WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«М. А. Шубин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2003 УДК 517.91/.93 ББК ...»

-- [ Страница 1 ] --

Библиотека

Математическое просвещение

Выпуск 23

М. А. Шубин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Издательство Московского центра

непрерывного математического образования

Москва • 2003

УДК 517.91/.93

ББК 22.161

Ш95

Аннотация Эта брошюра основана на лекциях, дважды прочитанных автором в Красноярской краевой летней школе по естественным наукам школьникам, окончившим 10-й класс. В ней кратко объясняются основные понятия математического анализа (производная и интеграл) и даются простейшие приложения к физическим задачам, основанные на составлении и решении дифференциальных уравнений.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.

Издание осуществлено при поддержке Московского комитета образования и Московской городской Думы.

ISBN 5-94057-075-5 © М. А. Шубин, 2003.

© МЦНМО, 2003.

Михаил Александрович Шубин.

Математический анализ для решения физических задач.

(Серия: Библиотека,,Математическое просвещение“).

М.: МЦНМО, 2003. — 40 с.: ил.

Редактор А. А. Ермаченко. Техн. редактор М. Ю. Панов.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 6/II 2003 года.

Формат бумаги 6088 116. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Физ. печ. л. 2,50.

/ Усл. печ. л. 2,44. Уч.-изд. л. 2,31. Тираж 5000 экз. Заказ 471.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математический анализ в виде дифференциального и интегрального исчислений был создан в XVII веке как инструмент естествознания. Его ошеломляющая эффективность стала очевидна сразу, и с тех пор он прочно вошёл в арсенал учёных и инженеров. Поэтому раннее и быстрое знакомство с этим предметом чрезвычайно полезно для школьников, а также студентов всех специальностей. При этом он должен с самого начала излагаться в связи с его приложениями в физике и других естественных науках.

Ради быстрого знакомства можно обойтись без обязательной математической строгости, которая может быть добавлена позже, когда основные идеи уже ясны. В этой брошюре сделана попытка подобного изложения. Мне хотелось сделать изложение максимально кратким и, в то же время, показать реальные приложения. Образцом для меня служила книга Я. Б. Зельдовича Высшая математика для начинающих (М., 1960)*). Однако эта книга всё-таки требует значительного времени для изучения. Чтобы ещё больше сократить путь к приложениям, я использовал знания по математическому анализу, которые должны иметь школьники после окончания 10-го класса.

В сущности, предмет, о котором идёт речь, — это простейшие дифференциальные уравнения, возникающие в прикладных задачах. Быть может, читателям небезынтересно узнать, что основное открытие И. Ньютона, которое он счёл нужным засекретить и опубликовал в виде анаграммы, состоит в следующем: Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями**). Яркий пример применения дифференциальных уравнений — открытие Нептуна, сделанное в 1846 г. Дж. Адамсом и У. Леверье на основе независимо проведённых расчётов с использованием наблюдавшейся аномалии в движении Урана — последней известной тогда планеты. Мне хотелось, чтобы школьник, активно интересующийся математикой, обратил внимание на важность дифференциальных уравнений в самом начале своих серьёзных занятий.

Эта брошюра основана на лекциях, дважды прочитанных мной в Красноярских краевых летних школах по естественным наукам для школьников, окончивших 10-й класс. Впервые эти лекции были опубликованы в книге На стыке всех наук. Научно-методические материалы летней школы (изд-во Красноярского ун-та, 1989, сс. 124—177). Я с большим удовольствием вспоминаю замечательную атмосферу Красноярских школ и чрезвычайно благодарен их *) См. также последующие издания этой книги или книгу Я. Б. Зельдовича и И. М. Яглома Высшая математика для начинающих физиков и техников (М., 1982).

**) Цит. по: В. И. А р н о л ь д. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М., 1984.

организаторам за предоставленную мне возможность там работать.

Я весьма благодарен также сотрудникам издательства МЦНМО за их доброжелательность и эффективность.

