WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |

«Содержание Часть 1. Осенний семестр 2 1. Предварительные сведения и обозначения 2 2. Геометрические конструкции топологических пространств 10 3. Гомотопии, ...»

-- [ Страница 1 ] --

ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ

ТОПОЛОГИЮ

(конспект лекций спецкурса А. С..Мищенко и

Е. В. Троицкого 2006/07 уч.года)

Рабочая версия по состоянию на 11 марта 2007 г..

По состоянию на 11 марта 2007 г. изложение в основном следует весьма близко книге Фоменко и Фукса [7]. Отличия сводятся, в основном, к исключению второстепенных

или слишком сложных фрагментов, восполнению некоторых опущенных кусков доказательств и неточностей. Из прочей литературы рекомендуются в первую очередь книги Спеньера [6], Рохлина и Фукса [4], Свитцера [5], Постникова [2, 3].

Содержание Часть 1. Осенний семестр 2 1. Предварительные сведения и обозначения 2. Геометрические конструкции топологических пространств 3. Гомотопии, эквивалентности, классы 4. H- и H -пространства, групповые структуры 5. Фундаментальная группа 6. Клеточные пространства 7. Накрытия 8. Клеточные пространства и фундаментальная группа 9. Гомотопические группы 10. Расслоения 11. Теорема о надстройке и гомотопические группы сфер 12. Сингулярные гомологии 13. Вычисление гомологий клеточных пространств 13.1. Гомологии сфер. Изоморфизм надстройки. 13.2. Гомологии букетов. 13.3. Отображения букетов сфер. 13.4. Клеточный комплекс 13.5. Гомологии клеточного комплекса 14. Гомологии н гомотопии 14.1. Гомологии н слабые гомотопические эквивалентности 14.2. Теорема Гуревича 14.3. Случай n = 1 14.4. Относительный вариант теоремы Гуревича Список литературы Предметный указатель Часть 1. Осенний семестр 1. Предварительные сведения и обозначения На первой лекции в сжатой форме был представлен следующий материал из стандартных курсов дифференциальной геометрии и топологии, анализа и функционального анализа.

Определение 1.1. Метрикой на множестве X называется отображение : X X [0, ), удовлетворяющее аксиомам:

(1) (x, y) = 0 x = y x, y X (аксиома тождества);

(2) (x, y) = (y, x) x, y X (аксиома симметрии);

(3) (x, z) (x, y) + (y, z) x, y, z X (аксиома треугольника).

Пара (X, ) называется метрическим пространством. Подпространство Y X автоматически является метрическим пространством.

Диаметром Y называется diam Y := sup (x, y). Множество с конечным диаметx,yY ром называется ограниченным. Шаровой окрестностью называется B (x) := {y X | (y, x) }.

Расстояние от Y X до Z X (Y, Z) := inf (y, z).

yY,zZ Если (y, Y ) = 0, то y точка прикосновения Y. Замыканием Y называется Y :={множество точек прикосновения Y }. Очевидно, что Y Y. Множество Y называется замкнутым, если Y = Y. Точка x называется внутренней точкой Y, если существует 0 такое, что B (x) Y (в частности, x Y ). Внутренностью Y называется совокупность Int Y Y его внутренних точек. Множество Y называется открытым, если Y = Int Y.

Задача 1. Пусть X метрическое пространство. Тогда Y X открыто тогда и только тогда, когда X \ Y замкнуто.

Теорема 1.2. Пусть X метрическое пространство. Тогда 1 О: X открыто;

2 O: открыто;

3 O: объединение U любого набора открытых подмножеств U X отA крыто;

k 4 O: пересечение Ui конечного набора открытых подмножеств Ui X отi= крыто;

1 З: замкнуто;

2 З: X замкнуто;

3 З: пересечение F любого набора замкнутых подмножеств F X заA мкнуто;

k 4 З: объединение Fi конечного набора замкнутых подмножеств Fi X заi= мкнуто;

Доказательство. В силу предыдущей задачи k O k З k. Свойства 1 О и 2 О очевидны. Докажем 3 О. Пусть U = U и x U. Тогда найдется такое, что A x U и B() U. Тогда B() U U.

k Докажем 4 О. Пусть U = Ui, x U. Тогда имеется набор i (i = 1,..., k) таких, i= что x Bi (x) Ui. Пусть := min{1,..., k }. Тогда B (x) Bi (x) Ui i. Значит, B (x) U.

Задача 2. Показать, что от конечности нельзя отказаться.

Задача 3. Доказать, что B (x) открыто.

Задача 4. Доказать, что Int Y открыто.

Задача 5. Доказать, что Y замкнуто.

Определение 1.3. Топологией на множестве X называется система его подмножеств (эти подмножества называются открытыми), удовлетворяющая следующим аксиомам:

Пара (X, ) называется топологическим пространством. Множество вида F = X\U, где U, называется замкнутым.

