WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 34 |

«Смирнов С. Г. С50 Лекции по истории науки: пособие для курсов повышения квалификации и переподготовки учителей математики. М.: МИОО, 2006. 196 с.: ил. ISBN ...»

-- [ Страница 19 ] --

Какая может быть связь между алгебраическими и тригонометрическими рядами? Этого никто не понимал до конца 19 века пока Вейерштрасс и Фреше (а за ними Гильберт) не начали рассматривать множество всех гладких или непрерывных функций как хорошее Векторное Пространство, где определено расстояние между точками и даже угол между векторами. В этом пространстве можно решать линейные уравнения и их системы так же, как это делается в k-мерном евклидовом пространстве. Решение дифференциальных уравнений над функциями, важными для физики, часто сводится к решению линейных уравнений в бесконечномерном пространстве гладких функций и их степенных рядов. Вот и вся хитрость!

Её нечаянно использовал ещё Евдокс, когда он разлагал неизвестное периодическое движение планеты в сумму равномерных движений точек по окружностям. Но вылущить и понять математическую суть этого удачного трюка удалось лишь 20 веков спустя, в течение ста лет: от Фурье до Гильберта.

Ещё дольше ждала своего понимания проблема геометрических построений циркулем и линейкой, над которой мучились Пифагор и его ученики. Лишь в конце 18 века юный Карл Гаусс (1777–1855) заметил, как упрощается древняя проблема при переводе на язык комплексных чисел. Построение циркулем и линейкой новых точек на плоскости равносильно решению квадратных уравнений в комплексных числах!

Всё, что можно построить циркулем и линейкой, служит корнем квадратного уравнения, коэффициенты которого суть корни квадратных уравнений,... и так далее, много раз; коэффициенты последнего уравнения рациональные числа.

Уразумев эту красивую схему, Гаусс перевёл её на геометрический язык но теперь уже не в плоскости, а в многомерном векторном пространстве над полем рациональных чисел. Возник новый наглядный образ: нечто вроде числового облака, раздуваемого вдвое при решении очередного квадратного уравнения. Точку на плоскости можно построить циркулем и линейкой, только если облако поглощает её на некотором шаге. Ну, а если эта точка корень неразложимого кубического уравнения? Тогда ничего не выйдет! Кубическим поглощением до неё можно добраться за один шаг; но квадратичными поглощениями никогда! По этой причине не удаётся трисекция произвольного угла; не всегда строится треугольник по трём биссектрисам и так далее. Не удаётся построить правильный 7- или 9-угольник; правильный 5-угольник строится, но 25-угольник нет...

А можно ли построить квадрат, равновеликий данному кругу? На этот греческий вопрос Гаусс ответить не смог, потому что не знал: является ли число корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами? Эта проблема оставалась не решённой до 1882 года пока Фердинанд Линдеман не доказал, что число трансцендентно (то есть, не является корнем никакого целого многочлена). Кстати, первый пример трансцендентного числа построил (с доказательством) в 1835 году Жозеф Лиувиль один из лучших учеников Жозефа Фурье.

Другой ученик из той же команды Эварист Галу (1811–1832) окаа зался самым блестящим, но непнятым и недолговечным из гениев столетия. Он продолжил работу Гаусса над достижимыми либо недостижимыми числами, выбрав иной способ достижения корней многочленов. Что, если мы умеем извлекать корни любой степени из элементов числового поля: сумеем ли мы таким путём выразить корень любого многочлена через его коэффициенты? Ещё в 16 веке Кардано и Феррари решили эту задачу для многочленов степеней 3 и 4. Но теперь Галуа и Абель доказали, что для степени 5 она не разрешима!

Галуа рассуждал по схеме Гаусса. Но он обратил внимание на форму разбухающего облака чисел, достижимых путём циклического расширения поля рациональных чисел. Оказалось, что это облако более похоже на кристалл : оно имеет довольно сложную Группу Симметрий. Сравнив две группы симметрий: ту, которую может иметь ансамбль корней произвольного многочлена данной степени, и ту, которую имеет многократное циклическое расширение поля, Галуа заметил, что они не равны (не изоморфны), если степень многочлена больше, чем 4. Значит, есть такие многочлены степени 5 (и выше), корни которых нельзя получить из их коэффициентов с помощью действий арифметики и извлечения корня любой (натуральной) степени!

