WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 64 | 65 || 67 | 68 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 66 ] --

Известна легенда, повествующая о том, что когда император Ю из династии Шан (ок. 2000 до н.э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, из воды появилась большая рыба с рисунком на спине, составленном из двух мистических символов – черных и белых кружочков (рис. 1 а). Эта диаграмма и стала известна под названием “Ло шу” (документ реки Ло), впоследствии осознанная как изображение м.к. порядка 3 (рис. 1 б). Первое специальное упоминание о нем найдено около I в. до н.э. в “Записях ритуалов, собранных старшим Даем”. Вплоть до X в. китайские ученые не предпринимали попыток построения квадратов более высоких порядков.

I. Истоки формирования учения о м. к. связаны с числовой мистикой. Параллельно разрабатывались и методы их построения, державшиеся в тайне. Процесс этот был довольно длительным.

Немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа написал сочинение, касающееся магии чисел (1543). В нем он придерживался системы мира Птолемея, в соответствии с которой в центре его находится Земля, а вокруг нее помещены вложенные друг в друга небесные сферы. На каждой из них располагается по одной планете. Агриппа поставил в соответствие каждой из семи планет построенные им м.к. (табл 1).

256 Глава 4. История и философия математики и математического образования На рис. 2 Юпитер покровительствует квадрату порядка 4, а Меркурий – 8 (рис. 3). Поэтому всем людям, родившимся под знаком каждой из семи планет, такие квадраты служили талисманом. Способов построения Агриппа не раскрыл, а посоветовал носить их на себе в качестве талисманов.

Современник Агриппы, врач и естествоиспытатель Парацельс (Филипп Ауреол Теофаст Бомбаст фон Гогенгейм) видел в м.к. только мистический смысл, считая, что они могут уменьшить боль, оказать выздоровление больным.

II. На следующем этапе развития м.к. стали предметом математической забавы. В 1624 году было напечатано сочинение Клода Гаспара Баше де Мазириака “Задачи забавные и сладостные, кои совершаются в числах” [3]. В нем построены м.к. разных порядков, причем часть методов была получена до него. Анализ литературы XVII столетия показал, что “классическими” считались методы: диагональный (рис. 4), ходя коня на шахматной доске (рис. 5) и террас (рис. 6).

Над составлением м.к. трудился и Пьер Ферма. В 1640 г. в письме к Марину Мерсенну он писал о том, что не знает ничего более красочного в арифметике, чем эти числа, названные некоМалых А.Е., Янкович Е.И. Формирование и развитие теории конструкций блочно-схемного типа торыми “планетными”, а другими – “магическими”... Ему принадлежит общий способ построения м.к. порядка n=2(2k+1). В 1654 Блез Паскаль закончил писать трактат о м.к., в котором построил квадрат, содержащий одну рамку (рис. 7 а).

За столетие до этого Михаэль Штифель в книге “Полная арифметика” (1544) указал, что в некоторых м.к. может быть выделена центральная часть. Впрочем в X в. Исхван ас-Сафа – “Чистые братья и Верные друзья” – могли строить м.к. разных порядков и с разным числом рамок. Так, на рисунке 7 б таких рамок две.

В середине XVII в. Френикль Бернар де Бесси написал два сочинения о м.к. Благодаря хлопотам математика Филиппа де Лягира, они были напечатаны спустя 18 лет после смерти Френикля [4] и в дальнейшем неоднократно переиздавались. Работе [5] предшествовало другое сочинение “О магических квадратах или таблицах”, в котором он описал методы построения магических квадратов порядка n = 3; 8, 10, 12, 14. Кроме этого, ученый выполнил подсчет, как бы мы сказали теперь, неизоморфных м.к. порядков 5 и 6, построенных, правда, только одним методом.