Задача 6. Проверить для замкнутых множеств свойства 1 З – 4 З.

Пример 1.4. Метрическое пространство является топологическим.

Задача 7. Привести пример топологического пространства (X, ), не связанного ни с какой метрикой (говорят: топология не метризуема).

Определение 1.5. Окрестностью точки x X (подмножества Y X) называется любое открытое множество ее (его) содержащее. Точка прикосновения Y X такая точка x X, что любая ее окрестность имеет непустое пересечение с Y. Замыкание Y это множество Y всех точек прикосновения Y (так что Y Y ). Точка x Y называется внутренней точкой Y, если найдется такая окрестность U точки x, что x U Y. Совокупность всех внутренних точек Y называется внутренностью Y и обозначается Int Y.

Задача 8. Y X замкнуто тогда и только тогда, когда Y = Y.

Задача 9. Y замкнуто.

Определение 1.6. Пусть Y X, (X, ) топологическое пространство. Топология 1 := {U Y | U } называется топологией, индуцированной на Y.

Задача 10. Проверить для 1 аксиомы топологии.

Задача 11. Пусть (X, X ) метрическое пространство. Тогда топологию на Y X можно ввести двумя способами:

1) X порождает X, которая индуцирует 1, 2) X при ограничении на Y дает Y, которая порождает Y.

Доказать, что 1 = Y.

Определение 1.7. Подмножество Y X называется (всюду) плотным, если Y = Задача 12. Пусть Y1 X и Y2 X открытые плотные подмножества. Тогда Y = Y1 Y2 открытое плотное подмножество.

Определение 1.8. Отображение f : X Y топологических пространств называется непрерывным в точке x0 X, если для любой окрестности образа V (f (x0 )) существует такая окрестность U (x0 ), что f (U (x0 )) V (f (x0 )). Отображение, непрерывное в каждой точке, называется непрерывным.

Теорема 1.9. Следующие условия эквивалентны:

(1) f : X Y непрерывно;

(2) для любого открытого V Y прообраз f 1 (V ) открыт в X;

(3) для любого замкнутого F Y прообраз f 1 (F ) замкнут в X.

Доказательство. Поскольку f 1 (Y \ V ) = f 1 (Y ) \ f 1 (V ) = X \ f 1 (V ), то условия 2 и 3 эквивалентны.

Пусть теперь f непрерывно, V Y открытое множество. Тогда либо прообраз V пуст, и, тем самым, открыт, либо содержит некоторую точку x: f (x) V. Тогда по определению для любой такой точки найдется такая окрестность U (x), что f (U (x)) V, т. е. U (x) f 1 (V ). Таким образом, каждая точка f 1 (V ) внутренняя.

Обратно, пусть выполнено условие 2. Тогда для V = V (f (x0 )) в качестве искомого U можно взять U = f 1 (V ).

непрерывно тогда и только тогда, когда f |F1 : F1 Y и f |F2 : F2 Y непрерывны.

Задача 14. Пусть fn : X R непрерывные функции, сходящиеся к f равномерно на X. Тогда f непрерывная.

Задача 15. Пусть X и Y метрические пространства. Доказать, что f : X Y непрерывна в точке x0 в смысле отображений соответствующих топологических пространств тогда и только тогда, когда для любой последовательности {xn } с lim xn = x0 имеем lim f (xn ) = f (x0 ).

Определение 1.10. Отображение f : X Y называется гомеоморфизмом, если (2) f и f 1 непрерывны.

Гомеоморфность будем обозначать значком.

Задача 16. Привести пример биективного непрерывного отображения, не являющегося гомеоморфизмом.

Определение 1.11. Базой топологии называется такая система открытых множеств B, что любое –открытое множество представляется в виде их объединения.

Задача 17. Какие условия надо наложить на произвольную систему подмножеств B1, чтобы в результате взятия их произвольных объединений получить некоторую топологию ?

Определение 1.12. Пусть (X, X ) и (Y, Y ) топологические пространства. Рассмотрим в X Y следующую базу топологии:

Полученное топологическое пространство называется декартовым произведением X Задача 18. Проверить (с использованием предыдущей задачи), что X Y действительно топологическое пространство.

Задача 19. Доказать, что X Y и Y X гомеоморфны.

Задача 20. Доказать, что (X Y ) Z и X (Y Z) гомеоморфны.

Задача 21. Пусть (X, X ) и (Y, Y ) метрические пространства. Определим на X Y следующие расстояния:

Доказать:

1) Что это метрики.

2) Что соответствующие топологии на X Y совпадают.

Задача 22. Доказать, что подмножества прямой (a, b), [a, b) и [a, b] не гомеоморфны.

