WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 37 |

«ЛЕКЦИИ ПО СИМВОЛИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Санкт-Петербург 2004 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга представляет собой вводный курс в конструктивные методы исследования ...»

-- [ Страница 1 ] --

Г.С. Осипенко, Н.Б.Ампилова

ЛЕКЦИИ ПО СИМВОЛИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Санкт-Петербург

2004

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга представляет собой вводный курс в конструктивные методы исследования динамических систем. Описаны методы прикладной символической динамики и их применение к изучению неперерывных и дискретных динамических систем. Также рассматриваются методы исследования глобальной структуры динамических систем, основанные на использовании символического образа системы, представляющего собой конечный ориентированный граф, построенный по выбранному покрытию фазового пространства. Полученный ориентированный граф порождает символическую динамику, отражающую динамику исходной системы. Символический образ позволяет изучать глобальную структуру исходной системы в терминах теории графов и допускает компьютерное исследование.

Каждая глава снабжена достаточным количеством примеров, приведены результаты численных экспериментов с подробными комментариями. Для понимания описанной тематики читатель должен быть знаком с общим курсом теории дифференциальных уравнений. Необходимые первоначальные сведения по этому курсу приведены в Приложении A. Теоремы приводятся без доказательств, основное внимание уделено их применению. Доказательства необходимых теорем читатель может найти в соответствующих оригинальных работах. Книга рассчитана на студентов старших курсов, исследователей, занимающихся различными приложениями теории динамических систем.

Созданию этой книги в значительной мере помогали И.В.Романовский (разработка и реализация компьютерного алгоритма вычисления спектра Морса), Е.И.Петренко (создание программного комплекса исследования динамических систем), С.Ю. Кобяков (построение символического образа и локализация инвариантных множеств), Л.В.Линчук (программный комплекс LINE).

Авторы глубоко признательны А.В. Скитовичу, просмотревшему рукопись и сделавшему много ценных замечаний и поправок.

Глава Динамика Изучению какого-либо физического процесса обычно предшествует построение его математической модели. Модель представляет собой систему уравнений, описывающих изучаемый процесс в математических терминах. Уравнения, входящие в систему, могут иметь различную природу.

Зависимость между величинами, входящими в уравнения, может быть линейной (т.е представлять собой линейную функцию) или нелинейной, уравнения могут содержать параметры (уравнения с параметрами) или содержать как искомые функции, так и их производные (дифференциальные уравнения). Примеры таких моделей известны: например, модели движения маятника, движения жидкости, модель распространения тепла, модель процесса размножения бактерий.

Под процессом мы понимаем множество наблюдаемых параметров, которые зависят от времени t. Множество значений параметров процесса в момент времени t характеризует его состояние.

Множество состояний процесса образует фазовое пространство системы.

Например, закон радиоактивного распада вещества можно сформулировать так: скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна оставшемуся в данный момент количеству вещества. В этом случае состояние процесса определяется количеством вещества. Процесс размножения бактерий при достаточном количестве питательного вещества может быть описан следующим образом: скорость роста популяции пропорциональна ее объему. Здесь состояние процесса определяется количеством бактерий. В данных случаях фазовое пространство одномерно и представляет собой множество положительных вещественных чисел.

Рассмотрим механическую систему, описывающую движение материальной точки. Состояние рассматриваемой точки характеризуется двумя величинами: координатами и скоростью. В зависимости от того, где происходит движение, для однозначного определения состояния точки потребуется различное количество характеристик. Если точка движется по прямой, то потребуется две величины ( координата на прямой и скорость) и фазовым пространством, таким образом, будет являться плоскость R2 или ее часть. При движении точки в плоскости координаты задаются двумя величинами и вектор скорости также имеет две составляющих. Следовательно, фазовым пространством является четырехмерное евклидово пространство R4. Аналогично для описания движения точки в трехмерном пространстве потребуется 6 величин, характеризующих состояние данной точки в некоторый момент времени и фазовым пространством такой системы будет пространство R6.

Уравнения, задающие систему, описывают изменение состояния объекта с течением времени.

Если этот закон изменения выражается с помощью дифференциальных уравнений, то говорят, что задана система с непрерывным временем. Если же уравнения, определяющие систему, задают закон изменения состояния системы через фиксированный интервал времени, то система называется системой с дискретным временем. Величина этого временного интервала определяется условиями конкретной задачи. Таким образом, мы можем представлять себе поведение интересующего нас объекта, рассматривая движение точек в фазовом пространстве в определенные моменты времени, а закон этого движения задается нашей системой уравнений.

Одним из наиболее известных является класс систем, описывающих так называемые детерминированные процессы. Это означает, что существует правило в виде системы уравнений, коГлава 1. Динамика торое однозначно определяет весь будущий ход процесса и его прошлое, исходя из состояния в настоящее время. Системы, описывающие процессы размножения бактерий и радиоактивного распада вещества а также механические системы, задающие движение материальной точки, являются детерминированными, т.е. процесс однозначно определяется по заданному начальному положению и уравнениям системы. Разумеется, существуют и недетерминированные системы:

процесс распространения тепла в некоторой среде является полудетерминированным, так как будущее определяется настоящим, а прошлое нет. А вот движение частиц в квантовой механике не является детерминированным процессом. Нужно заметить, что факт детерминированности того или иного процесса можно установить лишь экспериментально, следовательно только с некоторой степенью точности. В дальнейшем мы еще вернемся к этому обстоятельству, а сейчас будем считать, что наши математические модели отражают реальные физические процессы, т.е являются достаточно точными.

Мы будем изучать дискретные и непрерывные динамические системы. Дискретная система задается отображением (разностным уравнением) xn+1 = f (xn ), где каждое последующее состояние системы xn+1 однозначно определяется предыдущим состоянием xn и отображением f.

При этом номер n можно трактовать как дискретное время. Таким образом, эволюция системы описывается последовательностью {xn, n Z} в фазовом пространстве.

Хотя исторически главным объектом исследований в теории динамических систем были потоки, порожденные дифференциальными уравнениями, в семидесятые годы прошлого века особое внимание было обращено на дискретные динамические системы. Более подробно о связи этих двух видов систем можно прочесть в книге [79]. Непрерывная динамическая система задается, как правило, автономным дифференциальным уравнением dx = F (x) (или системой таких dt уравнений). Решение такого уравнения имеет вид (t, x0 ), где x0 задает начальное состояние системы при t = t0, а t трактуется как время. В этом случае эволюция системы описывается кривой {x = (t, x0 ), t R} в фазовом пространстве. Основные теоремы курса дифференциальных уравнений гарантируют существование решения при достаточно широких предположениях относительно отображения F, однако его нахождение (интегрирование системы) является довольно трудной задачей. Более того, решения большинства дифференциальных уравнений не выражаются через элементарные функции. При решении реальных задач решение часто строится с использованием численных методов.

В этом смысле дискретные динамические системы являются более простыми для изучения, так как отображение f является в этом случае аналогом решения и проблема интегрирования не усложняет понимания эволюции системы. Компьютерное моделирование позволяет легко строить траекторию системы на конечном интервале времени, что дает возможность решать многие задачи.

1.1. Хаос и порядок Поскольку процесс, описываемый детерминированной системой, однозначно определяется заданным начальным состоянием, то можно предположить, что поведение такой системы является достаточно регулярным, т. е. следует некоторому определенному закону. Такой взгляд господствовал в 19 столетии. Однако, с развитием науки меняются и наши представления об окружающем мире. В 20 веке были созданы теория относительности, квантовая механика и теория хаоса.

Теория относительности опровергла представления Ньютона об абсолютном пространствевремени, а квантовая механика показала, что нельзя считать детерминизм присущим всем физическим явлениям. Теория хаоса показала, что многие детерминированные системы могут проявлять свойства нерегулярности, т. е. обладают решениями, которые зависят от времени непредсказуемым образом. Примером хаотической зависимости может служить десятичная запись иррационального числа, где каждая последующая цифра, может быть какой угодно независимо от всех предыдущих, т.е. зная первые n цифр, мы не можем прогнозировать последующую цифру.

Термин “хаос”, по-видимому, был введен Д.Йорке в 60-е годы. Однако, первооткрывателем хаотического поведения траекторий следует считать А.Пуанкаре [94], который в 1888 году исследуя 1.1. Хаос и порядок проблему трех тел, обнаружил сильно неустойчивые орбиты. За эту работу 21 января 1889 года он получил премию короля Швеции Оскара II. Пуанкаре показал существование двоякоасимптотических орбит в задаче трех тел. Такую орбиту мы сейчас называем гомоклинической. Основное ее свойство состоит в том, что она начинается и заканчивается вблизи одной и той же периодической орбиты. Следует отметить, что в данном случае хаотические траектории возникают в строго детерминированных механических системах, подчиненных законам Ньютона.

В 1935 году Г. Биркгоф [48] впервые применил символическую динамику для кодировки траекторий вблизи гомоклинической орбиты. С. Смейл применил ту же технику при построении так называемой “подковы” простой модели хаотической динамики [39]. “Подкова Смейла” оказала существенное влияние на теорию хаоса, так как этот пример является типичным, а методы символической динамики оказались тем инструментом, который позволяет описать природу детерминированного хаоса.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 37 |
 


Похожие работы:

«Основы самодисциплины ПРАКТИКА АГНИ-ЙОГИ Москва Амрита-Русь 2008 УДК 821.161.1 ББК 83 О75 Основы самодисциплины. Практика Агни-Йоги, / сост. О75 В.В. Перевалов. — М. : Амрита-Русь, 2008. — 416 с. — (Серия Агни-Йога — Путь Сердца). ISBN 978-5-9787-0212-5 Книга Основы самодисциплины составлена на основе учения Агни-Йоги. Здесь изложен материал, который дает возможность ученикам следовать по пути Агни-Йоги, используя конкретные указания и наставления в жизни. Не уходите от жизни, идите горним...»

«1 Содержание Вступление 4 Раздел 1 Check Points for AMIBIOS97, Core 6.x....................... 5 Коды неупакованной процедуры инициализации 5 Коды процедуры перезаписи Flash ROM 5 Коды распакованного системного BIOS 6 Раздел 2 Check Points for AMIBIOS, Core 7.x....................... 9 Коды неупакованной процедуры инициализации 9 Коды процедуры перезаписи Flash ROM 10 Коды распакованного системного BIOS 10 Особенности выполнения DIM 13 Контрольные...»

«Структура вакуума и метрический тензор общей теории относительности II Cанкт-Петербургский Горный Университет Санкт-Петербург, Миллионная, д5, E -mail Yakubovski@rambler.ru Описаны свойства вакуума, свойства элементарных частиц, из которых он состоит. Определены свойства этих частиц. Обоснована формула для мнимой вязкости вакуума, показано, что она определяется значением постоянной Планка и меняется с течением времени. Решено уравнение Шредингера по определению скорости вращения электрона,...»

«ШУМАЕВСКИЙ КРЕСТ И КАЛЬВАРИЯ ЦАРЯ АЛЕКСЕЯ МИХАЙЛОВИЧА Шумаевский Крест представлял собой пластический ансамбль, состоявший из сотен разномасштабных резных и литых рельефов и скульптур. В центре ансамбля было установлено Распятие с предстоящими на фоне Иерусалима, слева и справа — архангелы с рипидами и евангелисты. Перед Распятием — трехчастное сооружение, символизировавшее храм Гроба Господня, — своеобразная аван-композиция, предварявшая рассмотрение ансамбля. По сторонам центральной части...»

«Составители: Н.З. Стародубова, Е.И. Ратникова Абонент библиотеки — лицо (группа лиц, организация), пользующееся документноинформационными ресурсами и другими предоставляемыми библиотекой услугами и зарегистрированное в качестве ее постоянного пользователя. См. также: Пользователь библиотеки Автоматизированная библиотечно-информационная система (АБИС) — разновидность автоматизированной информационной системы, обеспечивающая библиотечные процессы сбора, обработки, хранения, поиска, переработки и...»

«1 Эта брошюра приурочена к столетию со дня рождения Татьяны Антоновны Детлаф (10.10.1912 – 24.10.2006) выдающегося учёного-биолога и замечательного человека. Центральное место в этой брошюре занимает жизнеописание Татьяны Антоновны. В нем рассказывается о двух поколениях семьи, принадлежащей почти уже вымершему сословию русской интеллигенции, все члены которой были одухотворены надеждой на свободное и справедливое будущее и посвятили свою жизнь творчеству во благо людей и науки. К этому...»

«Петр60град от ЗАПООRРЫ дО ВЕнrрии ЗАПИСКИ ДВАДЦАТИЧЕТЫРЕХЛЕТНЕГО ПОДПОЛКОВНИКА 1941-1945 ; Москва UЕнтрnолиrРАСР УДК 94(47).084.8 ББК 63.3(2)622 Б74 Серия На ЛИНИИ фронта. Правда о войне выпускается с 2006 года Разработка серийного офор мл ения художник а и.А. Оз ерова Боград п.л. Б74 от Заполярья до Венгрии. Записки двадцатичеты­ рехлетнего подполКОВНИка. 1941 -1945. М.: ЗАО Центрполиграф, 2009. - 224 с. - (На ЛИНИИ фрон­ та. Правда о войне). ISBN 978-5-9524-4391-4 Генерал-майор Петр Львович...»

«Статья с одного из буржуйских сайтов. Вступление. Цель этой статьи состоит в том, чтобы помочь начинающим игрокам улучшать их игру. Стратегии и понятия, предложенные в этом тексте касаются игры на длинном столе (8-10 игроков). В техаский безлимитный покер раньше больше играли в турнирном варианте, но в последнее время вслед за подъемом в турнирном виде, бурно развивается и вариант кеш-игры. Другая причина возросшей популярности в том, что по сравнению с публичными казино онлайновые покер-румы...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.