О м.к. была опубликована работа Филиппа де Лягира (1705). В нем представляет интерес описанный тип м.к., в котором свойство магичности выполняется дополнительно и на “ломанных диагоналях”, другими словами, содержится наибольшее число равных магических сумм чисел S (рис. 8) [5]. Заметим, что на культовых сооружениях Западной Европы, Индии такие м.к. были изображены на два столетия раньше. В дальнейшем их стали называть “дьявольскими”, “сатанинскими”, “кабалистическими”, “сверхмагическими”. Французы же называли их “совершенными” (рис. 8).

258 Глава 4. История и философия математики и математического образования III. Начиная с Ферма, Баше, Френикля, их современников и последователей характер исследований о м.к. перестал относиться к математическим развлечениям. Они стали развиваться в рамках общей теории чисел, а впоследствии стали ее ответвлением и влилась в комбинаторный анализ. Исследования проводили многие ученые, в том числе и широко известные. В числе первых можно назвать Леонарда Эйлера (1707-1783), внесшего большой вклад и в исследование м.к. Его деятельность сыграла определяющую роль в развитии комбинаторного анализа. Он либо решил, либо сформулировал и тем самым значительно продвинул развитие так называемых “классических комбинаторных задач”. Несмотря на простоту формулировок, они продолжительное время не поддавались решению и явились исходными при становлении ряда направлений современной математики. Часть материала о м.к. находится в “записных книжках” Л. Эйлера. В первой, относящейся к 1725-1727 гг. 19-летний ученый интересовался построением м.к., элементами которых являются члены арифметических прогрессий. Еще в большей степени он применил алгебраический аппарат в мемуаре “О магических квадратах” (1776) [6]. В нем осуществлен переход к буквенным выражениям; сформулированы правила расстановки букв в таблицах, в неявном виде дающие определение латинского квадрата; указаны методы построения для порядка n (n = 3; 6) и затронут вопрос их перечисления.



В работе “Исследования магического квадрата нового типа” знания о магических квадратах расширяются и углубляются [2]. Мемуар посвящен решению известной задачи о 36 офицерах, равносильной составлению результирующей таблицы, которую Эйлер назвал греко-латинским квадратом. М.к. второй степени Эйлер изучал в сочинении 407 [6]. Ученый построил их для порядков 8, 9, 10, 14 и 16, отметив при этом, что для n=3 и 4 таких квадратов не существует.

Аналогичной тематикой интересовался также и К.Ф. Гаусс.

XIX и XX вв. особенно богаты исследованиями м.к. Для их анализа применялась достаточно разработанная к тому времени теория сравнений. Анализ м.к. расширялся и углублялся: анализировались числовые линии, плоскости, пространства трех и более измерений; строились магические кубы, изучались м.к. не с суммами, а произведениями чисел; магические пучки; м.к., составленные из степеней чисел, двойные, тройные и т.д. Э. Казалас (1933) опубликовал перечень работ (свыше 500 книг более, чем 400 авторов) [8].

IV. Со времен Баше де Мезириака начался следующий период формирования теории м.к. – изучение их внутренней структуры.

Легче всего выполняется исследование м.к. порядка 3: составляется “естественный” числовой квадрат. Из девяти чисел можно составить только 8 групп с S=15 (табл. 2).

В результате их анализа проясняется расстановка чисел в клетках. Число 5 входит в 4 группы (рис. 9 а-в), а поэтому оно должно находиться в средней клетке квадрата.

Малых А.Е., Янкович Е.И. Формирование и развитие теории конструкций блочно-схемного типа Этим определяется последующее заполнение м.к. (рис. 10).

Дальнейшее исследование позволяет построить полумагические квадраты того же порядка.

Таких групп 8 (рис. 11). Вся же группа из 9 квадратов обладает особенностями: в средней клетке располагаются все числа от 1 до 9; в угловые клетки и клетки в середине рядов каждое число попадает 4 раза.

Френикль составил таблицы, в которых записал все 880 м.к. порядка 4. Более чем 250 лет никто не проверял их число [5]. Немецкий ученый Фридрих Фиттинг (1931) чисто теоретическими рассуждениями, не построив ни одного квадрата, экономно и красиво, используя теорию сравнений, доказал, что количество их действительно равно 880 [11].