Определение 1.13. Топологическое пространство X называется несвязным, если выполнено одно из следующих (очевидно, эквивалентных) условий:

• Пространство X представляется в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых множеств.

• Пространство X имеет непустое подмножество A, не совпадающее с X и являющееся одновременно открытым и замкнутым.

• Пространство X представляется в виде объединения двух непересекающихся непустых одновременно открытых и замкнутых множеств.

В противном случае X называется связным.

Определение 1.14. Пространство X называется линейно связным, если для любых двух точек x0, x1 X существует непрерывное отображение (путь) f : [0, 1] X, f (0) = x0, f (1) = x1.

Задача 23. Отрезок [a, b] R связен и линейно связен.

Доказательство. Пусть X несвязно, X = A B, A B =, A и B непустые открыто-замкнутые. Тогда каждое X = (X A) (X B). По определению индуцированной топологии эти множества открыто-замкнутые в X. Поскольку X связно, то одно из них пусто. Значит, каждое из X целиком содержится либо в A, либо в B, которые не пересекаются. При этом, так как A и B непусты, а X равно объединению X, то хотя бы по одному из X содержится в каждом из A и B. Значит, X =. Противоречие.

Теорема 1.16. Пусть в топологическом пространстве X для любых двух точек x и y имеется связное подпространство Pxy, их содержащее. Тогда X связно.

открыто-замкнутые. Тогда найдутся a A, b B и соответствующее Pab. Тогда Pab = (Pab A) (Pab B). Эти множества открыто-замкнуты в Pab и непусты (первое содержит a, второе b). Противоречие со связностью Pab.

Задача 24. Образ связного пространства при непрерывном отображении связен.

Теорема 1.17. Линейно связное пространство связно.

Доказательство. По предыдущей задаче f ([0, 1]) связно, где f = fx0,x1 из определения линейной связности. Положив Px0,x1 := f ([0, 1]), можем воспользоваться теоремой 1.16.

Задача 25. Привести пример связного, но не линейно связного пространства.

Определение 1.18. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если для любых x, y X, x = y, найдутся такие окрестности U (x) и U (y), что U (x)U (y) = Задача 26. Привести пример нехаусдорфова топологического пространства.

Задача 27. Доказать, что декартово произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.

Задача 28. Доказать, что в хаусдорфовом пространстве каждая точка замкнута.

Определение 1.19. Топологическое пространство X называется нормальным, если оно хаусдорфово и для любых двух непересекающихся замкнутых множеств F1 и F существуют непересекающиеся окрестности U1 F1 и U2 F2.

Задача 29. Всякое метрическое пространство нормально.

Определение 1.20. Покрытие {V }B измельчает (является более мелким, чем) {U }A, если для всякого найдется такое = (), что V U.

конечное открытое покрытие. Тогда существует более мелкое покрытие вида Vi, Доказательство. Рассмотрим замкнутые множества и соответствующие в силу нормальности окрестности Тогда, поскольку каждая точка F1 имеет не пересекающуюся с V1 окрестность V1 и, таким образом, не может быть точкой прикосновения V1, и (V1, U2,..., UN ) покрытие. Далее, заменяем U2 на V2 и т. д.

Задача 30. Пусть f : X X непрерывное отображение хаусдорфова пространства. Доказать, что множество неподвижных точек Ff := {x X|f (x) = x} замкнуто.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |
 


Похожие работы:

«ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 24 августа 2009 г. N 1266 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПОЛОЖЕНИЙ О ПАМЯТНИКАХ ПРИРОДЫ СОСНОВЫЙ БОР ШИШКИНА НИВА, СЕРНИСТЫЕ ИСТОЧНИКИ У ДЕРЕВНИ ШЕЛОХАЧЬ, УРОЧИЩЕ ПОДСОСЕНЬЕ, УРОЧИЩЕ ЧАЙКИНО ОЗЕРО УСТЮЖЕНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ВОЛОГОДСКОЙ ОБЛАСТИ В соответствии с Федеральными законами от 14 марта 1995 года N 33-ФЗ Об особо охраняемых природных территориях, от 6 октября 1999 года N 184-ФЗ Об общих принципах организации законодательных (представительных) и исполнительных органов...»

«Удивлен силой Святого Духа Джек Дир Страница 1 из 122 УДИВЛЕН СИЛОЙ СВЯТОГО ДУХА Джек Дир ( ~ 290стр) “Эта книга являет собой убедительное объяснение на утверждение тех людей, которые считают, что сверхъестественные дары, подобные исцелениям и пророчеству, сегодня не проявляются. Книга основана на глубоком знании Библии, написана талантливым толкователем Священного Писания, который знает аргументы и той, и другой стороны. Если вы и до этого верили в сверхъестественное, эта книга освежит вашу...»

