WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 83 | 84 || 86 | 87 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 85 ] --

В 1871 году Дедекинд, обобщив теорию многочленов и алгебраических чисел, вводит в математику абстрактные алгебраические структуры: кольца, идеалы и модули. Совместно с Л. Кронекером он создаёт общую теорию делимости. Исследования Дедекинда были изданы в виде прилоГлава 4. История и философия математики и математического образования жения к “Теории чисел” Дирихле 1863 года [4], и перерабатывались им в последующих изданиях.

Биограф Дедекинда Эдвардс (H.M. Edwards) полагает, что посмертное издание лекций по теории чисел Дирихле в действительности написано Дедекиндом [5]. Сам Дедекинд в письме Кантору 19 января 1879 года писал: “Я полностью занят переработкой теории чисел Дирихле1 ” [6]. Можно лишь сожалеть, что русский перевод лекций Дирихле по теории чисел не содержит знаменитого XI Дополнения, написанного Дедекиндом, в котором находится теория идеалов.

Дальнейшее развитие оснований высшей алгебры во многом обязано открытиям Дедекинда.

В течение всей его жизни его отличала большая научная порядочность и деликатность. Он принимал участие в изданиях Гаусса, Римана (1868 год, “О представлении функций при помощи тригонометрических рядов” и “О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии”, а в 1876 году вместе с Вебером издал сочинения Римана, написав большой биографический очерк), Дирихле, и считал этот труд более важным, нежели публикацию собственных результатов.

В начале 1870-х годов Дедекинд знакомится с Георгом Кантором. Знакомство перешло в долголетнюю дружбу и сотрудничество; их отношения сопровождал горячий интерес, увлечённость теорией множеств, иногда раздражение, отчуждение и прекращение переписки. Оба они любили проводить лето в горах Германии и Швейцарии, где и познакомились. Бурное желание двадцатисемилетнего Кантора найти понимающего собеседника и советчика развеяло сомнения Дедекинда в важности его собственных размышлений о построении теории числа средствами теории множеств. Наряду с Кантором Дедекинд считается основателем теории множеств. Многие его работы стали наглядным примером применения новых методов. Дедекинд применил аксиоматический метод построения системы натуральных чисел в 1888 году в работе “Что такое числа и для чего они служат?” [7].

Он вводит основные операции над множествами (включение, пересечение, сумма) в том объёме, которые нужны ему для операций над множеством алгебраических чисел, обобщает понятие отображения, вводит понятие цепи. Система аксиом арифметики, сформулированная здесь Дедекиндом для натуральных чисел, год спустя была развита и упрощена Дж. Пеано (1858-1932), чьё имя за ней и закрепилось [8], но ещё до него Дедекинд показал, как основные теоремы арифметики получаются из его аксиом.

В начале XX века аксиоматический метод был окончательно принят школой Гильберта как основополагающий в математике.

Определение числа, данное Дедекиндом, включено в курсы современного математического анализа.

Непрерывность и число у Дедекинда.

В период работы профессором в Политехнической школе Цюриха Дедекинд читал курс математического анализа, и, как он сам замечает, ощутил недостаток в научном обосновании арифметики. Геометрическая интерпретация приближения переменной величины к пределу не могла быть строго научной, хотя и удобна в преподавании. Дедекинд поставил себе целью дать чисто арифметическое определение непрерывности, которое будет достаточным основанием анализа бесконечно малых. Как пишет сам Дедекинд: “Это мне удалось 24 ноября 1858 года, и несколько дней спустя я сообщил результаты своих размышлений моему дорогому другу Dur`ge‘у, что повело к продолжительной и оживлённой беседе2. Впоследствии я излагал эти мысли о научном обосновании арифметики то одному, то другому из моих учеников, читал об этом предмете доклад в учёном обществе профессоров здесь, в Брауншвейге, но я не мог окончательно решиться на действительное опубликование, потому, во-первых, что изложение представляется нелёгким, и потому ещё, что самый предмет так мало плодовит. Несколько дней назад, 14 марта [1872 года], в то время как я наполовину стал уже подумывать, чтобы избрать эту тему предметом настоящего Имеется в виду работа Дедекинда над третьим изданием лекций Дирихле, которой он объединяет свои дополнения.

Дюрег Генрих (1821-1893), немецкий математик, работал вместе с Дедекиндом в Цюрихе. Автор работ по теории функций комплексной переменной и эллиптическим функциям.

Синкевич Г.И. Понятие непрерывности у Дедекинда и Кантора юбилейного сочинения1, ко мне в руки попала, благодаря любезности её автора, статья E. Heine (Crelle Journal, Bd. 74)2, которая и подкрепила меня в моём решении. По существу, я вполне согласен с содержанием этого сочинения, но должен откровенно сознаться, что моё изложение кажется мне более простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса. В то время как я писал это предисловие (20 марта 1872 года), я получил интересную статью “Ueber die Ausdehnung eines Satzes der Theorie der trigonometrischen Reichen” G.Cantor‘a (Mathem. Annalen von Clebsch und Neumann, Bd. 5), за которую высказываю искреннюю благодарность остроумному автору. Как мне кажется при быстром чтении, аксиома3 в §2 вполне согласуется, независимо от внешней формы изложения, с тем, что я отмечаю ниже в §3, как сущность непрерывности4.

Какую же пользу представит выделение, хотя бы только в понятии, вещественных чисел ещё более высокого порядка, я, согласно с моим пониманием системы вещественных чисел, как совершенной в самой себе, ещё признать не в состоянии5 ” [9].



Дедекинд рассматривает свойства равенства, упорядоченности, плотности множества рациональных чисел R, (числового корпуса, термин, который ввёл Дедекинд в дополнениях к изданным им лекциям Дирихле). При этом он старается избегать геометрических представлений. Определив отношение “больше” и “меньше”, Дедекинд утверждает его транзитивность; существование между двумя различными числами бесконечного множества других чисел; а также для любого числа разбиение множества рациональных чисел на два бесконечных класса, таких, что числа одного из них меньше данного, и другого, числа которого больше данного числа; причём само число, производящее это разбиение, может быть отнесено как к одному, так и к другому классу, и тогда оно будет либо наибольшим для первого, либо наименьшим для второго класса.

После этого Дедекинд рассматривает точки на прямой линии и устанавливает для них те же свойства, что и только что установленные для рациональных чисел, постулируя, что каждому рациональному числу соответствует точка на прямой линии.

Но на прямой есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу, например, величина диагонали квадрата с единичной стороной. Отсюда следует необходимость арифметическим путём дополнить множество рациональных чисел, чтобы область новых чисел обрела такую же полноту или непрерывность, что и прямая. Ранее понятие иррациональных чисел было связано с измерением протяженных величин, то есть с геометрическими представлениями. Дедекинд стремится ввести новое понятие чисто арифметическими средствами, то есть определить иррациональные числа посредством рациональных чисел:

“Предыдущее сравнение области R рациональных чисел с прямой привело к открытию в первой изъянов, неполноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность. В чём же собственно состоит непрерывность? Всё и заключается в ответе на этот вопрос, и только в этом ответе мы приобретаем научное основание для исследования всех непрерывных областей. Смутными разговорами о непрерывной связи малейших частиц, конечно, многого не достигнешь. Дело идёт о том, чтобы дать точный признак непрерывности, который мог бы служить базисом действительных дедукций. Долгое время я напрасно об этом думал, но, наконец, нашёл искомое. Разные лица, вероятно, оценят эту находку Автор выпустил это сочинение к юбилею своего отца. – Примечание С.О. Шатуновского [9]. Юлиус Левин Ульрих Дедекинд (1795-1872) был профессором-юристом, историком и чиновником в Коллегиум Каролинум, как до 1862 года называлась Высшая техническая школа в Брауншвейге.

В этой статье “Лекции по теории функций” Э. Гейне вводит понятие непрерывности с помощью фундаментальных последовательностей, используя, как он сам признаёт, некоторые результаты Г. Кантора.

“Каждой числовой величине соответствует определённая точка прямой, координата которой равна этой числовой величине и притом равна в том смысле, который объяснён в указанном параграфе, и обратно” [6, c. 13].

“Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска” [9, c. 17].

Дедекинд имеет в виду понятие предельной точки и производного множества, определяемого Кантором в работе 1872 года.

316 Глава 4. История и философия математики и математического образования различно, но всё же я думаю, что большинство найдёт её содержание весьма тривиальным. Оно состоит в следующем: в предыдущих параграфах обращено было внимание на то, что каждая точка p прямой производит разложение прямой на две части таким образом, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой. Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, т.е. в следующем: “Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, - это рассечение прямой на два фрагмента. Если система всех действительных чисел распадается на два класса такого рода, что каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса, то существует одно и только одно число, производящее это разложение” [9, c. 17-18].

Это свойство прямой Дедекинд называет аксиомой, принимая которую, мы придаём прямой непрерывность. Причём Дедекинд утверждает, что это наш мысленный акт, который производится независимо от того, является ли реальное пространство непрерывным или разрывным, это мысленное заполнение новыми точками не влияет на реальное бытие пространства.

Далее Дедекинд переходит к построению иррациональных чисел. Он называет сечением деление множества рациональных чисел любым числом, обращая внимание на то, что либо в одном классе есть наибольшее, либо в другом классе есть наименьшее, и обратно, если сечение обладает этим свойством, то оно производится либо наименьшим, либо наибольшим числом. В то же время существует бесконечно много сечений, которые не могут быть произведены рациональным числом. Например, если D есть целое число, не являющееся квадратным, то существует целое положительное число, такое, что 2 D ( + 1)2. Таким образом получается, что в одном классе нет наибольшего, а в другом классе нет наименьшего числа, производящего это сечение, в чём и состоит неполнота, или разрывность области рациональных чисел. В таком случае, если сечение не может быть произведено рациональным числом, создадим новое, иррациональное число, которое создаёт это сечение. Каждому определённому сечению соответствует одно и только одно рациональное или иррациональное число. Два числа неравны, если они соответствуют различным сечениям. Между ними можно определить отношения “больше” или “меньше”.

Дедекинд рассматривает непрерывность области R вещественных чисел: “Область R обладает ещё и непрерывностью, то есть имеет место следующее предложение: Если система R всех действительных чисел распадается на два класса a1 и a2 такого рода, что каждое число 1 класса a1, меньше каждого числа 2 класса a2, то существует одно и только одно число, производящее это разложение” [9, с. 25].



Pages:     | 1 |   ...   | 83 | 84 || 86 | 87 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Утверждаю: Декан ф-та доц. Логунов М.Л. 24__09_ 2013 г. Рабочая программа дисциплины Б3.В.ОД.2.2 – Книговедение 2 курс (наименование дисциплины, курс) 035000 – Издательское дело направление подготовки Книгоиздательское дело профиль подготовки Квалификация (степень выпускника) Бакалавр Форма обучения Очная Обсуждено на заседании кафедры Составитель: 23 09 2013 г. кандидат исторических наук, Протокол № 1 доцент Кирьянова Е.Г. Зав. кафедрой Доктор филологических наук, проф. Редькин В.А. Тверь 2013...»

«Пред исло вие 24 августа 2011 года исполнилось двадцатилетие провозглашения независимости  Украины.  К  сожалению,  это  двадцатилетие  стало  временем  специфической  гуманитарной  полтики,  направленный  на  разрыв  общей  с Росией истории и духовного пространства. Одной из главных жертв этой  политики стала Русская Православная Церковь. В этом контексте закономерно, что в книге отмечается особенная роль известного иерарха Русской  Православной  Церкви,  постоянного  члена  Ее  Священного ...»

«О. Ю. Елина Сельскохозяйственные опытные станции в начале 1920-х гг. : Советский вариант реформы * Историки по-разному оценивают ситуацию в науке в первые годы после революции, и, прежде всего, во время НЭПа. Одни говорят о мягкой линии государства, предполагавшей значительную автономию науки. Другие находят в событиях тех лет приметы перестройки культурной жизни, которая в некоторых областях оказалась гораздо более жесткой, чем грядущая культурная революция. Именно к этому периоду относят они...»

