WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 84 | 85 || 87 | 88 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 86 ] --

Он определяет вычисления с вещественными числами. При этом он доказывает теорему о непрерывности арифметических операций: “Если число есть результат вычислений, совершённых над числами,,,..., и если лежит внутри интервала L, то можно указать интервалы A, B, C (внутри которых лежат числа,,,... ) такого рода, что результат такого же вычисления, в котором, однако, числа,,,... заменены числами соответственных интервалов A, B, C,..., будет всегда представлять число, лежащее внутри интервала L” [9, с. 28]. Дедекинд сетует на трудность изложения этой теоремы, что облегчается с введением понятий переменных величин, функций и пределов. Заметим, что несмотря на то, что работа была написана в году, Дедекинд не пользуется уже разработанным аппаратом математического анализа, сделанным Вейерштрассом, в частности, его языком -. Понятие предела носит у него качественный оттенок. Дедекинд по существу использует только те аспекты непрерывности, которые нужны ему для обоснования понятия числа и арифметических операций над числами средствами теории множеств.

Дедекинд устанавливает зависимость введённых им понятий с основными положениями анализа бесконечных. Определение предела он даёт в таком виде: “Говорят, что переменная величина x, пробегающая последовательные определённые численные значения, приближается к постоянному пределу, если она в ходе процесса изменения окончательно заключается между каждыми двумя числами, между которыми само лежит, или, что то же, если разность x, взятая абсолютно, опускается ниже всякого данного значения, отличного от нуля” [9, с. 29].

Синкевич Г.И. Понятие непрерывности у Дедекинда и Кантора Дедекинд доказывает теорему: “Если величина x возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она приближается к некоторому пределу” [9, с. 29].

На этом заканчивается работа Дедекинда “Непрерывнось и иррациональные числа”. Как мы видим, определение понятий непрерывности и действительного числа безупречно с логической точки зрения, оно носит юридический оттенок, но представление об объёме и структуре понятия из него не следует. Математики, определив число таким способом, переходят в построениях к более рабочему определению числа Кантора.

Заметим, что одновременно вышедшая статья Гейне “Лекции по теории функций” [11] года содержала определение числа, данное Кантором, и незадолго до них во Франции вышла работа Шарля Мере с таким же построением [12], но оставшаяся не оценённой соотечественниками, а в Германии она осталась неизвестной из-за франко-прусской войны. Теперь французы говорят “определение действительного числа Мере-Кантора-Гейне”. Правда, Мере, определив иррациональные числа как пределы последовательностей рациональных чисел, на этом останавливается [13]. Гейне и Кантор идут дальше, образуя новые последовательности из иррациональных чисел, а Кантор строит производные множества.

Иррациональные числа у Кантора.

Сравним эту работу Дедекинда с чуть опередившей её упомянутой работой Кантора “Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов” [6, c. 9-18]. Здесь Кантор строит множество числовых величин, которое мы теперь называем действительными числами, дополняя множество рациональных чисел иррациональными, с помощью последовательностей рациональных чисел, названными им фундаментальными, то есть удовлетворяющих критерию Коши. Для них определяется отношение равно, больше, меньше.

Точно так же можно утверждать, говорит Кантор, что последовательность может находиться к рациональному числу a в одном из трёх отношений, что влечёт b = a, b a, b a. Отсюда в качестве следствия получается, что если b – предел последовательности, то b an становится бесконечно малой при возрастании n. Совокупность рациональных чисел Кантор называет областью A, совокупность всех числовых величин b называет B. На взятые вместе области A и B можно распространить применяемые конечное число раз числовые операции, принятые для рациональных чисел (сложение, вычитание, умножение, деление, если делитель ненулевой). Тогда область A (рациональных чисел) получается из области B (иррациональных чисел) и вместе с ней образует новую область C. А именно, если задана числовая последовательность чисел b1, b2,..., bn,...

числовых величин из A и B, не все из которых принадлежат области A, и если эта последовательность обладает тем свойством, что bn + m bn становится бесконечно малой при возрастании n и любом m, то об этой последовательности говорят, что она имеет определённый предел c.

