WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 34 |

«Смирнов С. Г. С50 Лекции по истории науки: пособие для курсов повышения квалификации и переподготовки учителей математики. М.: МИОО, 2006. 196 с.: ил. ISBN ...»

-- [ Страница 20 ] --

И так далее... Решение большинства этих задач оказалось не под силу чистой теоретико-множественной топологии. Пришлось геометрам опять идти на поклон к алгебраистам: подарите нам новые виды инвариантов, как подарили их нашим предкам Гаусс и Галуа! Алгебраисты охотно вмешались в этот спор и получилась Алгебраическая Топология, процветавшая весь 20 век.

Глава 30. Все возможные математические миры В 1818 году Гаусс написал одному из своих друзей, что размышления над пятым постулатом Евклида (о единственности параллельной прямой) привели его к выводу: этот постулат недоказуем и неопровержим!

Значит, можно принять за аксиому либо сам постулат Евклида, либо его отрицание! Каково оно может быть? Либо на изучаемой поверхности нет ни одной прямой, проходящей через данную точку и не пересекающей данную прямую, либо таких прямых много. Первый вариант кажется нелепостью; но он осуществим на сфере, где роль прямых играют окружности наибольшего радиуса! Любые две такие окружности пересекаются в двух концах одного диаметра. Это, конечно, непорядок: две прямые должны пересекаться не более чем в одной точке. Чтобы этого добиться, нужно считать каждую пару противоположных точек сферы за одну точку новой фигуры: Проективной Плоскости. Кстати:

геометры сконструировали её ещё в 17 веке во времена Декарта!

Итак, есть один вариант неевклидовой геометрии, где параллельных прямых вовсе нет! Логически возможен и другой вариант тот, где бывают пары не пересекающих друг друга, но не параллельных прямых!

Возможен ли такой вариант геометрически? Можно ли указать в пространстве такую поверхность, на которой через данную точку проходит много разных прямых (то есть, геодезических линий), не пересекающих данную геодезическую линию?

Построить такой пример Гаусс не смог и потому не стал публиковать свои соображения об аксиомах евклидовой геометрии. Иначе поступили младшие современники Гаусса: россиянин Николай Лобачевский в Казани и мадьяр Янош Бойяи в Темешвароше. Оба опубликовали свои изложения неевклидовой планиметрии, не дожидаясь, когда кто-либо изобретёт подходящую для неё поверхность.

И правильно сделали: необходимый пример псевдосферы был построен итальянцем Бельтрами только в 1863 году, когда ни Гаусса, ни Лобачевского, ни Бойяи уже не было в живых. Зато жил и действовал самый великий ученик Гаусса Георг Риман (1826–1866). Но ему работа Бельтрами была уже не очень нужна: Риман начал строить Геометрию, как единую науку о свойствах всех возможных геометрических миров!

Например, двумерных геометрий может быть три согласно трём возможным значениям кривизны на соответствующей поверхности.

Если она равна 0, то мы получаем обычную плоскость, описанную (на разных языках) Евклидом и Декартом. Если кривизна поверхности положительна, то эта поверхность проективная плоскость; если она отрицательна, то Бельтрами назвал её Псевдосферой.

Тут бы можно и остановиться но Риман шагнул дальше. Три варианта, рассмотренных выше это поверхности постоянной кривизны.

Но она может быть переменной как, например, на поверхности бублика, которую геометры называют словом Тор. Геодезические линии на нём устроены причудливо: они наматываются на бублик под разными углами и потому либо замыкаются в окружность, либо создают плотную обмотку, покрывающую почти весь тор. Рассмотрев эти примеры, Риман понял: классификация всех возможных планиметрий требует перечисления всех возможных поверхностей! А если мы хотим классифицировать все стереометрии, то нужно перечислить все возможные 3-мерные многообразия начиная с обычного пространства и трёхмерной сферы, продолжая трёхмерным проективным пространством и трёхмерным тором. Таково начало новой геометрии; чем всё это кончится, одному богу известно!

Риман был гений, и потому не трус. Ещё в 1854 году он изложил программу перестройки геометрической науки перед лицом старого Гаусса и заслужил его безмолвное восхищение. Через год Гаусс умер, не беспокоясь о судьбе своей науки: она процветёт в новых крепких руках! К сожалению, Природа не пожаловала Риману долголетия:

он умер в 40 лет, и многие его гипотезы остались не доказаны. Но уже подрастали новые богатыри: за Риманом в геометрию ворвался Феликс Клейн (1849–1925). В 1872 году он продолжил реформу Римана в геометрии, огласив свою Эрлангенскую программу.

