of this form, constructs a polynomial d(x) k[x] \ {0} such that if S possesses a solution in k((x ))m for some k and a component of this solution has a nonzero polar part, then d() = 0. In the case where k C and S possesses an analytic solution having a singularity of an arbitrary type (not necessarily a pole) at, the equality d() = 0 is also satisfied.

Исследование частично поддержано РФФИ, грант 10-01-00249-a.

Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, том 17, № 1, с. 3—21.

c 2011/2012 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

4 С. А. Абрамов, Д. Е. Хмельнов 1. Введение Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и системы таких уравнений встречаются во многих областях математики. Решение систем связано со специфическими сложностями, которые не встречаются в скалярном случае. Рассмотрим уравнение вида Pr (x)y (r) + Pr1 (x)y (r1) +... + P0 (x)y = 0. (1) Сначала предположим, что это скалярное уравнение, где коэффициенты P0 (x), P1 (x),..., Pr (x) — полиномы над полем k характеристики ноль и коэффициент Pr (x) не является тождественно нулевым. Хорошо известно, что если решение уравнения (1) имеет особенность в некоторой точке (например, это решение является формальным рядом Лорана по степеням x с ненулевой полярной частью), то Pr () = 0. Полином Pr (x) имеет конечное число корней, и все они могут быть исследованы шаг за шагом. Если же (1) является системой, y = (y1, y2,..., ym )T — вектор-столбец неизвестных функций от x и P0 (x), P1 (x),..., Pr (x) — (2) квадратные матрицы размера m m с элементами в k[x], то роль, которую в скалярном случае играли корни полиномиального коэффициента при y (r) (x), теперь могут играть корни определителя ведущей матрицы Pr (x), если этот определитель не равен тождественно нулю. Но если он тождественно равен нулю, то ситуация усложняется. Именно она и рассматривается в нашей статье.

В предположении, что уравнения системы независимы над k[x, d/dx], решается задача построения выявляющего полинома для данной системы S вида (1), т. е. некоторого полинома d(x), такого что если, например, при каком-нибудь k система S обладает решением y(x) k((x ))m и какая-то из компонент этого решения имеет ненулевую полярную часть (в этом случае можно говорить, что является полюсом y(x)), то d() = 0; у этого полинома могут быть и корни, которые не соответствуют никакому такому, поэтому такой полином можно было бы назвать и охватывающим. Если отказаться от условия, что уравнения исходной дифференциальной системы независимы над k[x, d/dx], то можно столкнуться с ситуацией, при которой множество особых точек решений заданной системы бесконечно: например, для системы 1 1 0 y+ y = 0, 00 y = (y1, y2 )T, k — произвольное поле характеристики ноль, любая точка является особой для некоторого решения, для которого y1 = y2 (при этом уравнения системы независимы над k).

Мы начнём с алгоритма EG выполнения выявляющего преобразования исходной системы S по отношению к ведущей матрице (раздел 2.1). Этот алгоритм находит систему S того же вида (для тех же неизвестных функций), определитель ведущей матрицы которой принадлежит k[x] \ {0}, причём множество Особые точки решений линейных обыкновенных дифференциальных систем решений S содержит множество решений системы S в качестве подмножества.

Алгоритм Syngsys, опираясь на алгоритм EG, строит выявляющий полином для заданной системы S. Мы предлагаем рандомизированные варианты этих двух алгоритмов (раздел 2.4); выясняется, что рандомизация во многих случаях позволяет снизить степень выявляющего полинома.



Операция дифференциального сдвига, которую мы вводим в разделе 2.1, позволяет использовать в алгоритме EG идеи алгоритмов EG и EG [1—4]. Задача построения выявляющего полинома не решается непосредственно с помощью самих алгоритмов EG и EG, так как они предназначены для рекуррентных систем (см. раздел 3.1). Аналогично дело обстоит с алгоритмом из [10]. Алгоритм из [11] применяется к дифференциальным системам вида (1), но с его помощью возможно выявляющее преобразование системы только по отношению к трейлинговой матрице (ненулевой матрице Pi (x) с наименьшим значением индекса).

Можно предположить, что задача алгоритмического определения потенциальных особенностей решений систем вида (1), в частности задача построения выявляющего полинома, не рассматривалась в явном виде в литературе, хотя некоторые подходы, вероятно, могут быть извлечены из публикаций [9, 12].

При этом алгоритмы EG и Singsys ориентированы непосредственно на построение выявляющего полинома и основаны на простых вычислениях. Реализация алгоритмов представлена в разделе 2.2.

Если r = 1 в (1), то можно указать алгоритм, являющийся альтернативой алгоритму EG. Теоретически система (1) с произвольным r может быть сведена к системе первого порядка. В разделе 2.3 мы показываем, что при больших r алгоритм EG имеет меньшую сложность, чем алгоритм, основанный на переходе к системе первого порядка.

В приложении (раздел 3) рассмотрены некоторые задачи, связанные с алгоритмами EG и Singsys.

