WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 25 |

«ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ Издательство МЦНМО Москва, 2013 УДК 514.112 ББК 22.151.0 Ш47 Шень А. Ш47 Геометрия в задачах. | М.: МЦНМО, 2013. | 240 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0049-0 ...»

-- [ Страница 1 ] --

А. Шень

ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ

Издательство МЦНМО

Москва, 2013

УДК 514.112

ББК 22.151.0

Ш47

Шень А.

Ш47 Геометрия в задачах. | М.: МЦНМО, 2013. | 240 с.: ил.

ISBN 978-5-4439-0049-0

Сборник задач по геометрии рассчитан на школьников средних и старших классов, а также преподавателей и любителей математики. Он содержит более 750 задач,

по большей части снабжённых решениями, а также задачи для самостоятельного решения (многие | с указаниями). Каждый раздел предваряется кратким перечнем сведений, нужных для понимания и решения задач. Необходимые чертежи (более 450) вынесены на поля.

Прорешав задачи сборника, читатель познакомится с основными фактами и методами школьного курса планиметрии и (мы надеемся) получит удовольствие.

ББК 22.151. Книга является свободно распространяемой; электронная версия доступна по адресу ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/geometry.zip Фотография на обложке: Бьярне Паг Бюрнак (Bjarne Pagh Byrnak), см. www.bjarne.altervista.org/rct/introduction.html.

© Шень А., ISBN 978-5-4439-0049- Памяти Израиля Моисеевича Гельфанда Оглавление Предисловие.............................................. 1. Измерение отрезков.................................... 2. Измерение углов....................................... 3. Неравенство треугольника............................... 4. Равные фигуры........................................ 5. Признаки равенства треугольников........................ 6. Равнобедренные треугольники............................ 7. Окружность........................................... 8. Построения циркулем и линейкой......................... 9. Параллельность........................................ 10. Прямоугольные треугольники............................ 11. Параллелограммы...................................... 12. Прямоугольник, ромб, квадрат........................... 13. Клетчатая бумага...................................... 14. Равносторонние треугольники............................ 15. Средняя линия треугольника............................. 16. Теорема Фалеса........................................ 17. Трапеция............................................. 18. Простейшие неравенства................................ 19. Осевая симметрия...................................... 20. Центральная симметрия................................. 21. Углы в окружности..................................... 22. Касательные........................................... 23. Две окружности....................................... 24. Описанная окружность. Серединные перпендикуляры........ 25. Вписанная окружность. Биссектрисы...................... 26. Вписанные и описанные четырёхугольники................. 27. Площади............................................. 28. Теорема Пифагора..................................... 29. Подобие.............................................. 30. Координаты на прямой.................................. 31. Координаты на плоскости............................... 32. Общая мера........................................... 33. Тригонометрия........................................ Послесловие.............................................. Предисловие Дорогие читатели-школьники и их родители! В этой книжке собрано более 750 задач по школьному курсу планиметрии, по большей части несложных (но есть и трудные). В их число входят основные теоремы этого курса. Решая задачи, вы познакомитесь с основными фактами и методами планиметрии (или вспомните их ещё раз, если уже проходили в школе).

Задачи разбиты по темам. Перед каждым разделом мы кратко напоминаем основные определения и факты, которые могут понадобиться при решении задач. Бльшая часть задач снабжена решениями. Тем не менее о мы советуем не торопиться читать решение. Лучше сначала попробовать решить задачу (или хотя бы как следует осознать её условие). Тогда решения (иногда довольно краткие) будет легче прочесть и понять.

В книжке также приводятся задачи для самостоятельного решения.

Многие из них снабжены краткими указаниями.

Желаем успехов!

1 Обсуждение принципов отбора задач для этого сборника, рассчитанное на преподавателей математики, вынесено в послесловие.

3. На деревянной линейке отмечены три деления: 0, 7 и 11 сантиметров. Как отложить с её помощью отрезок в (а) 8 см; (б) 5 см?

