WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 9 ] --

Рамануджан, получив базовое школьное образование, полюбил “игру” в формулы: обнаружив возможность получения новых формул с помощью преобразования уже известных, и он нашёл большое количество чрезвычайно сложных и неочевидных формул. Подобные формулы (вычисление различных величин с помощью цепных дробей, рядов и бесконечных произведений) были необходимы, когда исследователи не имели хорошей вычислительной техники. А ныне формулы Рамануджана – это “чистое”, абстрактное знание. Попытки исследовать, а также развить эти результаты интересны для создания новых методов получения эффективных математических формул.

Вопрос о существовании и единственности решения, например, дифференциального уравнения, возникает только в математике первой половины XIX в.; это было обусловлено усложнением решавшихся задач в связи с их произвольными обобщениями и расширениями.

Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логики развития математического знания дение этой задачи из физики, астрономии или механики давало основания предполагать, что решение заведомо существует. Например, Д. Гильберт (David Hilbert. 1862-1943) был уверен, что в вариационном исчислении все решения естественно сформулированных задач заведомо будут аналитическими [5, c. 16].

Структура европейского математического сообщества от Довольно большая часть математиков-практиков занималась преподаванием; в европейских университетах каждый профессор должен был вести научную работу, и для относительно небольшого количества этих учёных находилось достаточное число важных в практических приложениях задач. Все профессора университетов занимались научными исследованиями. Однако лишь некоторые преподаватели (учителя) средних учебных заведений занимались научными исследованиями, чаще всего это была работа по усовершенствованию и созданию учебных пособий, в т.ч. задачников, что сближает учителей и математиков-любителей в занятиях “чистой” и “занимательной” математикой.

Конец XVIII – XIX вв. Начальная стадия будущей революции в математике. Разросшееся дерево математики стало уже столь огромным, что никто из учёных не мог охватить все области и понятия этой науки; время универсальных математиков закончилось.

Решение уже известных задач, но с более широкими условиями, с учётом ранее не учитывавшихся параметров, или же решение новых, всё более сложных задач практики приводило к новым, неожиданным и непривычным для “классической” математики решениям и фактам.

Задачи теории вероятностей и решения некоторых дифференциальных уравнений приводили к появлению новых, важных на практике, но не встречавшихся ранее функций (например, функция Лапласа). Кроме того, неожиданно обнаружилось, что в некоторых областях математики “не работают” привычные представления о функциях и операциях над ними: так, например, был найден ряд из непрерывных функций, сходящийся к разрывной функции. Снова возник вопрос:

что такое функция? Как хорошо известно, первоначально в качестве функций рассматривали многочлены и алгебраические функции, затем к ним добавились тригонометрические и показательные функции, а также обратные к ним. Параллельно с этим функции представлялись как степенные ряды. Однако потребности математики потребовали более общего понятия функции, и Л.Эйлер (Leonhard Euler, 1707-1783) во “Введении в анализ бесконечно малых” (“Introductio in analysin innitorum”, 1748) предложил новое определение функции: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Но это определение не позволяло описать всё разнообразие функций, с которыми столкнулись математики, такие “элементарные” функции были недостаточны для описания решений некоторых практических задач, и потому Эйлер использовал и другое, 34 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия более общее определение: “когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”. У этого определения чрезвычайно широкий характер; оно охватывает способы зависимости одной величины от другой. Постепенное обобщение понятия функции привело появлению новых определений, которые были даны Н.И. Лобачевским (1792-1856) в 1834 г. и П. Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) в 1837 г.; Б. Больцано (Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano, 1781-1848) также участвовал в формировании понятия функции. Это понятие совпадает с современной концепцией о функции как о произвольной зависимости значения функции от переменной величины.

Обобщение понятия функции направило интерес математиков на поиск обобщений других математических понятий. Многие давно известные задачи и методы заново формулировались в новых терминах, эта терминология расширила понятие пространства, числа, алгебраических операций и т.д.