Заполнение м.к. порядка 4 начинают также с построения “естественного” квадрата, затем изучают суммы чисел в каждом из рядов (рис. 12). Общей клеткой выбрана верхняя левая, а направление рядов определяется лучами I, II, III (рис. 13). В построенных 880 м.к. порядка найдено число неизоморфных структур – 12 (рис. 14). Они отличаются простотой, симметрией, количеством и расположением пар, связывающих группы чисел. Из общего числа м.к. оказались совершенными, они объединились в три класса (рис. 15). Было установлено много удивительных свойств.

260 Глава 4. История и философия математики и математического образования Сложная работа была выполнена при исследовании м.к. порядка 5. Пока точно найдено число их, построенных “классическими способами”. Оказалось, что количество “классических” м.к.

и приводимых к ним – 232; новых 7000+2300030000; рамочных 200000. Общее число м.к.

порядка 5 250000.

Малых А.Е., Янкович Е.И. Формирование и развитие теории конструкций блочно-схемного типа В конце XIX – начале XX вв. после перерыва, длившегося со времен Эйлера, появились работы о м.к., написанные русскими учеными. В 1884 г. в Петербурге вышла книга инженера М. Фролова “Задачи Эйлера и магические квадраты” с приложением атласа, содержащего большое число решений. С докладом о м.к. выступил казанский математик И.А. Износков (1895) [8]. Ему же принадлежит отдельное исследование “Решение уравнений со многими неизвестными с помощью м.к.” [9]. В своих работах Износов пытался дать числовым м.к. более общий (алгебраический) вид.

В 1884-1885 гг. был напечатан ряд статей о м.к. профессором Киевского университета, членомкорреспондентом Петербургской АН В.П. Ермаковым в издаваемом им “Журнале элементарной математики”. В них он использовал метод Эйлера для составления так называемых “вспомогательных” конструкций – латинских квадратов (ниже л.к.).

V. Период связан с приложениями м.к. С конца XIX они были использованы П.А. МакМагоном в дисперсионном анализе, а с 1919 г. магические и латинские квадраты применил Рональд Фишер, проводивший серию работ по планированию экспериментов в Рочемстедский агробиологический станции в Англии. В 30-е годы он применил л.к. в сельскохозяйственных экспериментах для учета различий в плодородии почв. С тех пор они стали успешно использоваться в многочисленных сферах человеческой деятельности. Ниже показано применение л.к. в медицине:

проверялась эффективность 3 видов лекарств для лечения трех пациентов, находящихся в трех стадиях заболевания, на протяжении четырех дней. В качестве четвертого лекарства выбиралось плацебо a (табл. 3). Эксперимент состоял в построении трех взаимно ортогональных л.к. порядка n=4 (табл. 4).

Л.к. с успехом применяются и в теории кодирования. Помехоустойчивые коды используются в многочисленных системах передачи и хранения информации. Их роль возросла в связи с развитием вычислительной техники и периферийных устройств вычислительных машин, запуском космических спутников Земли, ракет и др.

Передача данных в общем случае сводится к передаче по каналу связи знаков некоторого конечного алфавита. Как правило, такой канал не является идеальным в том смысле, что переданный символ не всегда будет принят правильно. Л.к. используются как при кодах, обнаруживающих ошибки, так и исправляющих их. При построении таких кодов используются разные виды л.к. В таблице 5 изображен полный л.к. (n=4) и код, соответствующий ему. Кроме них в теории кодирования нашли применение и составные. Они существуют для любого четного порядка и могут быть использованы для задания проверочных разрядов бинарного кода постоянного веса.

Проблема ортогональности л.к., на которую впервые обратил внимание еще Л. Эйлер, приобрела актуальность в связи с появлением в конце XIX в. конечных геометрий. Оказалось возможным описывать проективные (аффинные) плоскости порядка n полной системой из n1 попарно ортогональных л.к (табл. 6). На протяжении всего XX в. выполнялись многочисленные исследования ученых в области конечных геометрий и более общих структур – блок-схем.