Так юный француз Галуа и юный норвежец Абель основали Теорию Групп и решили её первую сложную проблему родом из древнегреческой геометрии. Заодно они положили начало новой теории Алгебраических Функций: её первыми объектами (кроме многочленов и корней) стали специальные функции от нескольких переменных, выражающие корни любых многочленов через их коэффициенты. В этой теории тоже началось изучение симметрий облака полей : такая работа позже привела алгебраистов к доказательству Большой Теоремы Ферма. Но привыкание математического сообщества к новым идеям Теории Групп заняло 40 лет. Только в 1872 году молодой немец Феликс Клейн (1849– 1925) заметил, что Теория Групп открывает удобнейший путь к описанию всех возможных геометрий...

А когда физики заметили успехи новой Теории Групп? Очень не скоро! Лишь в 1891 году русский кристаллограф Евграф Фёдоров и его немецкий коллега Артур Шёнфлис начали изучать все возможные симметрии природных кристаллов. Их семейство оказалось не слишком большим: 230 разных кристаллических решёток, которые встречаются у миллионов разных веществ! Так Теория Групп пожаловала Химии новый способ изучения структуры веществ: не только снизу (от атомов), как начинали химики 18 века, но и сверху (от симметрий). Этот последний способ оказался особенно важен для сверхсложных молекул органических веществ, включая ДНК и белки. В начале 20 века этот способ пригодился Нильсу Бору при изучении симметрий атомов;



в середине 20 века физики воспользовались им при изучении ядер атомов и тех частиц, что составляют эти ядра. Эйнштейн выяснил, что кванты гравитации (гравитоны) имеют другую симметрию, чем кванты света (фотоны): оттого одинаковые массы притягивают друг друга, а одинаковые заряды отталкиваются... Значит, лучшие алгебраисты начала 19 века нечаянно трудились на благо геометрии следующего полувека и физики следующего столетия!

Глава 29. Основания Анализа:

от Коши до Кантора Огюстен Коши (1789–1857) родился в самом начале Французской революции; он всю жизнь ненавидел эту революцию со всеми её последствиями. Впрочем, преподавать в Нормальной и Политехнической школах Коши был готов пока у власти стояли правильные Бурбоны.

В рядах Академии Наук Коши заменил в 1815 году уволенного республиканца Монжа. Но на склоне лет Коши примирился с избранным королём Луи Филиппом а потом и с императором Наполеоном 3, который не требовал от Коши никаких клятв верности.

Преподавая студентам Анализ, Коши глубже вдумался в основные понятия этой науки и обнаружил отсутствие строгих определений самых естественных вещей! Что такое предел функции f (x) в точке a, лежащей на числовой оси? Что такое предел последовательности чисел? Какой числовой ряд можно назвать сходящимся? Сохраняется ли сумма ряда при любой перестановке его членов? При каких условиях ряд Тейлора гладкой функции f (x) сходится на всей числовой прямой? Если он сходится везде то везде ли его сумма равна исходной функции f (x)?

Все эти и многие другие вопросы Коши выяснил для себя и изложил в своих лекциях. Так математики впервые узнали, что мир Аналитических функций (равных своим рядам Тейлора) составляет малую долю мира Бесконечно Гладких функций а все Гладкие функции заполняют малый островок в море Непрерывных, но не дифференцируемых функций. Те же вопросы возникли применительно к рядам Фурье: всегда ли такой ряд сходится к той функции, которая его породила? Этот вопрос был окончательно выяснен лишь в середине 20 века.

Дурной пример сомнений, поданный Коши, заразил многих математиков 19 века. Из каких чисел состоит числовая прямая? Каких среди них больше: рациональных, или иррациональных? Есть ли во множестве чисел щели или прямая плотна в том смысле, что любая стягивающаяся последовательность отрезков в ней имеет общую точку? Ответить на эти вопросы сумели два очень умных немца: Рихард Ддекинд (1831–1916) и Георг Кантор (1845–1918).

Следуя примеру Евдокса, Дедекинд развивал геометрическую теорию Действительных чисел. Он начал с того, что заткнул каждую щель во множестве Рациональных чисел новым Иррациональным числом а потом доказал, что в такой пополненной числовой прямой нет щелей. Из этой процедуры стало ясно, что каждое действительное число имеет запись в виде бесконечной десятичной дроби. Как правило, эта запись единственна; все исключения хорошо известны и понятны.

Далее на сцену вышел Георг Кантор. Он задался простым вопросом, который приходил на ум ещё Галилею (но тот отбросил его, как лишённый физического смысла). Бывают ли разные бесконечные множества? Или между любыми двумя бесконечностями можно установить взаимно-однозначное соответствие как между всеми натуральными числами и всеми их квадратами?