Не обладая огромной научной силой Гаусса или Римана, Клейн решительно упростил свою задачу, следуя примеру Галуа. Тот доказал неразрешимость уравнения степени 5 в радикалах, используя алгебраические свойства соответствующей группы симметрий (перестановок).

Эта группа небольшая из 120 элементов и все её свойства доступны прямому перебору, без компьютера.

Теперь Клейн предложил универсальную модель любой Геометрии в виде пары объектов: Многообразия M (которое около каждой точки устроено, как евклидово пространство) и Группы G (она может перевести любую точку многообразия M в любую другую его точку). При этом группа G сохраняет все интересующие нас свойства геометрических фигур.

Например, в евклидовой Планиметрии группа Клейна G состоит из сдвигов, поворотов, отражений и растяжений (гомотетий) плоскости.

Это довольно большой геометрический объект, 4-мерное многообразие особого вида.

Клейн надеялся, что разнообразие в ансамбле всевозможных групп, естественных для геометрической науки, окажется не слишком велико и обозримо как в алгебре обозримы все группы перестановок корней уравнений, использованные в теории Галуа. В этой надежде Клейн оказался прав; но его сил не хватило для полного обзора всех возможных групп, преобразующих евклидовы пространства. Эту работу проделал в 1880-е годы норвежец Софус Ли (1842–1892); оттого сами группы получили имя групп Ли.



Их строгую классификацию с полными доказательствами завершил француз Эли Картан в 1913 году. После этого другие математики занялись представлениями групп Ли то есть, их действиями друг на друге, описывающими изменения природных симметрий.

Сам Клейн потерпел в 1880-е годы тяжкое поражение в соревновании с новым французским гением Анри Пуанкаре (1854–1912). Оба молодца пытались выяснить разнообразие тех алгебраических функций, которые переводят комплексную плоскость в себя и обладают особой (автоморфной) симметрией. В этой гонке за открытием юный дерзкий француз одолел молодого, но более осторожного немца.

Тот отомстил победителю, став удачливым учителем новых поколений математиков всех наций меж тем, как у Пуанкаре не было склонности к воспитанию студентов. Лучшим в ряду учеников Клейна стал Давид Гильберт научный отец, дед и прадед самых славных математиков 20 века.

Веком раньше Гаусс оказался родоначальником нового поколения творцов Теории Чисел. В отличие от Ферма и Эйлера, удальцы 19 века старались перевести любую проблему арифметики чисел на язык Теории Функций с тем, чтобы применить к ней всю мощь методов Анализа.

Образцом такой работы стала теорема Эрмита (1873) о трансцендентности числа e. Вместо многочленов от числа e Эрмит рассмотрел многочлены от показательной функции ex и доказал, что ни один такой многочлен не является нулём. Вскоре (1882) этот же метод позволил Линдеману доказать трансцендентность числа. Но наличие или отсутствие алгебраической связи между числами e и не выяснено до сих пор.

Другим триумфом Аналитической Теории Чисел стала теорема Дирихле (1855) о наличии бесконечного семейства простых чисел в любой арифметической прогрессии, где первый член и разность взаимно просты. Тот же Петер Дирихле (1805–1859) навёл алгебраический порядок в новой теории делимости идеалов, нечаянно открытой Куммером в поисках доказательства Большой Теоремы Ферма.

В 1840-е годы Эрнст Куммер (1810–1893) пытался доказать Теорему Ферма сразу для всех простых степеней p 2 (она уже была доказана для p 13). Вскоре Куммеру пришла в голову красивая идея общего доказательства. Она опиралась на факты о делимости целых комплексных чисел, установленные Гауссом. Но осторожный Куммер не стал сразу публиковать своё открытие, а отложил его в долгий ящик, чтобы прочесть позже когда испарится начальное ослепление творца, и станут заметны ошибки.

Перечитав свой текст и рассказав его своему другу Дирихле, Куммер заметил, что он пользуется более сильными свойствами делимости, которые Гаусс не доказал: их нужно ещё проверить! Куммер их проверил и обнаружил поразительный факт. Для простого числа р 19 в кольце Z[ p 1] целых комплексных чисел, порождённых всеми корнями степени p из 1, разложение на множители может не быть единственным!1 Эта мелкая деталь обрушила всё доказательство Куммера. Но упрямый немец не сдался Судьбе: применив более хитрые методы, он обошёлся многозначным разложением на множители, если степень этой многозначности не делится на исходное простое число p. Так обстоит 1 Кольцо различные комплексные числа, что 1 = 2 = · · · = p1 = 1 (их также называют корнями из единицы степени p). Элементы кольца Z[ p 1] можно складывать и умножать по обычным правилам для комплексных чисел, и при этом будут получаться также только элементы Z[ p 1]. Число A, являющееся элементом Z[ p 1], называется простым (в этом кольце), если оно не представляется в виде произведения других чисел элементов этого кольца ( тривиальные разложения типа A = A·1 = A·B·C, где B · C = 1, не считаются).

дело для p = 23; но уже для p = 37 это не так! Тут Куммеру пришлось остановиться: общее доказательство Большой Теоремы Ферма у него не получилось. Зато алгебраисты узнали, что свойства произвольных колец бывают гораздо сложнее и интереснее, чем свойства кольца обычных целых чисел или многочленов от одной переменной.

В итоге к концу 19 века Алгебра превратилась из искусства решения уравнений в науку, изучающую всевозможные алгебраические миры:

Группы, Кольца, Поля, Векторные Пространства которые возникают при решении уравнений. Последним новым миром этого сорта, открытым в 19 веке, стали p-адические числа Гензеля (1893). Речь идёт о бесконечнозначных целых и дробных числах, служащих решениями обычных уравнений. Например, равенство x · x = x, кроме 0 и 1, имеет ещё два бесконечнозначных 10-адических решения: (... 625) и (... 376).

(В каждом 10-адическом числе выписано по три последние цифры, а бесконечное количество предыдущих цифр обозначено многоточиями.) Курт Гензель открыл, что для каждого простого p существуют кольцо Z[p] и поле Q[p], которые пополняют кольцо Z целых чисел и поле Q рациональных чисел. Каждое пополнение изображается геометрической фигурой: например, кольцо Z[2] гомеоморфно бесконечно дырявому Канторову Множеству на отрезке (0, 1). В 20 веке наследники Гензеля развили в p-адических полях полную систему Анализа Функций. Различия между высшими сортами вечного Анализа оказались очень полезны для разных ветвей математики 20 века.

Глава 31. Постижение биологической Вселенной В золотой век Античности даже Аристотелю не удалось создать полноценную науку Биологию. Почему так? Видимо, потому, что сама греческая наука той поры была устроена проще, чем земная Биосфера;

даже проще, чем один биологический ценоз вроде луга, тайги или дубравы. Но в 18 веке ситуация изменилась. В 1735 году Карл Линней дерзнул опубликовать первую удачную классификацию живых организмов. Отчего Линнею удалось то, что не вышло у Аристотеля?



Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 34 |
 



Похожие работы:

«В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ Л. Е. ГРИНИН Лекция: ПРИРОДНЫЙ ФАКТОР В АСПЕКТЕ ТЕОРИИ ИСТОРИИ* Влияние природного фактора на уровень богатства общества, демографический рост, скорость исторического развития в течение всей истории было исключительно сильным. Вот почему образ природы всегда был важнейшим в духовной жизни общества, люди обожествляли ее, воспевали, боялись и были благодарны ей за щедрость. Глобальные климатические изменения (оледенение, потепление, усыхание степи и др.) играли важную роль...»

«ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ СБОРНИК ПО ПРОФИЛАКТИКЕ КОРРУПЦИОННЫХ ПРАВОНАРУШЕНИЙ ИЗДАНИЕ СОВЕТА ФЕДЕРАЦИИ Общее руководство проектом А.А. Нестеренко, начальник Управления кадров и государственной службы Аппарата Совета Федерации Под общей редакцией П.А. Бакланова, заместителя начальника Управления кадров и государственной службы Аппарата Совета Федерации – начальника отдела кадрового учета и внутреннего контроля Авторский коллектив – заместитель начальника Управления кадров и государственной...»