Числовые величины c образуют область C. Отношения равенства, больше, меньше и элементарные операции определяются аналогично предыдущим случаям. Но даже установленное равенство двух величин b и b из B не влечёт их идентичности, а лишь выражает некоторое определённое отношение между последовательностями, которым они сопоставляются.

Из области C и предшествующих ей аналогично получается область D, из всех их – область E и т.д.; посредством таких переходов получается область L. Понятие числа, как оно развито здесь, несёт в себе зародыш необходимого и абсолютно бесконечного обобщения. Числовая величина, значение и предел Кантор употребляет как равнозначные. Для сравнения с этим параграфом Кантор ссылается на X книгу “Начал” Евклида1.

Далее Кантор рассматривает точки на прямой, определяя расстояние между ними как предел последовательности, и вводя отношения больше, меньше и равно. Он вводит аксиому, что, и обратно, каждой числовой величине соответствует точка прямой, координата которой равна этой числовой величине и притом равна в том смысле, который объяснён в этом параграфе. Кантор называет это утверждение аксиомой, так как оно недоказуемо по самой его природе. Благодаря ей числовые величины дополнительно приобретают определённую предметность, от которой они, однако, совершенно не зависят.



В X книге “Начал” представлена классификация несоизмеримых величин.

318 Глава 4. История и философия математики и математического образования В соответствии со сказанным выше Кантор рассматривает точку на прямой как определённую, если её расстояние от 0, рассматриваемое с определённым знаком, задано как числовая величина, значение, или предел -вида.

Далее Кантор определяет точечные множества или множества значений, и вводит понятие предельной точки1 точечного множества. Под окрестностью понимается любой интервал, содержащий эту точку внутри себя. Таким образом, вместе с точечным множеством задаётся и множество его предельных точек. Оно называется первым производным точечным множеством. Если оно состоит из бесконечного числа точек, из него можно образовать второе производное множество и так далее.

Введение понятия предельной точки (точки сгущения) было плодотворным. Его сразу же начали использовать другие математики – Г. Шварц, У. Дини [14].

Кантор о сравнении различных способов введения понятия числа и непрерывности.

28 апреля 1872 года, получив работу Дедекинда “Непрерывность и иррациональные числа, Кантор писал ему: “Искренне благодарю Вас за Вашу работу о непрерывности и иррациональных числах. Как я теперь смог убедиться, точка зрения, к которой я пришёл несколько лет тому назад, отправляясь от занятий арифметикой, фактически совпадает с Вашими взглядами; имеется различие лишь в способе введения числовых величин. Я вполне убеждён, что Вы правильно выявили сущность непрерывности” [6, c. 327].

Правда, в их последующей переписке содержится полемика о способе определения непрерывности, и в 1882 году Кантор пишет Дедекинду: “Я пытался обобщить Ваше понятие сечения и воспользоваться им для определения понятия континуума, но мне это не удалось. Напротив, мой исходный пункт – счётные “фундаментальные последовательности” (под ними я понимаю последовательности, элементы которых неограниченно сближаются друг с другом) – кажутся годящимися для этой попытки” [6, c. 356].

К 1878 году Кантор переходит от анализа точечных областей к понятию мощности, формулирует гипотезу континуума, рассматривает непрерывные отображения между множествами различной размерности. Тем острее он ощущает недостаточность определения непрерывности через сечение. В 1879 году он делает попытку использовать теорему о корневом интервале2 для доказательства невозможности непрерывного и двусторонне однозначного отображения между двумя различными многообразиями разных порядков3.

В 1883 году Кантор, анализируя различные формы введения числа, в цикле работ “Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном” §9, с. 81-87, писал: “Я хотел бы вкратце и построже сказать о трёх известных мне и в существенном однородных главных формах строго арифметического изложения учения об общих действительных числах. Это прежде всего способ введения, которым в течение ряда лет пользовался в своих лекциях об аналитических функциях профессор Вейерштрасс и некоторые намёки на которые можно найти в программной работе г-на Э. Коссака (Die Elemente der Arithmetik. Berlin 1872). Вовторых, г-н Р. Дедекинд в своём сочинении “Stetigkeit und irrationale Zahlen” (Braunschweig 1872) опубликовал своеобразную форму определения. В-третьих, в 1871 году я предложил (Math.