О РЕШЕНИИ ПРИВЕДЁННЫХ В ТЕКСТЕ ЗАДАЧ

Решение задач необходимо для освоения материала этой брошюры. Но следует иметь в виду, что основные из приведённых здесь задач не являются полностью математическими. Точнее, речь идёт о задачах на составление и решение дифференциальных уравнений, включая доведение задачи до числового ответа, что важно в приложениях.

При решении этих задач желательно соблюдать следующую последовательность действий:

1-й этап — составление дифференциального уравнения с буквенными данными;

2-й этап — решение соответствующего дифференциального уравнения и получение буквенного ответа, анализ этого ответа;

3-й этап — получение численного ответа (подстановка чисел в формулы, полученные на втором этапе).

Первый этап состоит в нахождении математического описания явления на языке дифференциальных уравнений. Этот этап не относится к чистой математике, но он, по всей видимости, является самым важным и наиболее трудным.

На втором этапе применяют математический анализ для решения полученных дифференциальных уравнений. Использование на первых двух этапах числовых данных задачи может оказаться громоздким и вредным для последующего анализа. Если буквенных обозначений всех или некоторых величин в задаче нет, то следует их ввести. Анализ полученного в буквах ответа должен убедить вас в правильности составленного уравнения (нужно анализировать физические следствия полученных формул и их предельные случаи, чтобы понять, соответствует ли ответ здравому смыслу и физической реальности).

На третьем этапе подставляют числа в формулы, не забывая о единицах. Иногда целесообразно подставлять числа прямо с единицами, данными в задаче (указывая единицы явно), и лишь потом преобразовывать единицы (преждевременный перевод в единую систему может оказаться неэкономным, так как некоторые единицы измерения могут сократиться). Точность вычислений должна соответствовать точности данных задачи.

Примеры решений по этой схеме даны в тексте брошюры.

Не считая задач с физическим и естественно-научным содержанием, в брошюре приведено ещё несколько отдельных задач, в которых требуется приближённо вычислить некоторые величины (без микрокалькулятора). В Красноярской летней школе почти не было микрокалькуляторов, а были бумага и авторучки, так что этот способ вычислений был, по существу, вынужденным. Но им стоит владеть даже при наличии компьютеров, поскольку, во-первых, всегда полезно грубо оценить ответ с целью убедиться в правильности вычислений, сделанных с помощью вычислительного устройства, а во-вторых, такие вычисления имеют развивающую роль, позволяя лучше понять разные закономерности, связывающие величины и функции, увидеть без вычислений порядок тех или иных величин, встречающихся в практических задачах. При наличии небольшого опыта вычисления с точностью 10% (а это типичная точность, требуемая в приведённых задачах) могут быть сделаны очень быстро — за пару минут, а при известной тренировке и за несколько секунд.

Ваши усилия будут вознаграждены тем, что после решения каждой из таких задач вы будете лучше понимать окружающий вас мир.

§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ КАК МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ.

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Пусть какое-то тело (материальная точка) движется вдоль прямой (например, вертикальной). Обозначим через z(t) координату этого тела вдоль данной прямой в момент времени t. Начало координат на прямой можно выбрать произвольно. Средняя скорость движения на отрезке времени [t, t+t] равна Здесь t — любое ненулевое действительное число. Устремляя t к 0 при фиксированном t, получим мгновенную скорость в момент времени t, которая в математике называется производной функции z по t и обозначается z (t) или просто z, если момент t произволен или ясно, о каком t идёт речь. Таким образом, производная представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени t (отношение пути, пройденного за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка с учётом знаков).

Если z (t)0, то в момент времени t тело двигалось в сторону уменьшения координаты z.

В дальнейшем при употреблении производной какой-либо функции z(t) подразумевается, что эта производная существует (для функций, встречающихся в физике, это выполняется, как правило, всюду, за исключением, быть может, отдельных значений t).

Для конкретных функций существование производных обычно легко устанавливается из правил дифференцирования, но мы не будем специально следить за этим, чтобы не удлинять изложение.