Можно сделать иначе: мы умеем откладывать 4 см и 1 см, так что можно отложить их подряд и получить 5 cм. Ещё один способ: 5 = 3 · 11 4 · 7, так что достаточно отложить 3 раза по 11 см и потом 4 раза по 7 в другую сторону. (Преимущество приведённого сначала способа в том, что он годится для любого целого числа сантиметров.) дите расстояние между серединами отрезков и ?

Точку можно выбирать по-разному. Например, пусть она делит отрезок на части в 1 см и 4 см. Середины этих частей (отрезков и ) отстоят от на 0,5 см и на 2 сантиметра, всего получается 2,5 см. Попробовав другие варианты расположения точки, можно убедиться, что во всех случаях расстояние между серединами отрезков и равно 2,5 см. Почему? Дело в том, что это расстояние составлено из половин отрезков и. Вместе эти отрезки состваляют 5 см, значит, их половины вместе составят 2,5 см.

5. В деревне у прямой дороги стоят две избы точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до изб была бы наименьшей?

Если действовать по справедливости, то надо построить колодец посередине между избами: тогда AX + XB = AB до каждой будет 25 метров, а в сумме 50. Однако с точки зрения условия задачи любая точка на участке дороги между и одинаково хороша, поскольку в сумме отрезки и составляют метров. (Например, если построить колодец в метрах от, то расстояния будут 10 и 40 метров, то есть 50 в сумме.) 6. Та же задача для трёх и четырёх изб, стоящих вдоль дороги с интервалами в 50 метров: где надо строить колодец в этом случае?

Для трёх изб: если среднюю избу не учитывать, то все точки на отрезке между крайними избами были бы одинаково хороши. Значит, наилучшее точки отрезка одинаково хороши: сумма расстояний до и будет 150 метров. Во втором наименьшую сумму длин (50 метров) дают точки меньшего отрезка. Ответ: наименьшая сумма длин 7. В деревне живёт 100 школьников, в деревне живёт 50 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра. В какой точке дороги из насколько ближе? Иногда предлагают построить деревню в километре от и в двух от (вдвое больше школьников | вдвое ближе школа). Но с точки строить её в.

8. На прямой даны точки, и. Известно, что = 5, а отрезок длиннее на 1. Найдите длины отрезков и. Может ли точка лежать вне ?

9. На прямой даны точки, и. Известно, что = 5, а отрезок длиннее в полтора раза. Найдите длины отрезков и. (Укажите все возможности.) 10. Точка делит отрезок в отношении 2 : 1. Точка делит отрезок в отношении 3 : 2.

В каком отношении делит точка отрезок ?

11. Точки, и делят отрезок в отношении 1 : 2, 1 : 3 и 1 : 4 соответственно. В каком отношении точка делит отрезок ?

извольная точка. Затем на стороне взята точX ка, для которой =. После этого на стороне взята точка, для которой = и так далее (см. рисунок). Докажите, что после неA C скольких раз мы попадём в исходную точку.

13. Шесть машин едут по дороге из города А в город Б. В данный момент они находятся в разных точках дороги, но известно, что суммарное расстояние, которое проехали (считая от А) все машины | 75 километров, а до Б осталось им ехать (тоже в сумме) 45 километров. Какова длина дороги из А O C Развёрнутый угол (угол между двумя половинами одной прямой) считается равным 180 градусам (180 ). Другими словами, градус | это 1/ в 120 и в 160 (который нам нужен). Заметим теперь, что 20 | это дополнение 160 до развёрнутого угла, так что если мы продолжим одну из мая может считаться эталоном развёрнутого угла.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если два из них имеют общую сторону, их называют смежными, если не имеют | вертикальными.

17. Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол (180 ). Выведите отсюда, что вертикальные углы равны.