Алгоритм EG представляет собой дифференциальный вариант алгоритма EG. Надо заметить, что название «дифференциальный вариант алгоритма EG »

использовано в [8] для алгоритма решения другой задачи, которая отличается от задачи выявляющего преобразования дифференциальной системы. Мы обсудим это в разделе 3.2 (для алгоритма EG в разделе 3.1 введено и использовано новое название: EG ). В разделе 3.3 в качестве иллюстрации применения алгоритмов EG и Singsys рассмотрена задача поиска решений в виде рациональных функций для дифференциальных систем.

Если дана неоднородная система с правой частью, принадлежащей k[x]m, то, добавив к y(x) компоненту ym+1 со значением 1, ym+1 = 0, можно преобразовать данную систему в однородную систему S1 с числом неизвестных функций и уравнений, равным m + 1. Для наших целей достаточно найти выявляющий полином для S1. Пусть однородная система S2 получена отбрасыванием правых частей в уравнениях исходной системы. Если уравнения S2 независимы над k[x, d/dx], то уравнения S1 также независимы. Исходя из этих соображений, мы ограничиваемся в нашей статье случаем однородной системы.

Краткое изложение результатов этой статьи представлено в [6].

2. Алгоритмы EG и Singsys Как уже говорилось, мы предполагаем, что уравнения исходной дифференциальной системы независимы над k[x, d/dx].

2.1. Чередование шагов «редукция + дифференциальный сдвиг»

Пусть r, m — произвольные неотрицательные целые числа, а система и соответствующие матрицы P0 (x), P1 (x),..., Pr (x) такие, как в (1) и (2) соответственно. Матрица называется явной матрицей системы, а Pr (x) называется ведущей частью явной матрицы.

Ps2 (x),..., P0 (x) нулевые. Пусть дополнительно t-й элемент, 1 t m, является последним ненулевым элементом i-й строки Ps (x). Тогда (r s) · m + t называется шириной i-й строки P (x), а последний ненулевой элемент i-й строки — трейлинговым элементом этой строки.

Пусть в i-й строке матрицы P есть ненулевые элементы, но i-я строка матрицы Pr (x) нулевая. Пусть c(x) — трейлинговый элемент i-й строки P (x).

Поделим дифференциальное уравнение, соответствующее i-й строке матрицы P (x), на c(x), продифференцируем получившееся уравнение и избавимся в нём от знаменателей. Затем заменим i-ю строку P (x) на строку, соответствующую получившемуся дифференциальному уравнению. Эта операция называется дифференциальным сдвигом i-й строки P (x).

Если i-е строки Pr (x), Pr1 (x),..., Pu+1 (x), 0 u r, нулевые и i-я строка Pu (x) ненулевая, то i-я строка Pu+1 (x) будет ненулевой после дифференциального сдвига i-й строки P (x). Этот факт и следующая лемма оправдывают термин «дифференциальный сдвиг».

Лемма 1. Пусть i-я строка матрицы Pr (x) нулевая. Тогда дифференциальный сдвиг i-й строки матрицы P (x) уменьшает ширину этой строки.

Доказательство. Так как мы предполагаем, что строки матрицы P (x) независимы над k[x, d/dx], то найдётся такое s 0, что i-я строка матрицы Ps (x) ненулевая и i-е строки матриц Ps1 (x), Ps2 (x),..., P0 (x) нулевые. Пусть i-я строка Ps (x) имеет вид t 0, c(x) k[x] \ {0}. Тогда после дифференциального сдвига эта строка будет иметь вид Особые точки решений линейных обыкновенных дифференциальных систем где h(x) — полиномиальный множитель, обеспечивающий избавление от знаменателей. При этом i-е строки матриц Ps1 (x), Ps2 (x),..., P0 (x) по-прежнему нулевые.

Схема алгоритма EG такова. Применяем любой имеющийся метод, чтобы проверить, являются ли строки ведущей части явной матрицы линейно зависимыми над k(x), и если да, то находим коэффициенты зависимости v1 (x),..., vm (x) k[x]. Из строк явной матрицы, соответствующих ненулевым коэффициентам, выбираем ту, которая имеет наибольшую ширину (пусть это будет i-я строка). Затем заменяем i-ю строку явной матрицы линейной комбинацией её строк с коэффициентами v1 (x),..., vm (x). В результате i-я строка ведущей части становится нулевой. Этот этап называется редукцией. Существенно, что ширина ни одной из строк не увеличивается из-за редукции. Теперь производим дифференциальный сдвиг i-й строки и продолжаем процесс до тех пор, пока ведущая часть не станет невырожденной. (Мы никогда не получим в матрице P (x) нулевую строку, так как уравнения исходной системы независимы над k[x, d/dx].) Теорема 1. Алгоритм EG заканчивает свою работу.