В 1874 году Кантор совершил великий прорыв в Неведомое. Он сначала построил взаимно-однозначное соответствие между всеми Натуральными и всеми Рациональными числами а потом доказал невозможность взаимно-однозначного соответствия между всеми Натуральными и всеми Действительными числами. Так выяснилось, что есть, по крайней мере, две разные бесконечности: Счётная и Континуальная. Вскоре Кантор доказал, что семейство разных бесконечностей неограниченно велико! Впрочем, для привычного Анализа Функций довольно двух или трёх первых членов этого огромного семейства...

Но остался один безответный вопрос: есть ли между Счётным и Континуальным множествами некая промежуточная мощность (более чем счётная но менее чем континуальная)? Или её нет и быть не может?

Весь остаток жизни Кантор посвятил изучению этой проблемы и свихнулся на ней, кончив свои дни в психбольнице. А сама проблема решения не имела: Континнум-Гипотеза Кантора оказалась одной из необходимых аксиом Теории Множеств. Можно принять за истину любое её решение: есть промежуточная мощность, или её нет. В любом случае мы получаем непротиворечивую аксиоматику в которой, однако, найдутся другие безответные вопросы. Всё это было доказано в 20 веке: Куртом Гёделем (1931) и Полем Коэном (1963). Первый разделил печальную судьбу Кантора, кончив дни в безумии... Трудная вещь Основания Математики!

Прежде чем Кантора постигло несчастье, он успел основать вторую (геометрическую) половину Теории Множеств: Общую Топологию, которая прямо связана с Анализом. Среди огромного (более чем континуального) семейства всех подмножеств числовой оси Кантор выделил два важнейших сорта: замкнутые (которые содержат все свои предельные точки) и открытые (которые содержат каждую точку вместе с некоторой её окрестностью). Оба эти определения оказались столь удачны, что математики легко перенесли их с прямой на евклидово пространство, а с него на любые фигуры, лежащие в нём.

Общая Топология изучает методами Анализа свойства любых фигур, вложенных в пространство большой, или даже бесконечной размерности. В нём тоже можно ввести расстояние между точками (например между двумя непрерывными функциями); можно определить предел последовательности точек, замкнутое множество и все связанные с этим геометрические понятия. Всё это было сделано к концу 19 века наследниками Кантора: Вейерштрассом и Фреш, Борелем и Лебегом.

Они ввели новый критерий эквивалентности фигур: гомеоморфизм, то есть взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение между подмножествами метрических пространств. Из этого понятия сразу родился ансамбль наглядных задач Топологии.

Гомеоморфна ли окружность всей числовой прямой или её отрезку, или кругу? Если нет, то какие инварианты различают эти фигуры? Можно ли придумать конечный или счётный ансамбль инвариантов, различающий любые не гомеоморфные друг другу фигуры?



Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 34 |
 



Похожие работы:

«ИЗРАИЛЯ и ИУДЕИ •а ДО РАЗРУШЕНИЯ И П ервого ^. \ т Тщ і Ьт І ’ І&. |г а # # д ХРАМА | ЪуЧІ-Я! 1 Ш ЁІІ& \ ят ш -Ш М ' ’ I ^кА 'ТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА И. Р. ТАНТЛЕВСКИЙ ИСТОРИЯ ИЗРАИЛЯ И ИУДЕИ ДО РАЗРУШЕНИЯ ПЕРВОГО ХРАМА ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2005 ББК 63.3(0)31 Т18 Р е ц е н з е н т д-р ист. наук В. А. Якобсон (С.-Петерб. филиал Ин-та востоковедения РАН) Тантлевский И. Р. Т18 И стория И зраиля и Иудеи до разруш ения П ервого Храма. — СПб.: И зд-во С.-П...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОПД.Ф.8 История образования и педагогической мысли (наименование дисциплины) Для направления 050700.62 Педагогика Профиль - Социальная педагогика факультет Педагогического образования курс_I экзамен_I (семестр) семестр_I_ лекции36_(часов) зачет _ (семестр) практические занятия36(часа) лабораторные занятия -(часа) самостоятельные занятия_80(часа) Всего часов152(часов) Составители: ассистент Боброва А.Ю. Анжеро-Судженск, 2013 Рабочая программа дисциплины Теории...»