Ann. 1872, Bd. 5, S. 123) форму определения, внешне имеющую сходство с вейерштрассовской...

На мой взгляд, эта третья... является самой простой и естественной из всех и имеет ещё то преимущество, что она самым непосредственным образом приспособлена для аналитических вычислений” [6, c. 81].

Сейчас мы говорим “точка сгущения” - такая точка, в каждой окрестности которой содержится бесконечно много точек данного множества и может быть, и она сама.

Теорему, называемую ныне теоремой Больцано-Коши: непрерывная функция, имеющая разные знаки на краях интервала, внутри интервала достигает нулевого значения. Это утверждение впервые высказал Мишель Ролль в 1690 году применительно к алгебраическим уравнениям.

Эта попытка доказательства изложена Кантором в статье “Об одной теореме из теории непрерывных многообразий” (Ьber einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten, перевод Ф.А. Медведева) [6, с. 36-39].

Синкевич Г.И. Понятие непрерывности у Дедекинда и Кантора “Определению какого-либо иррационального действительного числа всегда соответствует строго определённое множество первой мощности рациональных чисел. В этом заключается общая черта всех форм определений. Различие же их состоит в моменте порождения, при помощи которого множество соединяется с определяемым им числом, и в тех условиях, которым должно удовлетворять множество, чтобы оно оказалось подходящей основой для соответствующего определения числа.

При первой форме определения в основу кладётся множество положительных рациональных чисел a, которое будет обозначаться (a ) и которое удовлетворяет тому условию, что, сколько бы и каких из этих a мы ни суммировали в конечном количестве, эта сумма всегда остаётся меньше некоторой заданной границы. Теперь если мы имеем две подобных совокупности (a ) и (a ), то строго доказывается, что могут представиться три случая: или каждая часть 1/n единицы всегда встречается одинаково часто в обеих совокупностях, если только их элементы суммируются в достаточном, доступном увеличению количестве, или 1/n, начиная с известного n, всегда содержится чаще в первой совокупности, чем во второй; или наконец, 1/n, начиная с известного n, всегда содержится чаще во второй совокупности, чем в первой. Соответственно этим случаям мы полагаем, обозначая через b и b, определяемые этими двумя совокупностями (a ) и (a ) числа, что в первом случае b = b, во втором b b, в третьем b b. Если мы соединим обе совокупности в одну новую совокупность (a + a ), то это даёт основу для определения b + b.

Если же из двух совокупностей (a ) и (a ) образовать новую совокупность (a a ), элементы которой являются произведениями из всех (a ) на все (a ), то эта новая совокупность принимается в качестве основы определения bb.



Pages:     | 1 |   ...   | 84 | 85 || 87 | 88 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«1 Предисловие автора В соответствии с принципами цикла библейских комментариев Concordia Commentary, этот комментарий на Книгу Руфь фундаментально основывается на исповедании того, что, — как это справедливо для всех канонических Писаний Святой Библии, — автор этой книги был вдохновлен Святым Духом, чтобы записать это Слово Бога, которое являет Его личность, волю и действие в данном конкретном случае. Народ Божий признал эту книгу как Святое Писание, действительное и авторитетное для веры и...»

«Фрэнк Беттджер Вчера неудачник — сегодня преуспевающий коммерсант Книга в увлекательной форме и на богатом фактическом материале рассказывает, как добиться успеха. Автор приводит поучительные примеры и дает подробные указания, как развить в себе стиль, дух и технику первоклассного коммерсанта. Книга адресована всем, кто хочет наиболее плодотворно работать в любой сфере деятельности и стать человеком, общение с которым доставляет людям радость. Для широкого круга читателей. Дейл Карнеги Что я...»

«Мир России. 2005. № 4 СОЦИОЛОГИЧЕСКАЯ РОССИЯ Социологическая одиссея в Сыктывкаре: очень субъективные заметки в.и. ильин Вместо введения: к вопросу о жанре заметок Я не историк социологии, и данный очерк представляет собой субъективный взгляд на одну из периферийных страниц отечественной социологии. В выражении субъективный взгляд содержится очевидная тавтология: каким еще может быть взгляд живого человека? Однако широкая распространенность методологически странной формулировки объективный...»