«2004 БОЛЬНИЦА КРАСНОГО К Р Е С Т А вчера, сегодня. КОНТРОЛЬНЫЙ ЛИСТОК СРОКОВ ВОЗВРАТА КНИГА ДОЛЖНА БЫТЬ ВОЗВРАЩЕНА НЕ ПОЗЖЕ УКАЗАННОГО ЗДЕСЬ СРОКА Колич пред. выдач \ v 'ь+СССЛ^ Л 1 / БОЛЬНИЦА КРАСНОГО КРЕСТА вчера, сегодня. К 90-летию городской клинической больницы скорой медицинской помощи Владимир 2004 БОЛЬНИЦА КРАСНОГО КРЕСТА вчера, сегодня. (К 90-летию городской клинической больницы скорой медицинской помощи): сборник. Владимирская городская клиническая больница скорой медицинской помощи....»

«ХРОНИКА II ВСЕРОССИЙСКИЙ ФЕСТИВАЛЬ НАУКИ НА СОБСТВЕННОЙ ПЛОЩАДКЕ ЛГПУ 12-14 октября 2012 года Липецкий государственный педагогический университет (ЛГПУ) в рамках II Всероссийского фестиваля науки проводил Фестиваль науки на собственной площадке, подробная программа проведения которого выложена на сайте ЛГПУ, на сайте ЛГПУ выложена также программа мероприятий Фестиваля науки, запланированных на 18-19 октября 2012 года факультетом физической культуры и спорта ЛГПУ. В соответствии с программой...»

«Великий последний шанс: АСТ, АСТ Москва; Москва; 2005 ISBN 5-17-037195-0, 5-9713-2122-6 Аннотация Новая книга Михаила Веллера в простой и эмоциональной форме дает анализ российской действительности. Скандальные выводы перерастают в неожиданно обнадеживающие прогнозы. Михаил Иосифович Веллер Великий последний шанс ЭЛЕКТРОШОК ДЛЯ ПРОРОКА Сегодня Россия обречена. Гибель огромного организма, милосердно быстрая в историческом времени, успокоительно постепенна во времени современников. Те же города,...»

«Уральский государственный экономический университет Е. Г. Анимица, Л. Г. Антонова МАЛОЯНИСОЛЬ: ИСТОРИЯ, СОБЫТИЯ, СУДЬБЫ (1780–2010) Екатеринбург 2010 УДК 93/99 ББК 63.3 А 67 Анимица, Е. Г. А 67 Малоянисоль : история, события, судьбы (1780–2010) [Текст] / Е. Г. Анимица, Л. Г. Антонова ; [предисл. А. В. Гед] ; М-во образования и науки РФ, Урал. гос. экон. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2010. – 256 с. Библиогр.: с. 211–219 (120 назв.). В книге раскрываются исторические этапы...»

«УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров д.ф.н. проф. С.Ю. Николаева 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине М2.В.ДВ.1 Искусство книги (II курс магистратуры) Направление 035000 (м) Издательское дело Редакционная подготовка изданий (название специализированной программы подготовки магистров) Обсуждено на заседании кафедры Составитель: 307_2012 г. к.и.н. доц. Кирьянова Е.Г. Протокол №11 Зав. кафедрой Тверь 2012 1. Пояснительная записка Дисциплина входит в вариативную часть блока...»

«МОСКВА - 1997 В.Ф. Дизендорф. Прощальный взлт / Судьбы российских немцев и наше национальное движение / Книга I. От национальной катастрофы - к попытке возрождения. – М., 1997. - с. 347. ISBN 5-900546-09-8 В книге рассказывается о сложной и трагичной истории российских немцев в XX веке, увенчавшейся в последние десятилетия воз никновением их массового национального движения. Оно направлено на самосохранение этого исчезающего народа, в первую очередь за счт восстановления его государственности -...»

«1. Тематический план учебной дисциплины Аудиторные часы СамостояВсего Практиче № Название раздела тельная Лекци Семин часов ские работа и ары занятия Раздел I. Введение в предмет Философия в контексте культуры 0 1 6 2 2 4 Раздел II. Исторические типы философии Религиозно-философские системы 2 14 2...»

«Избранные страницы: Клубу любителей алтайской старины – 20 лет Барнаул 2011 УДК ББК 63.3(2р537) И-328 Составитель В. П. Кладова Избранные страницы: клубу любителей алтайской старины – И-328 20 лет [Сборник] / Алт. краев. универс. науч. б-ка им. В. Я. Шишкова; Отд. редкой книги; сост. В. П. Кладова. – Барнаул: РИО АКУНБ, 2011. – 281 с. Сборник подготовлен на основе докладов членов Клуба любителей алтайской старины за период 1989–2009 гг. Статьи, ранее вошедшие в сборник Избранные страницы: клубу...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.