«ЧЕБОКСАРСКИЙ ФИЛИАЛ КАФЕДРА ПУБЛИЧНОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ УТВЕРЖДАЮ Зам. директора по учебно-методической и воспитательной работе И.Г. Голышев 201_ Программа дисциплины ИСТОРИЯ Направление подготовки 081100 Государственное и муниципальное управление Квалификации (степени) выпускника – бакалавр Рассмотрена и утверждена на заседании кафедры от_ протокол № зав. кафедрой _ О.Н. Мирошниченко Чебоксары 2013 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Цели дисциплины – дать научно-теоретические знания...»

«Современная Россия и мир: альтернативы развития (Разрешение межгосударственных конфликтов: актуальный опыт истории и современность) Сборник научных статей ББК 66.4(0), 302 я431 Д 541 Редакционная коллегия: доктор исторических наук, профессор Ю.Г. Чернышов (отв. редактор); кандидат исторических наук, доцент О.А. Аршинцева; кандидат исторических наук, доцент А.М. Бетмакаев; С.Н. Исакова (отв. секретарь); кандидат исторических наук В.Н. Козулин; кандидат исторических наук, доцент О.Ю. Курныкин;...»

«Аннотация В книгу великого русского ученого, философа и педагога В. И. Вернадского включены материалы, помогающие постичь масштаб этой поистине уникальной личности: выдержки из дневников, статьи, переписка с выдающимися современниками. Пережитое и передуманное Научные достижения могут быть едиными для всех Когда мы говорим о В. И. Вернадском, мы говорим не об истории, а почти всегда о проблемах современности. В чем причина этой удивительной современности В. И. Вернадского? В. И. Вернадский...»

«92 ЩЕПАНОВСКАЯ Е.М. (СЕМИРА) Диссертация: ГЕНЕЗИС И КЛАССИФИКАЦИЯ МИФОЛОГИЧЕСКИХ АРХЕТИПОВ: КУЛЬТУРФИЛОСОФСКИЙ ПОДХОД ГЛАВА 3. ГЕНЕЗИС БАЗОВЫХ АРХЕТИПОВ МИФОЛОГИИ, ИХ СЕМАНТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В 12-ти подглавах этой главы на основе представленных выше методов очерчена суть базовых архетипов мировой мифологии. В один архетип сводятся мифологемы, близкие по образу и функциональному смыслу. Сначала дается (1) общая формулировка генезиса архетипического ядра, потом более подробно разворачиваются (2)...»

«ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДЕГРАДАЦИЯ ПОЧВ – УГРОЗА ГЛОБАЛЬНОГО ЭКОЛОГИЧЕСКОГО КРИЗИСА Г. В. Добровольский В сознании большинства людей и части научного сообщества представление о почве ассоциируется только с сельским хозяйством, главным образом с земледелием. Это представление имеет глубокие корни и отражает многовековой опыт земледелия как основного способа получения продуктов питания. Но при всей очевидности такой точки зрения на свойства почв она не отражает всей значимости почвы в жизни природы и...»

«Светлана Фалькович Польская проблематика в российской историографии История Польши интересовала русское общество с давних пор. Ее изучение отмечено еще в 60-80-х гг. ХVIII в., но серьезная научная разработка началась с середины XIX в. Тогда основой подхода к историческому анализу было славянофильство, опиравшееся на романтическую идею. С началом либеральных реформ позитивизм стал вытеснять романтизм, но влияние славянофильства еще долго ощущалось. Интерес к польской истории подогревали планы...»

«М.В. Шкаровский ВОЗНИКНОВЕНИЕ РУССКОЙ ПРАВОСЛАВНОЙ ЦЕРКВИ ЗАГРАНИЦЕЙ И РЕЛИГИОЗНАЯ ЖИЗНЬ РОССИЙСКИХ ЭМИГРАНТОВ В ЮГОСЛАВИИ В данной статье рассматривается историческая перспектива возникновения Русской Православной Церкви Заграницей после революционных событий в России в 1917 г. Помимо этого представлено описание культурной и религиозной жизни российской эмиграции в Королевстве сербов, хорватов и словенцев (Югославии). Именно эта страна стала местом зарождения Русской Православной Церкви...»

«Прошло уж десять лет, А, кажется, вчера его не стало. Плакучей ивы тень. Такараи Кисаку Предисловие По скользким камням, сквозь мокрые заросли лиан, по мокрой земле, спотыкаясь и падая на мокрую землю, и все это под проливным дождем. Казалось, конца не будет всему этому, что никогда мы не придем, и все будет так же сыро – лес, камни, вода. Но вот и то место, откуда мы начали подъем, вот и пасека, вот и деревня. И вот мы в теплом доме, уже обсохшие, наевшиеся. И все уже в прошлом. Был ли поход...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.