«А. А. Тиц. По окраинным землям Владимирским (Вязники, Мстера, Гороховец). Москва, Искусство, 1969 г. Деление на страницы сохранено. Номера страниц проставлены вверху страницы. (Как и в книге.) OCR и подготовку к html-публикации на сайте Русский город осуществил Дмитрий Камшилин. От автора Эта книга не о городах, которые вошли в золотой фонд сокровищ мировой культуры с его бесценными шедеврами древнерусского зодчества, нет, она посвящена относительно малоизвестным окраинным пунктам бывшего...»

«ТРОПОЮ ПАЛЛАСА Вячеслав Лоскутников МОУ Средняя общеобразовательная школа №38 с углубленным изучением немецкого языка г. Чита, Россия Забайкалье. Удивительный край, вобравший в себя всё многообразие природных красок планеты. Можно много рассказывать о его достопримечательностях. Я очень люблю свой край. Эту любовь мне привила моя семья. Зная историю своей семьи, мне хочется более основательно изучить историю своего края. Но, так как я учусь в школе с углубленным изучением немецкого языка, то...»

«ПРОСВЕТЫ и другие промежутки Представление: МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ НАУЧНЫЙ ШАМАНИЗМ (БЕЛАЯ ВЕТВЬ ПРОИЗВОДСТВА СУДЬБЫ) ПОЧЕМУ Московский потому, что такой есть только в москве, и чтобы пользоваться им в любом другом месте, прийдется вводить поправки на это место. Это несложно. Городской потому, что живу я здесь. Это моя родина и мои места силы и охоты. Научный потому, что пользуется объяснениями, которые хотя ничего и не объясняют, но их можно использовать практически. Шаманизм потому, что минимум...»

«Тулепберген Каипбергенов ДАСТАН О КАРАКАЛПАКАХ Трилогия Том 1 СКАЗАНИЕ О МАМАН-БИЕ Перевод с каракалпакского А. Пантиелева и З. Кедриной Действие романа Т.Каипбергенова Дастан о каракалпаках разворачивается в середине второй половины XVIII века, когда каракалпаки, разделенные между собой на враждующие роды и племена, подверглись опустошительным набегам войск джунгарского, казахского и хивинского ханов. Свое спасение каракалпаки видели в присоединении к России. Осуществить этот план взялся...»

«ЗЕЙНАЛОВ Х. Азербайджанский Государственный Университет Культуры и Искусств Б.В. ВЕЙМАРН И ТВОРЧЕСТВО ПЕТРА САБСАЯ Summary In article it is spoken about research by the Russian critic B.V.Veymarn of creativity of the Azerbaijan sculptor Pyotr Sabsay, one of founders of monumental art in republic. Article is written in a view of studying history of AzerbaijaniRussian cultural and scientific mutual relations. The author emphasizes, Veymarn’s works, devoted to art of Azerbaijan, take the important...»

«ПАТРИАРХ РОССИЙСКОЙ ПСИХОЛОГИИ Москва, Ярославль, 2010 2 Институт Психологии Российской Академии Наук Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова Международная Академия Психологических Наук ПАТРИАРХ РОССИЙСКОЙ ПСИХОЛОГИИ (Краткий справочник результатов творческой, научной и учебной деятельности профессора Ярославского государственного университета В.В. Новикова) Москва, Ярославль, 2010 3 УДК 159.98 ББК 88.4 К592 Козлов В.В. Патриарх российской психологии. Краткий справочник...»

«М. Олесницкий Нравственное богословие © Сканирование и создание электронного варианта: Библиотека Киевской Духовной Академии (www.lib.kdais.kiev.ua) Киев 2012 Нравственное Богословие Профессор Киевской Духовной Академии Доктор Богословия М. Олесницкий, 4-е издание, С-Петербург 1907 г. Содержание: Введение. Понятие о нравственности и Нравственном Богословии; идея блага. Вера и нравственность. Отношение между нравственным и догматическим Богословием. Отношение Нравственного Богословия к...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.