П р и м е р 1. Равномерное движение:

Тогда z (t)=v — постоянная величина.

П р и м е р 2. Равноускоренное движение:

здесь v0 — начальная скорость, a — ускорение. В этом случае z (t)=v0 +at по известным правилам дифференцирования. Напомним, что если даны две функции f(t), g(t) и постоянная a, то (f+g) =f +g, (af) =af, (fg) =f g+fg,  ! = формула верна в случае, когда g(t)=0 в рассматриваемой точке t).

Из предпоследней формулы следует, что (t2 ) =2t.

При любом целом n легко доказать (например, индукцией по n), что (tn ) =ntn1. Можно доказать, что при t0 эта формула верна и для нецелых n (об этом ещё будет идти речь ниже).

Укажем геометрический смысл производной: если нарисовать график функции z=z(t), то z (t)=tg, где — угол наклона касательной, проведённой к графику в точке (t, z(t)), к оси t (рис. 1).

=F(z(t)) производную можно найти по формуле вытекающей из того, что (здесь использовалось, что если t0, то и z0).

и имеет производную в каждой точке этого отрезка. Строгая монотонность означает, что функция f либо возz растающая (если t t, то f(t )f(t )), либо для определённости считать функцию f возрастающей. Тогда множество значений функt ет ровно одно значение t, такое, что z z=f(t). Обозначим его через g(z).

Тогда t=g(z) называется обратной z+z g(f(t))=t. Вместо отрезка [t1, t2 ] можРис. но рассматривать интервал (t1, t2 ), полуинтервалы [t1, t2 ), (t1, t2 ], полупрямые [t1, +), (, t1 ] и т. п.

Дадим приращение t аргументу t и проследим за соответствующим приращением z функции f, т. е. возьмём z=f(t+t) f(t). Тогда, наоборот, для обратной функции g её приращение, соответствующее приращению z её аргумента, равно t (см. рис. 2).

При t0 будет z0, откуда (если f (t)=0) Таким образом, мы получили правило дифференцирования обратной функции:

Укажем ещё одно доказательство этого правила. Дифференцируя тождество f(g(z))=z по правилу дифференцирования сложной функции, получаем f (g(z)) g (z)=1, откуда g (z)=, что и треf (g(z)) П р и м е р. Если z=f(t)=t2, то t=g(z)= z (считаем, что рассматриваются значения t0, на [0, ) функция строго монотонна). Имеем:

Итак, ( z) =. Эта формула — частный случай более общей формулы (tn ) =ntn1 (или (zn ) =nzn1 ), которая верна при t (при z0) для произвольного вещественного значения n.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
 


Похожие работы:

«Вариант № 11269 1. A 3 № 355. Укажите случай симб ио за бактерии с другим организмом. 1) бацилл а сиб ирской язвы и овца 2) вибрио н хол еры и чел овека 3) кишечная пал очка и чел овек 4) сальмонелл а и курица Пояснение. Симбиоз (сожительство) — это тесная взаимосвязь между представителями разных видов, из которых по крайней мере один обойтись без нее не может. Кишечная пал очка способствуе т расщ епл ению клетчатки. Примечание. Провести строгое различие между комменсализмом и паразитизмом или...»

«ПЕРВАЯ РУССКАЯ АНТАРКТИЧЕСКАЯ ЭКСПЕДИЦИЯ 1819-1821 гг. Первые три десятилетия вознаменовались XIX многочисленными русскими кругосветными плаваниями, большая часть...»

«В поисках нравственных ориентиров 1 Содержание 1. Коротко о главном. О главных нравственных ориентирах 2. Отдельные заметки об актуальности заповедей 3. Коран. Первое знакомство 4. Четыре благородные истины буддизма 2 АННОТАЦИЯ Сборник В поисках нравственных ориентиров содержит четыре очерка. В первом из них (Коротко о главном. О главных нравственных ориентирах) кратко изложены основы миропонимания: первые древнейшие десять заповедей, заповеди из Нагорной проповеди Иисуса Христа, некоторые...»