Одновременно с изменением ряда основных понятий в математике происходили и существенные изменения в структуре математического сообщества. Как уже было отмечено, к XVIII в. математическое сообщество состояло из математиков-практиков, учителей (преподавателей средней и высшей школы) и любителей. Но теперь появилась новая группа математиков: теоретики.

Это случилось в конце XVIII – начале XIX вв. В это время в Европе происходило бурное развитие индустриального производства. Промышленности требовалось большое количество квалифицированных работников – технологов, инженеров, проектировщиков и др. Поэтому было создано много средних и высших технических учебных заведений. Для этих образовательных учреждений требовались преподаватели, и университеты Европы подготовили их. Это были профессора математики, у которых было единственное занятие: обучение. Однако каждый профессор должен был вести научную работу. Если раньше для довольно немногочисленной университетской профессуры вполне хватало ставившихся человеческой практикой задач, то теперь такого рода задач для всех преподавателей высших технических учебных заведений просто не хватало. В XIX в. много выдающихся профессоров математики стали ведущими теоретиками. Фактически теперь многие профессиональные математики (профессора) решали “любительские” задачи. В основном, это были задачи из теории чисел, и алгебры.



Структура европейского математического сообщества к Исследования же математиков-практиков часто были связаны с реальными задачами промышленности, экономики и др., и эти математики создавали новые методы или понятия для решения такого рода задач. Количество новых методов и понятий стало необозримым, поэтому потребовалось упорядочивание и классификация этой информации по следующим двум основным причинам:

Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логики развития математического знания 1. Успешно сформулированные понятия и удобные обозначения упрощают дальнейшие исследования;

2. Адаптация математических понятий и результатов для студентов высшей школы (в основном, технических учебных заведений) – это была первичная и главная цель.

Последняя проблема была решена профессорами-математиками (теоретиками) XIX в. Несомненно, проблемы, возникшие при создании математического анализа, могли быть решены и математиками-практиками (так же, как это имело место в предыдущие периоды развития математики); мы видим работу в этом направлении в трудах, например, О. Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857). Отметим, что Коши ввёл ряд критериев строгости для доказательств в математическом анализе, но он только начал разработку многих важных идей; окончательное формирование строгости в доказательствах математического анализа было в основном закончено К. Вейерштрассом (Karl Theodor Wilhelm Weierstra, 1815-1897). Итак, именно профессораматематики кардинально преобразовали представление о строгости математического доказательства и о сущности математики в XIX в.

Что же такое математика? В работе над преобразованием технологии обучения математике многие профессора-математики естественно обращали внимание на вопрос: так что же такое математика? Какие методы лежат в основе её развития? Какая часть математики важнее: теория или методы решения практических проблем? Наблюдая быстрое развитие различных областей математики, теоретики интересовались тем, что же такое математическое исследование, какие методы являются самыми эффективными для развития (абстрактной) математической теории.

В это время древнегреческий метод дедуктивного представления математических фактов стал основой для дальнейшего развития теоретической математики и её преподавания. За образец учебного курса математики были взяты “Начала” Евклида. Это сочинение хорошо структурировано, предложения “Начал” расположены в удачной логической последовательности, все рассуждение опираются на очевидные факты – аксиомы, а также некоторые условия для исследования, в которых и решаются задачи – постулаты1.

Однако легко заметить, что многие математические факты есть следствие некоторых (математических) экспериментов.

Так, если у нескольких подобных объектов вследствие некоторых наблюдений или вычислений обнаружено некоторое общее свойство, исследователь пытается доказать, что это свойство является общим для всех объектов изучаемого типа (что в дальнейшем облегчает исследование этих объектов). То есть первый шаг математического исследования – это эксперимент, т.е. решение нескольких однотипных задач и обнаружение определённых общих свойств этих решений. Затем обнаруженные свойства проверяются для других типов объектов, расширяются условия применимости исследованного факта и т.д. Таким образом, у всех математических фактов, теорий, гипотез в основании лежит некоторый эксперимент. Именно таким образом были обнаружены математические факты, изложенные в “Началах” Евклида. Однако в книгах Евклида эти факты были уже структурированы для большего удобства изучения; “Начала” были лишь учебником, но не сочинением о математическом исследовании.

Простота и чёткость греческой математики стимулировали новых теоретиков XIX в. к созданию изложения математики в форме, подобной “Началам”; предполагалось, что новые математические факты будут следовать из установленных правил логического вывода. С этой целью было необходимо формализовать правила логических рассуждений в математике. Однако в это время логические конструкции должны были быть основаны на алгебраической символике вместо геометрической алгебры древних греков.

Вероятно, именно Я. Бернулли (Jakob Bernoulli, 1654-1705) впервые увидел параллелизм алгебраических преобразований и логических рассуждений (1684). Как известно, позднее Лейбниц Надо отметить, что с современной точки зрения не все предложения “Начал” отвечают правилам математической строгости; как известно, система аксиом Евклида пополнялась его издателями уже в эпоху Возрождения. Однако современный математик легко найдёт погрешности в строгости рассуждений и в математических сочинениях недавнего времени: уровень строгости в математических доказательствах постоянно повышается.

пытался создать универсальную символическую логику, пригодную не только в математике, но также и в юриспруденции. Математики XIX в. вновь обратились к этой идее. Но для этого сначала было необходимо изложить всю известную в это время математику по строгим правилам (известной в то время) логики; развитие математических теорий с помощью только логических рассуждений должно было стать следующей стадией преобразования математического знания1.

Для этого, естественно, потребовалось создание специального языка для изложения теоретических фактов и преобразования формул-утверждений по установленным правилам для получения или подтверждения новых теоретических фактов.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«ИсторИя И ИсторИческое сознанИе Под общей редакцией И.М. Клямкина москва 2012 УДК [930+94](470+571) ББК 63.01(2)+63.3(2) И90 Под общей редакцией И.М. Клямкина И90 История и историческое сознание / под общ. ред. И.М. Клямкина. — М.: Фонд Либеральная миссия, 2012. — 480 с. ISBN 978–5–903135–32–5 Чем объясняется российская политическая цикличность, какова ее социальная и культурная природа? Исчерпала себя историческая колея чередующихся оттепелей и подмораживаний, либеральных реформ и авторитарных...»

«Марк Солонин Моему отцу, Семену Марковичу Солонину, рядовому Великой войны, посвящается К читателю Правда не побеждает. Правда остается, когда все остальное уже растрачено. Этими словами заканчивался программный документ чешской оппозиции Две тысячи слов. Тогда, в июне 1968 года, едва ли кто-то мог предположить, что эта фраза будет точно описывать ситуацию, сложившуюся сегодня на бескрайних просторах бывшей советской империи. Автору книги, которую вы держите в руках, потребовалось 15 лет и 138...»

«ФЕНЕЛЛА НА СЦЕНАХ ИМПЕРАТОРСКИХ ТЕАТРОВ FENELLA AT THE IMPERIAL THEATRES Аннотация. Статья написана на основе доклада, прочитанного в рамках международной конференции Русско-французские музыкальные диалоги (Келдышевские чтения–2012, Государственный институт искусствознания). Опера Д.-Ф.-Э. Обера Немая из Портичи (Фенелла) рассматривается в контексте литературных, художественных и театральных интересов русской публики XIX–XX веков. Впервые в научный обиход вводятся факты, позволяющие по-новому...»

«В Отделе рукописей Российской Национальной библиоте ки (Санкт Петербург) с конца XIX в. хранилась неопублико ванная рукопись петровского морского капитана и гидрогра фа, затем сенатора Федора Ивановича Соймонова История государя императора Петра Великого. В настоящее время книга, состоящая из шести частей (около 25 а. л.), подготовле на мной к изданию. Этот впервые вводимый в научный оборот источник был создан в 1760 х гг. свидетелем и участником великих событий в истории России начала XVIII в....»

«В.С. Шкодзинский ПЕТРОЛОГИЯ ЛИТОСФЕРЫ И КИМБЕРЛИТОВ (МОДЕЛЬ ГОРЯЧЕЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ АККРЕЦИИ ЗЕМЛИ) Ответственный редактор В.В. Бескрованов, д. г.-м. н., профессор Якутск, 2014 УДК 552.311:552.323 ББК 26.321.11 Шкодзинский В.С. Петрология литосферы и кимберлитов (модель горячей гетерогенной аккреции Земли). Якутск: Издательский дом СВФУ. 2014. 452 с. Приведены геологические и планетологические доказательства горячей гетерогенной аккреции Земли. На их основе разработана принципиально новая...»

«Дорогие друзья! В последние годы Алтайский край демонстрирует устойчивое развитие в сфере рекреации, предлагая уникальный туристический продукт. Природа Алтая подарила нам бескрайние равнины, горы, поднимающиеся до 2,5 тыс. метров, многочисленные озера и реки. По числу объектов культурного наследия регион занимает одно из первых мест в Сибири. Алтайский край – прекрасное место для тех, чье сердце переполняет любовь к первозданной красоте, нехоженым тропам, неизученным пещерам, тайнам хвойных...»

«Книга Пророка Ионы Джеймс Нокс Содержание Предисловие Глава Первая Глава Вторая Глава Третья Глава Четвертая Приложение А: Что Стало с Ионой? Приложение В: Немного о Китах Приложение С: Могло ли Это Произойти на Самом Деле? Приложение D: Бог Небесный Приложение Е: Заключение 2 Предисловие Мой сын, Ганнибал, станет великим полководцем, потому что он – самый послушный из всех моих воинов. ГАМИЛЬКАР Сегодня в мире можно найти мало людей, которые бы не слышали об Ионе и ките. И все же, существует...»

«ИЗУЧЕНИЕ ИСТОРИКО-КУЛЬТУРНОГО НАСЛЕДИЯ НАРОДОВ ЮЖНОЙ СИБИРИ Горно-Алтайск 2005 ББК 63.4 Изучение историко-культурного наследия народов Южной Сибири. Сборник научных трудов / Под ред. В.И.Соёнова, В.П.Ойношева. Горно-Алтайск: АКИН, 2005. 182 с. © В.И.СОЁНОВ, составление, оформление, макет, 2005 3 Чевалков Л.М. (г.Горно-Алтайск) АРХЕОЛОГИЧЕСКИЕ ПАМЯТНИКИ ДОЛИНЫ РЕКИ СЕМА Через долину реки Сема проходит Чуйский тракт, соединяющий Россию с Монголией – трасса весьма оживленная. Тем не менее, этот...»

«КОЧЕВАЯ АЛЬТЕРНАТИВА СОЦИАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ Москва 2002 Серия “Цивилизационное измерение” Том 6 Редколлегия серии: И.В. Следзевский (главный редактор), Д.М. Бондаренко, Н.А. Ксенофонтова, А.М. Васильев Ответственные редакторы тома: д.и.н. Н. Н. Крадин д.и.н. Д. М. Бондаренко Книга написана антропологами, историками и археологами, специализирующимися в области кочевниковедения и посвящена различным аспектам одной проблемы: каким образом небольшие кочевые народы, населявшие окраины земледельческих...»

«Николай Михайлович Верзилин По следам Робинзона Сканирование и обработка книги — Сарбин М. А. http://www.scoutfire.ru Верзилин Н. М. По следам Робинзона: Народная асвета; 1982 Аннотация Автор знакомит читателей с удивительным миром растений и с наукой, раскрывающей их жизнь и роль в истории человеческой культуры. Используя легенды, опыт и знания о растениях с древних времен, ученый-популяризатор ведет интереснейший рассказ о происхождении и свойствах растений, дает советы по их применению....»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.