«Аннотация В долине Луары стоит легендарный замок Шамбор, для которого Леонардо да Винчи сконструировал две лестницы в виде спиралей, обвивающих головокружительно пустое пространство в центре главной башни-донжона. Их хитроумная конфигурация позволяет людям, стоящим на одной лестнице, видеть тех, кто стоит на другой, но не сходиться с ними. Как это получается, что ты всегда поднимаешься один? И всегда спускаешься один? И всегда, всегда расходишься с теми, кого видишь напротив, совсем близко? –...»

«Книга издана при поддержке: Фонда Фридриха Науманна (Германия) Международной Финансовой Корпорации Компании Centerra Gold и Кумтор Оперейтинг Компани Центральноазиатского института свободного рынка (CAFMI) 2 Содержание Содержание Об авторов Предисловие Часть I: Понимание налогов 1. Что такое налоги и почему их надо платить 2. Кто должен платить налоги 3. Понятие налога на доходы физических лиц 4. Понятие имущества a. Земельное b. Транспортное c. Недвижимое 5....»

«Введение Уважаемый потребитель, Приготовление вкусных и изысканных блюд требует длительной подготовки. Здесь необходимы нарезанные овощи, там дольки фруктов, ровные ломтики или тонко нарезанная соломка или куски, поделенные на 4 или 8 частей, и, наконец, тертый сыр или шоколад. Это не только занимает много времени, но еще и требует множество вспомогательных кухонных средств: ножи, миски, разделочные доски, терки различных форм и размеров, а также другие приборы, которые не всегда находятся под...»

«Библейское Бытие ЭВОЛЮЦИЯ ИЛИ СОТВОРЕНИЕ? КАИН – КЛЮЧ К РАЗГАДКЕ ТАЙНЫ Третье издание 2 Об авторе (на обложке) Дон Гуидо Бортолуцци родился в поселке Фарра д'Альпаго в провинии Беллуно в 1907 году. В тот же год, когда родилась сестра Лусия из Фатимы. 13 октября 1917 года он присутствовал духовно при явлении Девы Марии трем детям-пастухам и видел солнечное чудо Фатимы. В 1922 году, в период обучения в Семинарии, ему было предсказано святым Иоаном Калабрией1, что в старости он напишет очень...»

«Андрей Платонович Платонов Том 2. Чевенгур. Котлован Собрание сочинений – 2 Собрание сочинений: Время; Москва; 2009 ISBN 978-5-9691-0616-1 Аннотация Перед вами — первое собрание сочинений Андрея Платонова, в которое включены все известные на сегодняшний день произведения классика русской литературы XX века. В этот том вошли роман Чевенгур и повесть Котлован. Андрей Платонович Платонов Собрание сочинений Том 2. Чевенгур. Котлован Чевенгур путешествие с открытым сердцем Есть ветхие опушки у...»

«1 ДЕНЬГИ К ДЕНЬГАМ: ИНВЕСТИЦИОННАЯ ПРАКТИКА БИЗНЕСА М.И.Федяков Об авторе Федяков Михаил Иванович - преподаватель MBS, закончил университет им. Франсуа Рабле и институт управления Турени (Тур, Франция). Участвовал в качестве супервизора в совместной программе Михэль Института (ФРГ) и ВКШ при ЦК ВЛКСМ по подбору и подготовке тренеровконсультантов. С середины 90-х гг. специализируется в управленческом консалтинге, а именно в сфере стратегического менеджмента и практики бизнеса. Прекрасно проявил...»

«УТВЕРЖДАЮ: Генеральный директор ГНПО НПЦ НАН Беларуси по биоресурсам, член-корреспондент М.Е. Никифоров “” _ 2009 г. ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ ПРОВЕДЕНИЯ ОЦЕНКИ ВОЗДЕЙСТВИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ ДОБЫЧИ МЕЛА НА УЧАСТКЕ МЕСТОРОЖДЕНИЯ ХОТИСЛАВСКОЕ В МАЛОРИТСКОМ РАЙОНЕ БРЕСТСКОЙ ОБЛАСТИ (В ДВУХ КНИГАХ) Книга 2 Оценка перспективного воздействия на животный и растительный мир разработки меловой залежи карьера Хотиславский в Малоритском районе Брестской области Научный руководитель проекта,...»

«Джордж Оруэлл. Скотный двор – – Глава I Мистер Джонс с фермы Усадьба закрыл на ночь курятник, но он был так пьян, что забыл заткнуть дыры в стене. Ткнув ногой заднюю дверь, он проковылял через двор, не в силах выбраться из круга света от фонаря, пляшущего в его руке, нацедил себе последний стаканчик пива из бочонка на кухне и отправился в постель, где уже похрапывала миссис Джонс. Как только в спальне погас свет, на ферме началось беспокойное движение. Весь день ходили слухи, что старый Майер,...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.