«Нестандартные методы анализа А. Г. Кусраев С. С. Кутателадзе БУЛЕВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ Второе, исправленное издание Новосибирск Издательство Института математики 2003 УДК ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

Нестандартные методы анализа

А. Г. Кусраев

С. С. Кутателадзе

БУЛЕВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ

Второе, исправленное издание

Новосибирск

Издательство Института математики

2003

УДК 517.11+517.98

ББК 22.16 K94 Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анае изд., испр. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, лиз.

2003. xii+386 с. (Нестандартные методы анализа).

ISBN 5–86134–115–X.

Булевозначный анализ один из наиболее разработанных разделов, составляющих современные нестандартные методы анализа.

В монографии детально излагается техника спусков и подъемов для булевозначных моделей теории множеств, позволяющая существенно расширить объем и область применимости математических утверждений. Основное внимание уделено изучению изображений классических функционально-аналитических объектов: банаховых пространств и алгебр. Вскрывается имманентная связь последних с решеточно нормированными векторными пространствами, введенными Л. В. Канторовичем. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современными приложениями нестандартного анализа.

Библиогр. 261.

Ответственный редактор академик Ю. Г. Решетняк Редактор серии С. С. Кутателадзе K 1602080000–02 Без объявл.

Я82(03)– c А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, ISBN 5–86134–115–X c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Содержание От редактора серии v Введение viii Глава 1. Универсумы множеств 1.1. Булевы алгебры

1.2. Реализация булевых алгебр

1.3. Теория фон Неймана Гделя е Бернайса..... 1.4. Ординалы

1.5. Иерархии множеств

Глава 2. Булевозначные универсумы 2.1. Универсум над булевой алгеброй................ 2.2. Преобразования булевозначных универсумов... 2.3. Перемешивание и принцип максимума.......... 2.4. Принцип переноса

2.5. Отделимые булевозначные универсумы......... Глава 3. Функторы булевозначного анализа 3.1. Каноническое вложение

3.2. Функтор спуска

3.3. Функтор подъема

3.4. Функтор погружения

3.5. Взаимосвязи основных функторов.............. iv Содержание Глава 4. Булевозначный анализ алгебраических систем 4.1. Алгебраические B-системы

4.2. Спуски алгебраических систем.................. 4.3. Погружение алгебраических B-систем........... 4.4. Упорядоченные алгебраические системы........ 4.5. Спуски полей

Глава 5. Булевозначный анализ банаховых пространств 5.1. Векторные решетки

5.2. Реализация векторных решеток................. 5.3. Решеточно нормированные пространства....... 5.4. Спуски банаховых пространств.................. 5.5. Пространства со смешанной нормой............. Глава 6. Булевозначный анализ банаховых алгебр 6.1. Спуски банаховых алгебр

6.2. AW -алгебры и AW -модули

6.3. Булева размерность AW -модуля............... 6.4. Реализация AW -модулей

6.5. Реализация AW -алгебр типа I.................. 6.6. Вложимые C -алгебры

Приложение П.1. Язык теории множеств

П.2. Аксиоматика Цермело Френкеля............. П.3. Категории и функторы

От редактора серии Нестандартные методы анализа в современном понимании состоят в привлечении двух различных стандартной и нестандартной моделей теории множеств для исследования конкретных математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине XX века и сформировались в несколько направлений.

Первое из названных направлений вслед за его основоположником А. Робинсоном часто называют запоминающимся, хотя и отчасти эпатажным, термином нестандартный анализ (теперь чаще говорят о классическом или робинсоновском нестандартном анализе). Робинсоновский нестандартный анализ характеризуется широким использованием давно известных в практике естествознания, но долгое время запрещенных в математике XX века концепций, связанных с представлениями об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах. В этой связи сейчас за ним закрепилось наименование инфинитезимальный анализ, выразительно напоминающее о классическом анализе бесконечно малых.

Инфинитезимальный анализ бурно развивается и уже внес капитальные изменения в систему общематематических представлений.

Прежде всего это связано с тем, что в нем предложено новое понимание метода неделимых, восходящего к глубокой древности, и осуществлен синтез подходов к дифференциальному и интегральному исчислению, предложенных его основоположниками. В наши дни инфинитезимальный анализ находит широкое распространение и проникает во все разделы современной математики. Наибольшие изменения происходят в этой связи в негладком анализе, в теории вероятностей и теории меры, в качественной теории дифференциальных уравнений и в математической экономике.

Второе направление булевозначный анализ характеризуется широким использованием таких терминов, как спуски и подъемы, циклические оболочки и миксинги, B-множества и изображения объектов в моделях. Развитие этого направления, становление которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по гипотезе континуума, привело к принципиально новым идеям и результатам в ряде направлений функционального анализа, прежде всего в теории пространств Канторовича, в теории алгебр фон Неймана, в выпуклом анализе и теории векторных мер.

В монографии [1], изданной в 1990 году Сибирским отделением издательства Наука и переизданной в 1994 году издательством Kluwer Academic Publishers на английском языке [5], впервые с единых методологических позиций были рассмотрены оба указанных выше направления, составляющих ядро современных нестандартных методов анализа.