«КОМАНДА НАЧИНАЕТСЯ С ВРАТАРЯ Издание 2-е, дополненное Москва Советская Россия 1988 www.natahaus.ru ОГЛАВЛЕНИЕ: ОТ АВТОРОВ НА ТРАМВАЕ В ФУТБОЛЬНОЕ ДЕТСТВО ОТ ВОЛГАРЯ ДО СПАРТАКА ИЗ НОВИЧКОВ В ЧЕМПИОНЫ КТО НАС ВЫВОДИТ В МАСТЕРА ГЛАВНАЯ КОМАНДА СТРАНЫ КОМАНДА НАЧИНАЕТСЯ С ВРАТАРЯ НАШИ САМЫЕ СТРОГИЕ СУДЬИ ПРОВЕРЯЕТ ИГРА ПОСЛЕДНЯЯ ГЛАВА, в которой один из авторов, перехватывая инициативу, рассказывает о соавторе www.natahaus.ru Р. Дасаев, А. Львов. Команда начинается с вратаря. -2 ОТ АВТОРОВ Мы не...»

«В ЗОЛОТОМ ПЕРЕПЛЕТЕ Когда по радио передавали Прекрасную Елену, бархатный голос руководителя музыкальных трансляций сообщил: - Внимание, товарищи, передаем список действующих лиц: 1. Елена - женщина, под прекрасной внешностью которой скрывается полная душевная опустошенность. 2. Менелай - под внешностью царя искусно скрывающий дряблые инстинкты мелкого собственника и крупного феодала. 3. Парис - под личиной красавца скрывающий свою шкурную сущность. 4. Агамемнон - под внешностью героя...»

«ПОД СОЗВЕЗДИЕМ ТОПОРА Избранное ПОСЕВ Обложка работы художника Николая Сафонова © Posscv-Verlag, V. Goradiek К. G., 1976 Frankfurt/Main Printed in Germany Сергею Бонгарту другу и художнику посвящаю эту книгу ПО ДОРОГЕ ОТТУДА Апрель! Я болен этой датой! За крышей — голубой клочок, И грач слетел как завсегдатай На облюбованный сучок. Кричит — и на гортанный вызов К нему сородичи спешат, И хлещет жижица с карнизов. Как будто вылили ушат! Очнутся люди, хлынут песни И вскроют окон переплет....»

«Новая энциклопедия для девочек Людмила Станиславовна Клечковская Илья Мельников Двадцать первый век – век твоей молодости. Другая жизнь, другие требования, другие цели. Этот мир создан специально для тебя, но ты пока не подобрала к нему ключик. Поэтому тебе может казаться, что никто раньше не переживал того, что ты переживаешь сейчас, что твои эмоции уникальны, а проблемы – единственные в своем роде. Ты можешь чувствовать себя одинокой и непонятой, брошенной на произвол судьбы в бурном море...»

«ПУТЬ К ФИНАНСОВОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ПЕРВЫЙ МИЛЛИОН ЗА СЕМЬ ЛЕТ 1 Из Книги ПРИТЧЕЙ СОЛОМОНОВЫХ (глава IV, 7-9) Главное — мудрость: приобретай мудрость, и всем имением твоим приобретай разум. Высоко цени ее, и она возвысит тебя; она прославит тебя, если ты прилепишься к ней; возложит на голову твою прекрасный венок, доставит тебе великолепный венец. Copyright “Buchgemeinschaft Donauland Kremayer & Scheriau”, 1998 Copyright, перевод, издательство “Мудрость”, 2002 2 БОДО ШЕФЕР ПУТЬ К ФИНАНСОВОЙ...»

«Консервирование, копчение, виноделие Линиза Жалпанова 2 Книга Линиза Жалпанова. Консервирование, копчение, виноделие скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Линиза Жалпанова. Консервирование, копчение, виноделие скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Линиза Жалпанова, Алла Нестерова Консервирование, копчение, виноделие 4 Книга Линиза Жалпанова. Консервирование, копчение, виноделие скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.