Доказательство. Как уже говорилось, ширина ни одной из строк не возрастает в результате редукции. Согласно лемме 1 дифференциальный сдвиг уменьшает ширину соответствующей строки. Таким образом, суммарная ширина всех строк уменьшается на шаге «редукция + дифференциальный сдвиг».



Pages:     || 2 | 3 | 4 |
 



Похожие работы:

«Т.Нигрис, А.Косинова, А.Пивоньски, К.Маркони, И.Казакова, Переговоры на фирме IMA, в центре Алан Рельф С.Илюхин, Ф.Миглиоли, IES Маркезини Групп (Италия) является лидером в производстве Основанная в 1961 году, компания IМА (Италия) является комплектных...»

«не содержится. Она...»

«Шейх Мухаммад Са’ид Рамадан аль-Бути Саляфийя (Саляфийя – благодатная эпоха, а не одно из течений Ислама) Содержание Об этой книге О шейхе Мухммаде Са’иде Рамадане аль-Бути Предисловие к новому изданию Предисловие ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. Научная методология (манхадж) в религии: определение и зарождение Уникальные свойства сподвижников Пророка (мир ему и молитва) Развитие мусульманской мысли Проблема и способ ее разрешения Всеохватная методология (манхадж) Точки согласия и расхождения ЧАСТЬ ВТОРАЯ....»

«Отзывы Книга Пробуждение львиц позволит вам увидеть великолепную силу и красоту, вложенные Богом в каждую женщину. Эта книга пробудит в вас сердце львицы, вдохновит подняться над ежедневной рутиной и служить Богу с обновленным рвением. Джойс Майер, известный автор и учитель Библии Лиза Бивер не просто провозглашает громогласные истины, но и сама живет жизнью львицы. Она посвященная христианка, верная жена, бесстрашная мать, смелый оратор и великолепный писатель. Пробуждение львиц побудит вас...»

«ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ МОСКВА 2012 ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МГУ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА ББК 74.58 Ф18 Составители: М.В. Абакумов, Б.И. Березин, Е.А. Григорьев, П.А. Точилин, С.В. Зива Рисунки: Е.В. Макарова Факультет вычислительной математики и кибернетики: Краткие сведения для поступающих. / Сост. М.В. Абакумов, Ф18 Б.И. Березин, Е.А. Григорьев, П.А. Точилин, С.В. Зива – М.: Издательский отдел факультета...»

«Примерная основная образовательная программа высшего профессионального образования Рекомендуется для направления подготовки 111100 Зоотехния Квалификация (степень) бакалавр Москва 2011 1. Общие положения 1.1. Примерная основная образовательная программа высшего профессионального образования (ПООП ВПО) по направлению подготовки 111100 Зоотехния является системой учебно-методических документов, сформированной на основе Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС ВПО) по данному...»

«1932 2 Первое издание: Париж, 1932 3 После дневных трудов сойдемся на беседе о Сердце. Оно поведет нас через земные области к Тонкому Миру, чтобы приблизить к сфере Огня. 4 1. Видеть глазами сердца; слышать гул мира ушами сердца; прозревать будущее пониманием сердца; помнить прошлые накопления сердцем – так нужно стремительно идти путем восхождения. Творчество обнимает огненный потенциал и насыщается сокровенным огнем сердца. Потому на пути к Иерархии, на пути к Великому Служению, на пути...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ СРАВНИТЕЛЬНАЯ МИФОЛОГИЯ Оглавление РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ СРАВНИТЕЛЬНАЯ МИФОЛОГИЯ.1 Оглавление Аннотация программы Пояснительная записка Компетенции, приобретаемые студентами I. Компетенции, приобретаемые за время освоения курса II. Компетенции, в формировании которых курс участвует Уметь анализировать текстовый материал различными способами. Входной и выходной блоки III. Компетенции по ФГОС-3, к формированию и контролю которых курс имеет отношение...»

«ВАШЕ ДЕЛО РЕШАЕТСЯ Убойтесь Бога и воздайте Ему славу, ибо наступил час суда Его. Откровение 14:7 В 1844 году наш Первос- кто хочет, чтобы его имя было вященник вошел во Святое святых сохранено в книге жизни, должен небесного святилища, чтобы теперь, в эти немногие оставшиеся начать работу следственного суда дни испытания, искренне покаяться (Избранные вести, т. 1, с. 125). перед Богом в своих грехах. Когда на суде открываются Необходимо глубоко заглянуть книги, тогда жизнь всех верующих в свое...»

«Джон Зерзан ПЕРВОБЫТНЫЙ ЧЕЛОВЕК БУДУЩЕГО Процесс разделения труда, являющийся причиной нынешнего всеобъемлющего кризиса, также ни на минуту не дает нам понять причины сложившейся ужасающей ситуации. Мэри Лекрон Фостер (1990), несомненно, даже недооценивает проблему, допуская, что антропология сегодня подвергается опасности массивного и вредного раздробления. Шенкс и Тилли (1987b) в связи с этим бросают вызов, который можно услышать нечасто: Задача археологии — не просто интерпретировать...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.