Рассуждаем как в задаче 15 | каждый из двух вертикальных углов дополняет смежный с ними угол до развёрнутого, значит, они равны.

18. На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? Часовая стрелка?

За час минутная стрелка делает целый оборот, за полчаса она поворачивается на 180 (развёрнутый угол). Полчаса | это 30 минут, значит, за минуту она поворачивается на 1/30 часть угла в 180, то есть на 180/30 = 6.

Часовая стрелка за час проходит 1/12 часть круга, то есть движется в 12 раз медленнее минутной.

За минуту она поворачивается на 0,5.

19. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки ровно в 3 часа 05 минут?

За пять минут, прошедших после 3 часов, минутная стрелка повернётся на 30. Но для правильного ответа надо учесть, что повернётся и часовая стрелка. На сколько? За час она поворачивается на одно часовое деление циферблата, то есть на те же 30. Значит, за 5 минут она повернётся на 1/12 доA лю от 30, то есть на 2,5. Теперь легко получить ответ: из начального угла в 90 надо вычесть 30 и прибавить 2,5, получится 62,5.

(см. рисунок). Известно, что =. ДоD кажите, что =.

же | останутся равные. Здесь так и происходит: из равных углов и мы вычитаем их пересечение | угол. Остаются как раз углы и Два луча (или две прямые), образующие прямой угол, называют перпендикулярными.

углов перпендикулярны. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

Рассмотрим два смежных угла, каждый из которых разделён биссектрисой на две равные части.

Таким образом, развёрнутый угол разделён на четыре части | две равные половины одного угла и две равные половины другого. Если из этих четырёх частей оставить только две (по одной из каждой пары равных), то они составят половину развёрнутого угла, то есть прямой угол. Первая часть задачи которых получается четыре угла. Нам надо доказать, что биссектрисы противоположных (вертикальных) углов лежат на одной прямой, то есть продолжают друг друга. Проведём биссектрисы всех четырёх углов. Мы уже видели, что соседние из них образуют прямой угол. Два прямых угла в сумме дают развёрнутый, так что противоположные биссектрисы действительно лежат на одной прямой.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 25 |
 


Похожие работы:

«Уля Ляпина против Ляли Хлюпиной Александр Етоев 2 Книга Александр Етоев. Уля Ляпина против Ляли Хлюпиной скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Александр Етоев. Уля Ляпина против Ляли Хлюпиной скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Александр Етоев Уля Ляпина против Ляли Хлюпиной 4 Книга Александр Етоев. Уля Ляпина против Ляли Хлюпиной скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Новогодний детектив 5 Книга Александр...»

«Против приручения 1973 Оглавление Против приручения................................................. 3 Мифология пролетариата............................................ 7 Лицейское движение, Париж, 1973................................... 11 Деспотизм капитала................................................ 14 Вопрос...»

«Лучшие статьи деловых изданий и информагентств Всего новостей в базе: 604557 Выбрано новостей: 434446 26 групп 235 стран и территорий: Ежедневно вносится 500 важных публикаций СМИ, указывается отраслей публикации о связях КНР/Казахстан источник / дата / тема / страна / федеральный округ РФ / язык. с или без РФ; и т.д. Просмотр большинства публикаций у нас бесплатный Материалы ньюсмейкеров Приоритетный список На двух выпадающих календарях Даты первоисточника и В один клик страница с тысячей...»

«СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ I. УСТАНОВКА OOoFBTools И КРАТКОЕ ЗНАКОМСТВО С ЕГО ИНТЕРФЕЙСОМ............. 3 Установка OOoFBTools........................................................................... 3 Установка дополнительных платформозависящих пакетов и приложений.................... 5 Краткое знакомство с интерфейсом OOoFBTools.....................................»