Читательский интерес и стремительное развитие самой дисциплины поставили задачу отразить современное состояние дел, изложив новые темы и результаты. При работе над реализацией проекта выяснилось, что остаться в прежних рамках одной книги уже невозможно. В этой связи в 1999 году было принято решение о подготовке серии монографий под общим названием Нестандартные методы анализа, каждая из которых трактует различные аспекты этого математического направления.

В названной серии уже вышли три книги [2, 3, 4], опубликованные практически одновременно с их переводами на английский язык [6, 7, 8]. Монография [2] посвящена булевозначному анализу, книга [3] трактует приложения нестандартных методов к теории векторных решеток, а издание [4], посвященное инфинитезимальному анализу, состоит из двух частей единой монографии.

Серия вызвала известный интерес у читателя и, к удивлению редактора и авторов, спрос на изданные книги не удовлетворен. По просьбе издательства было подготовлено переиздание выпуска [2], в котором авторы ограничились исправлением замеченных опечаток и неточностей.

Литература 1. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука, 1990. 344 c.

2. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Булевозначный анализ. Новосибирск:

Изд. Института математики им. С. Л. Cоболева, 1999. 384 c.

3. Кутателадзе С. С. (ред.) Нестандартный анализ и векторные решетки.

Новосибирск: Изд. Института математики им. С. Л. Cоболева, 1999. 380 c.

4. Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Инфинитезимальный анализ. Части 1 и 2. Новосибирск: Изд. Института математики им. С. Л.

Cоболева, 2001. 318 c.+248 c.

5. Kusraev A. G. and Kutateladze S. S., Nonstandard Methods of Analysis.

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. 435 p.

6. Kusraev A. G. and Kutateladze S. S., Boolean Valued Analysis. Dordrecht:

Kluwer Academic Publishers, 1999. 322 p.

7. Kutateladze S. S. (ed.), Nonstandard Analysis and Vector Lattices. Dordrecht:

Kluwer Academic Publishers, 2000. 307 p.

8. Gordon E. I., Kusraev A. G., and Kutateladze S. S. Innitesimal Analysis.

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. 307 p.

Введение Как следует из названия, настоящая книга посвящена булевозначному анализу. Так называют аппарат исследования произвольных математических объектов, основанный на сравнительном изучении их вида в двух моделях теории множеств, конструкции которых основаны на принципиально различных булевых алгебрах. В качестве этих моделей используются классический канторов рай в форме универсума фон Неймана и специально построенный булевозначный универсум, в котором теоретико-множественные понятия и утверждения получают весьма нетрадиционные толкования. Одновременное использование двух моделей для изучения одного объекта фамильная черта так называемых нестандартных методов современной математики. В этой связи булевозначный анализ принято относить к разновидностям нестандартного анализа.

Своим возникновением булевозначный анализ обязан выдающемуся достижению П. Дж. Коэна, установившему в начале шестидесятых годов непротиворечивость добавления отрицания гипотезы континуума CH к аксиомам теории множеств Цермело Френкеля ZFC. Вместе с более ранним результатом К. Гделя о совместимости CH с ZFC, установленный П. Дж. Коэном факт означает независимость CH от обычных аксиом ZFC. Шаг, совершенный П. Дж. Коэном, связан с преодолением им принципиальной трудности, отмеченной Дж. Шепердсоном и отсутствующей в случае, разобранном К. Гделем. Доказательство непротиворечивости (ZFC) + (¬ CH) невозможно с помощью стандартных моделей. Точнее говоря, выбрав какую-либо реализацию универсума фон Неймана, мы не можем указать в ней подкласс, служащий моделью (ZFC)+(¬ CH), если лежности. П. Дж. Коэну удалось предложить новый мощный способ построения невнутренних нестандартных моделей ZFC, названный им методом форсинга. Термин форсинг часто переводят как вынуждение. Возможно, точнее говорить в этом контексте о методе принуждения. Использованные П. Дж. Коэном приемы применение аксиомы существования стандартной транзитивной модели для ZFC и насильственное превращение последней в принципиально нестандартную модель методом принуждения вступают в противоречие с обычной математической интуицией, исходящей, по словам самого П. Дж. Коэна, из нашей веры в естественную почти физическую модель математического мира [52, с. 202].

Трудности в восприятии результатов П. Дж. Коэна задолго до их появления прекрасно выразил Н. Н. Лузин в знаменитом докладе Современное состояние теории функций действительного переменного, сделанном им на Всероссийском съезде математиков в 1927 г.:

Первое, что приходит на ум, это то, что установление мощности continuum’а есть дело свободной аксиомы, вроде аксиомы о параллелях для геометрии. Но в то же время, как при инвариантности всех прочих аксиом геометрии Евклида и при варьировании аксиомы о параллельных меняется самый смысл произнесенных или написанных слов:,,точка“,,,прямая“, etc. смысл каких слов должен меняться, если мы делаем мощность continuum’а подвижной на алефической шкале, все время доказывая непротиворечивость этого движения? Мощность continuum’а, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность и она должна находиться на алефической шкале там, где она на ней есть; нужды нет, если определение этого места затруднительно или, как прибавил бы J. Hadamard,,,даже невозможно для нас, людей“ [84, с. 11–12].

Весьма характерный взгляд сформулировал П. С. Новиков: