WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 85 | 86 || 88 | 89 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 87 ] --

Мы видим, что здесь момент порождения, связывающий множество с порождаемым им числом, заключается в образовании сумм. Но следует подчеркнуть как существенное то, что здесь оперируют только суммированием всегда конечного количества рациональных элементов, а не полагается заранее, например, что определяемое число b равно сумме a бесконечного ряда (a ). В этом заключалась бы логическая ошибка, ибо, скорее, определение суммы a получается только путём приравнивания её непременно уже определённому заранее готовому числу b. Я думаю, что эта логическая ошибка, которой впервые избегнул Вейерштрасс, совершалась почти всеми и не была замечена лишь потому, что она относится к тем редким случаям, когда действительная ошибка не может причинить большого вреда в исчислении. Несмотря на это, с вышеуказанной ошибкой связаны, по моему мнению, все те трудности, которые заключаются в понятии иррационального, между тем как если избегнуть этой ошибки, то иррациональное число занимает место в нашем духе с такой же определённостью, ясностью и отчётливостью, как и рациональное число.

В форме определения г-на Дедекинда в основу кладётся совокупность всех рациональных чисел, но разделённых на две группы таким образом, что если мы обозначим числа первой группы U, а числа второй группы через Bµ, то всегда U Bµ. Подобное деление множества рациональных чисел г-н Дедекинд называет его “сечением”, обозначает через (U |Bµ ) и сопоставляет ему число b. Если сравнить два подобных сечения (U |Bµ ) и U Bµ друг с другом, то, как и при первой форме определения оказывается всего три возможности, соответственно которым представленные обоими сечениями числа b и b или приравниваются друг к другу, или принимается, что b b или b b. Первый случай имеет место, – если отвлечься от некоторых, легко регулируемых исключений, возникающих при рациональности определяемых чисел, – лишь при полном тождестве обоих сечений. В этом наблюдается решительное и безусловное преимущество данной форму определения по сравнению с обеими другими, а именно то, что каждому числу b соответствует лишь единственное сечение. Но она сопровождается и тем крупным недостатком, что числа в анализе никогда не представляются в форме “сечений”, в которую их приходится лишь вписывать весьма искусственным и сложным образом.

И здесь затем следуют определения в виде суммы b + b и произведения bb на основе новых сечений, получаемых из двух заданных.

Недостаток, связанный с первой и третьей формами определения, а именно, что здесь одни и те же, т.е. равные числа, представляются бесконечно часто, и что, таким образом, не получаГлава 4. История и философия математики и математического образования ется непосредственно однозначного обозрения всех действительных чисел, можно весьма легко устранить путём специализации положенных в основу множеств (a ), если привлечь к рассмотрению какую-либо из известных однозначных систем, вроде десятичной системы или разложения в простые цепные дроби.

Перейду теперь к третьей форме определения действительных чисел. И здесь в основу кладётся бесконечное множество рациональных чисел (a ) первой мощности, но теперь ему приписывается другое свойство, чем в теории Вейерштрасса, а именно: я требую, чтобы взяв произвольно малое рациональное число, можно было бы так удалить конечное число членов множества, чтобы оставшиеся имели попарно разность, которая по абсолютной величине меньше. Всякое такое множество (a ), которое можно также охарактеризовать равенством Lim (a + µ a ) = 0 (при произвольном µ), я называю фундаментальной последовательностью и сопоставляю ему некоторое определяемое им число b, для которого целесообразно даже воспользоваться самим знаком (a ), как это сделано у г-на Гейне, который в этих вопросах после многих устных обсуждений присоединился к моим взглядам (См. Журнал Крелле, т.74, с. 172). Подобная фундаментальная последовательность, как можно строго вывести из её понятия, приводит к трём случаям:

или её члены a для достаточно больших значений по абсолютной величине меньше, чем любое наперёд заданное число; или они начиная с некоторого больше определённо заданного положительного рационального числа, или же они начиная с известного меньше некоторой определённо заданной отрицательной рациональной величины. В первом случае я говорю, что b равно нулю, во втором, что b больше нуля или положительно, в третьем, что b меньше нуля или отрицательно.

Затем переходим к элементарным операциям – сумма, произведение, частное, в том числе и между рациональным a и иррациональным числом.

Лишь теперь мы переходим к определению равенства и обоих случаев неравенства двух чисел b и b (из которых b может также равняться a), говоря при этом b = b, b b или b b в зависимости от того, равна ли нулю, больше нуля или меньше нуля разность b b.

После всех этих подготовительных рассуждений получается в качестве первой строго доказуемой теоремы, что если b есть число, определяемое фундаментальной последовательностью (a ), то b a при возрастании становится по абсолютной величине меньше, чем любое мыслимое рациональное число, или иначе, что Lim a = b.

Следует обратить внимание на следующий кардинальный пункт, значение которого легко пропустить: в случае третьей формы определения число b не определяется вовсе как “предел” членов a фундаментальной последовательности (a ). Принять это значит совершить такую же логическую ошибку, как та, о которой мы говорили при рассмотрении первой формы определения, и именно на том основании, что тогда предполагается наперёд существование предела Lim a = b.



Скорее, дело обстоит обратным образом, а именно так, что благодаря нашим предыдущим определениям понятию числа b приписываются такие свойства и отношения к рациональным числам, что отсюда можно с логической очевидностью вывести заключение: Lim a существует и равен b. Да простят мне все эти подробности, которые оправдываются тем, что большинство проходят мимо этих неприметных деталей и затем легко натыкаются на противоречия в иррациональных числах, ставя их под сомнения, между тем как соблюдение указанных здесь предосторожностей легко предохранило бы их от этого. Действительно, они тогда ясно поняли бы, что иррациональное число благодаря приданным ему нашим определением свойствам является такой же реальностью для нашего духа [Кантор, с. 84-85], как рациональное и даже как целое рациональное число, и что вовсе нет нужды получать его путём предельного процесса, а что, скорее, наоборот, располагая этими свойствами, можно общим образом убедиться в пригодности и очевидности предельных процессов. Ведь приведённую выше теорему легко обобщить следующим образом: если (b ) представляет собой какое-нибудь множество рациональных или иррациональных чисел, обладающее тем свойством, что lim (b + µ b ) = 0 (каково бы ни было µ), то существует некоторое число b, определяемое фундаментальной последовательностью (a ), и такое, что Lim b = b.

Синкевич Г.И. Понятие непрерывности у Дедекинда и Кантора Оказывается, следовательно, что те самые числа b, которые были определены на основании фундаментальных последовательностей (a ) (я называю эти фундаментальные последовательности последовательностями первого порядка) таким образом, что они оказываются пределами a, могут быть представлены различными способами и как пределы последовательностей (b ), где каждое b определяется с помощью фундаментальной последовательности первого порядка (с фиксированным ) [6, с. 85].

Поэтому любое подобное множество (b ), если оно обладает тем свойством, что lim (b+µ b ) = 0 (при произвольном µ), я называю фундаментальной последовательностью второго порядка.

Точно так же можно образовать фундаментальные последовательности третьего, четвёртого,..., n-го порядка, а также фундаментальные последовательности порядка, где – любое число второго числового класса.

Все эти фундаментальные последовательности дают для определения какого-либо действительного числа b то же самое, что и фундаментальные последовательности первого порядка. Всё различие заключается лишь в более сложной, пространной форме задания (... ).

[6, c. 85] Я пользуюсь теперь следующим способом выражения: числовая величина b дана фундаментальной последовательностью n-го, соответственно, -го порядка. Если решиться на это, то мы получаем таким путём необыкновенно лёгкий и в то же время понятный язык, чтобы описать наиболее простым и выпуклым образом всю полноту многообразных, часто столь сложных образований анализа. Благодаря этому получится, на мой взгляд, серьёзный выигрыш в ясности и прозрачности изложения. Тем самым я возражаю против опасений, высказанных г. Дедекиндом в предисловии к его сочинению “Непрерывность и иррациональные числа”. Мне вовсе не приходило в голову вводить с помощью фундаментальных последовательностей второго, третьего и т.д. [6, c. 86] порядков новые числа, которые не были бы определены уже с помощью фундаментальных последовательностей первого порядка: я имел в виду лишь понятийно различную форму задания.

Это ясно вытекает из различных мест моей работы.

Я хотел бы здесь обратить внимание на одно замечательное обстоятельство, а именно, что порядки фундаментальных последовательностей, различаемые мною с помощью чисел первого и второго числового классов, совершенно исчерпывают все мыслимые в анализе, уже найденные и не найденные формы обычных типов последовательностей, исчерпывают в том смысле, что нет вовсе фундаментальных последовательностей, - как я это строго докажу при других обстоятельствах, - порядковое число которых можно было бы обозначить каким-нибудь числом, например, третьего числового класса.

Вейерштрасс.

В 1886 году Вейерштрасс читал дополнительные лекции к теории аналитических функций [15], посвящённые обоснованию понятия числа, в которых дал попытку критического анализа и обобщения введённых Кантором, Гейне и Дедекиндом математиками понятия числа и непрерывности. Он обращается к теореме Больцано (теореме о корневом интервале) и доказывает её, избегая геометрических и физических представлений. Обобщение Вейерштрассом концепций Кантора и Дедекинда потребовало анализа понятий окрестности и точной верхней границы, и привело к формированию свойств метрического и топологического пространства, что было формализовано лишь в 1904-1906 годах М.Фреше и в 1912-1914 годах Ф. Хаусдорфом.

1. Eminger, S. Moritz Abraham Stern [Текст]/ S. Eminger. http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Stern.html 2. James, I. From Euler to von Neumann [Текст]/ I. James. – Cambridge University Press. – 2002. – P. 195-198.

3. Landau, E. Richard Dedekind [Текст]/ E. Landau. Nachrichten von der K. Gesellsch. Der Wiss.

Zu Gottingen. Gesch. Mitt. Aus dem Jahre 1917. S. 50-70.

322 Глава 4. История и философия математики и математического образования 4. Lejeune Dirichlet, P. Vorlesungen uber Zachlentheorie. Heraugegeben von R. Dedekind [Текст]/ P. Lejeune Dirichlet. – Braunschweig. – 1863, 1871, 1879, 1894. – 414 s.

5. Edwards, H.M. Dedekind’s invention of ideals [Текст]/ H.M. Edwards// Bull. London Math. Soc.

15, 1983. – P. 8-17.

6. Кантор, Г. Труды по теории множеств [Текст]/ Г. Кантор. – М., 1985. – 485 с.

7. Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? [Текст]/ R. Dedekind. – Braunschweig. – 1888, в русском переводе Казань, 1905.

8. Peano, G. Arithmetices principia, nova method exposita [Текст]/ G. Peano. – Romae. – 1889. – XVI+20 p.

9. Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа [Текст]/ Р. Дедекинд; пер. С.О. Шатуновского; 4-е исправ. издание. – Одесса: Матезис, 1923. – С. 10-11.



Pages:     | 1 |   ...   | 85 | 86 || 88 | 89 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«ОРСК ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Южно-Уральское книжное издательство. Челябинск 1968 Посмотрите на карту Урала - величественной горной страны, разделяющей Европу и Азию. В южной его части, где хребты и ущелья сменяются мягко очерченными отрогами и полноводная по весне Орь сливается с неторопливым Уралом, раскинулся город Орск. Этот широтный участок, собственно говоря, и ограничивает район Урала с юга, где начинаются раздольные степи Казахстана. Такое географическое расположение Орска на многие...»

«Н.В. Пиотух, А.А. Фролов Электронный историко географический атлас Деревской пятины* Создание электронного историко географического атласа Дерев ской пятины ставит целью локализацию исторических поселений, за фиксированных писцовыми книгами Деревской пятины письма 1495/ 96 гг. Однако методика создания подобного атласа, а именно о ней пой дет речь в данной статье, такова, что карты и атрибутивные материалы, полученные в ходе осуществления проекта, оказались хронологически гораздо шире и...»

«АУКЦИОН № 15 РЕДКИЕ АНТИКВАРНЫЕ КНИГИ, РУКОПИСИ И АВТОГРАФЫ 23 мая 2013 года, 19:00 Москва, Никитский пер., д. 4а, стр. 1 · 1 МОСКВА, 23 МАЯ 2013 Предаукционный показ с 17 по 22 мая 2013 года (с 10:00 до 20:00, кроме понедельника) по адресу: Москва, Никитский пер., д. 4а, стр. 1 (м. Охотный ряд) Справки, заказ печатных каталогов, телефонные и заочные ставки по тел.: (495) 926 4114, (985) 969 7745 или по электронной почте: knigoved@yandex.ru Интернет каталог www.vnikitskom.ru или...»

«В этнографической литературе, посвященной Нагорному Дагестану, укоренилось представление о том, что местные общества издавна являлись эгалитарными. В отличие от феодальных образований равнинного Дагестана (владений Тарковских/Казикумухских шамхалов, Аварских нуцалов, Кайтагских уцмиев, Табасаранских майсумов и кади и проч.) сельские общины-джамааты (от араб. джама‘а) горцев рисовались ученым XIX в. начиная с С.М. Броневского как патриархальные “демократические республики” средневековья....»

«Захария Ситчин Лестница в небо. В поисках бессмертия Захария Ситчин Тысячелетиями люди верили в сверхъестественную природу богов, приписывая им способность жить вечно, и сами стремились достичь божественного бессмертия. В поисках цветка вечной жизни странствовал шумерский царь Гильгамеш, легендарный завоеватель Александр Македонский искал ручей живой воды, мореплаватели Христофор Колумб и ПонсадеЛеон проявили чудеса отваги, пытаясь обнаружить вЗападном полушарии Источник Молодости. Понемногу...»

«ПРЕДИСЛОВИЕ 1 Эта книга была написана в 1918—1919 гг. Впервые ее издали в виде иллюстрированных отрывков, затем, после тщательной проверки и доработки, они вышли отдельным изданием в 1920 г. Немало причин побудило автора предпринять в 1918 г. попытку осмыслить ход мировой истории. Это был последний, самый изматывающий год мировой войны, год окончательно го крушения иллюзий. Люди не могли понять: стали ли они свидетелями крушения цивили зации или война знаменовала рождение нового общества. В...»

« СОВЕТ ДЕПУТАТОВ ГОРОДА НОВОСИБИРСКА РЕШЕНИЕ От 26.06.2008 г. Новосибирск № 991 О внесении изменений в решение городского Совета Новосибирска от 30.11.95 № 100 О порядке наименования улиц, переулков, площадей и других муниципальных объектов в Новосибирске В связи с принятием Устава города Новосибирска, руководствуясь Федеральным законом Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации, статьями 27, 35 Устава города Новосибирска, Совет депутатов города Новосибирска...»

«УТВЕРЖДАЮ: Декан факультета географии и геоэкологии Е.Р.Хохлова 2012г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Экономическая и социальная география мира - часть 2 (4 курс, 7 семестр) (наименование дисциплины, курс) 020401.65 География (шифр, название направления подготовки, специальности) Форма обучения очная Обсуждено на заседании кафедры социаль- Составители: но-экономической географии и территориДоцент, к.г.н. Н.Ю. Сукманова ального планирования 2012 г. Ст.преподаватель И.М. Корпусов...»

«КТО ВОСПИТЫВАЕТ НАШИХ ДЕТЕЙ. В платной поликлинике на двери кабинета висела большая табличка, извещающая о том, что прием посетителей ведет доктор медицинских наук, специалист по детской психологии. На табличке были указаны фамилия, имя и отчество врача, которого рекомендовали мне, как одного из лучших научных светил по вопросам взаимоотношений детей с родителями. Я записался к нему на прием последним, чтобы не ограничивать себя и его во времени: если беседа окажется полезной, предложить врачу...»

«Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день Наталья Степанова 2 Книга Наталья Степанова. Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Наталья Степанова. Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Наталья Ивановна Степанова Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день 4 Книга Наталья...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.