«СТАЛИНСКИЙ ПОРЯДОК (РАЗОБЛАЧАЯ АНТИСТАЛИНСКИЕ МИФЫ) Сигизмунд С. Миронин Содержание Введение Глава 1. Вождь и геополитика. Глава 2. Миф о Голодоморе 1933 года. Глава 3. Миф о Большом терроре 1937–1938 года. Глава 4. Миф о послевоенных гонениях на военноначальников. Глава 5. Миф о геноциде переселенных народов. Глава 6. Миф о роли Сталина в югославском инциденте в 1948 году. Глава 7. Миф о сталинском антисемитизме (дела ОЕК и врачей). Глава 8. Миф о Ленинградском деле. Глава 9. Миф о разгроме...»

«1. История науки. Предмет экология Экология – это наука о взаимоотношениях живых организмов друг с другом и с окружающей их неорганической средой, о связях в надорганизменных системах, о структуре и функционировании этих систем. Термин экология был впервые введен немецким биологом Эрнстом Геккелем в 1869 году; он образован из двух греческих слов: oikos, что значит дом или жилище, и logos – изучение или наука. В трудах Всеобщая морфология организмов и Естественная история миротворения Геккель...»

«ГЕРОДОТОВА СКИФИЯ ИСТОРИКО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ М., Издательство Наука, 1979. — 242 с. АНОНС В книге анализируются данные греческого географа и историка Геродота (V в. до н.э.) о племенах, живших в Восточной Европе в I тысячелетии до н.э. На основе новейших археологических данных известный советский ученый академик Б.А.Рыбаков подтверждает достоверность сообщений Геродота или их пересматривает, устанавливает маршрут путешествия греческого географа, раскрывает содержание легенд, записанных...»

«ФАЗИЛЬ ОСМАНОВ ИСТОРИЯ И КУЛЬТУРА КАВКАЗСКОЙ АЛБАНИИ IV в. до н.э. - III в. н.э. (на основании археологических материалов) Баку – 2006 1 Рекомендовано к печати Учёным Советом Института истории имени А.А. Бакиханова НАН Азербайдлсана Научный редактор: к.и.н. Р.С.Меликов Рецензент: д.и.н. К.Г.Алиев к.и.н. Г.Дж. Джабиев 073 Османов Ф.Л. История и культура Кавказской Албании IV в. до н.э. - III в. н.э. (на основании археологических материалов). Баку, Тахсил, 2006, 288 стр. Монография посвящена...»

«Н.Н. Крадин Империя Хунну Издание 2-е, переработанное и дополненное Москва • Логос • 2001 УДК 930 85 ББК63 3( 5) К78 Крадин Н.Н. К78 Империя Хунну. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Логос, 2001. -312 с. ISBN 5-94010-124-0 Книга представляет собой значительно переработанное издание монографии 1996 г, посвященной первой кочевой империи в истории Центральной Азии Империи Хунну (209 г до н. э. -48 г н. э.) Как и почему хунну (азиатские гунны) создали могущественную державу, приводившую в ужас...»

«www.turklib.uz www.turklib.ru www.turklib.com Краткий комментарий от автора сайта Салпагарова А: Напоминаю Книга археолога Алексеевой Е.П. хотя и переиздана в 1993г Карачаевцы и балкарцы древний народ Кавказа, но написана в начале 60г. Что подтверждается библиографией этой монографии. В библиографии, приведенной Алексеевой Е.П. нет научных трудов изданных позже 1963г. (см. библиографию) Это годы пока ещё безраздельного господства мнения осетинского историка Абаева об ираноязычности алан....»

«А. А. Чибилев. В ГЛУБЬ СТЕПЕЙ. ОЧЕРКИ ОБ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЯХ ОРЕНБУРГСКОГО КРАЯ От первых упоминаний об южноуральских и прикаспийских степях у древнегреческого историка Геродота (V в. до н. э.) до географических описаний Оренбургского края учеными начала XX в. такова история исследований огромного степного региона, представленная в очерках книги. Читатель узнает о жизни и экспедициях П. И. Рычкова, П. С. Палласа, Э. А. Эверсманна, С. С. Неуструева и др. Их маршруты проходили по территории...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.