«Годовой план работы муниципального бюджетного дошкольного образовательного учреждения д/с Буратино на 2013 – 2014 учебный год. п. Ясное Пояснительная записка к учебному плану муниципального бюджетного дошкольного образовательного учреждения детский сад Буратино Базисный учебный План МБДУ детский сад Буратино разработан в соответствии с: Законом РФ от 10.07.1992 № 3266-1 Об образовании Типовым положением о дошкольном образовательном учреждении. Санитарно-эпидемиологическими правилами и...»

«1. Искатели привлечений...3 2. Кудрин: ослабление рубля подстегнет инфляцию, но пока неясно насколько.4 3. Евро вновь может стать убежищем для инвесторов — WSJ.5 4. Пайщики подстраховались от рубля..6 5. The Banker расставил банки по брендам..6 6. АФК Система и МТС покупают по 10% холдинга Ozon.7 7. Энергии для перемен не хватает и в природе..8 8. Медведев: надо переходить на зеленые стандарты в потреблении.9 9. Siemens готов помочь построить высокоскоростную дорогу до Казани.9 10. Россию...»

«ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 28 июня 2010 г. N 727 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПОЛОЖЕНИЙ ОБ ОСОБО ОХРАНЯЕМЫХ ПРИРОДНЫХ ТЕРРИТОРИЯХ ОБЛАСТНОГО ЗНАЧЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ (ЛАНДШАФТНЫХ) ГОСУДАРСТВЕННЫХ ПРИРОДНЫХ ЗАКАЗНИКАХ В ТОТЕМСКОМ РАЙОНЕ ВОЛОГОДСКОЙ ОБЛАСТИ В соответствии с Федеральными законами от 14 марта 1995 года N 33-ФЗ Об особо охраняемых природных территориях, от 6 октября 1999 года N 184-ФЗ Об общих принципах организации законодательных (представительных) и исполнительных органов государственной власти субъектов...»

«В.В. К о в а л ен к о ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ М О Д Е Л И РО В А Н И Я И П РО ГН О ЗИ РО ВА Н И Я РЕЧНОГО СТО КА М ЕТО ДАМ И ЧАСТИЧНО ИНФ ИНИТНОЙ ГИДРОЛОГИИ Санкт-Петербург 2011 УДК 556.16.06/072 ББК 26.22 К56 Коваленко В.В. Обеспечение устойчивости моделирования и прогнозирования речно­ го стока методами частично инфинитной гидрологии. - СПб.: РГГМУ, 2011. - 107 с. ISBN 978-5-86813-297-1 Рецензент: д-р К уасси Би Гессан Арман [Университет А бобо-А дж ам ье (респуб­ лика К от-Д ’Ивуар),...»

«ВСТУПЛЕНИЕ 3 ТЕНИ 4 Поднос в стиле пэчворк 7 Рождественское ретро-сердечко 25 Кувшин Простая радость 41 РАСТУШЕВКА 55 Художественный декупаж на досочке (пастель) 70 Художественный декупаж на тарелке (акрил и замедлитель) 75 Художественный декупаж: тени красками 81 Декоративная тарелочка Цветы и кружево 88 Пасхальная тарелочка Анютины глазки 99 Подрисовка сложного фона 113 ПОДРИСОВКА И ДОРИСОВКА 137 Превращение пивного стакана в вазу 140 Коробочка для чайных пакетиков Прогулка 152 Тарелка...»

«ОСНОВНЫЕ ИТОГИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ И НАУЧНО-ОРГАНИЗАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КОМИ НАУЧНОГО ЦЕНТРА УРО РАН ЗА 2010 ГОД. Доклад Президиума Коми НЦ УрО РАН Общему собранию 17 марта 2011 г. Сыктывкар 2011 Введение В 2010 г. деятельность Коми научного центра осуществлялась под знаком 65-летия со дня Победы в Великой Отечественной войне. К этой знаменательной дате издан сборник документов, подготовленный сотрудниками научного архива Коми НЦ УрО РАН А.Ф.Ануфриев Что было, то было. Военные...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.