Pages:     | 1 |   ...   | 64 | 65 || 67 | 68 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Тони Шей Доставляя счастье. От нуля до миллиарда Тони Шей Доставляя счастье. От нуля до миллиарда: история создания выдающейся компании из первых рук Десять главных причин, по которым вам стоит прочитать эту книгу 10. Вы хотите узнать, как меньше чем за десять лет мы в Zappos прошли путь с нулевых продаж до торгового оборота в миллиард долларов. 9. Вы хотите узнать о том пути, который в итоге привел меня в Zappos, и об уроках, которые я попутно получил. 8. Вы хотите узнать об ошибках,...»

«Н.Н. Крадин Империя Хунну Издание 2-е, переработанное и дополненное Москва • Логос • 2001 УДК 930 85 ББК63 3 ( 5 ) К78 Крадин Н.Н. К78 Империя Хунну. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Логос, 200 1.-312 с. ISBN 5-94010-124-0 Книга представляет собой значительно переработанное издание монографии 1996 г, посвященной первой кочевой империи в истории Центральной Азии Империи Хунну (209 г до н. э. -48 г н. э.) Как и почему хунну (азиатские гунны) создали могущественную державу, приводившую в ужас...»

«ЗАКОН ПАРКИНСОНА (Пер. - Н.Трауберг) ОТ АВТОРА Подросткам, учителям и авторам пособий по истории государственных учреждений и политике кажется, что мир сравнительно разумен. Они думают, что люди свободно выбирают своих представителей из тех, к кому питают особое доверие. Они полагают, что самые умные и самые дельные из этих избранных становятся министрами. Они воображают, как заправилы промышленности, свободно выбранные акционерами, облекают деловой ответственностью тех, кто проявил себя на...»

«УТВЕРЖДАЮ Декан факультета географии и геоэкологии Е.Р. Хохлова 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ, 5 курс 020401.65 География очная форма обучения Обсуждено на заседании кафедры Составитель: физической географии и экологии К.г.н., доцент 28 февраля 2012 г. _А.А. Цыганов Протокол № 3 Зав. кафедрой _ О.А. Тихомиров Тверь 2012 2. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цель дисциплины состоит в изучении теоретических и методических основ правовых основ...»

«РЕЛЬЕФ И ЧЕЛОВЕК О.А. Борсук1, Э.А. Лихачева2, Д.А. Тимофеев2, Г.Ф. Уфимцев3 1 Московский госуниверситет, 2Институт географии РАН, 3 Институт земной коры СО РАН ОПЫТ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДМЕТА И ЗАДАЧ СОЦИАЛЬНОЙ ГЕОМОРФОЛОГИИ В круге проблем и задач общей темы Человек и среда, задач, решаемых различными науками естественно-исторического, гуманитарного, экономического, социологического направлений, находится место и геоморфологии, поскольку человек живет в рельефе земной поверхности – основе...»

«Глава 1. Остеопатия — медицина XXl века Медицина не только наука, но и искусство, Она заключается не в том, чтобы составлять пилюли и разного рода снадобья, а в том, чтобы понимать жизненные процессы и уметь ими управлять. (Парацельс) ЧТО ТАКОЕ ОСТЕОПАТИЯ Остеопатия — это философия, наука, искусство управления...»

«Вы отправитесь в увлекательное путешествие по туристским тропам региона, познакомитесь с культурой и бытом казацких поселений, местами боевой славы, посетите древние монастыри, побываете в природных парках, узнаете об особенностях национальной рыбалки и охоты и даже сможете оказаться в аномальных зонах. Путеводитель призван помочь как гостям, так и жителям нашего региона быстро и правильно сориентироваться на местности, грамотно спланировать досуг. И конечно, в книге содержатся необходимые...»

«Книга написана при содействии Благотворительного фонда Владимира Высоцкого и Государственного культурного центра-музея В С. Высоцкого Обратным счетом Горька судьба поэтов всех племен, Тяжеле всех судьба казнит Россию В Кюхельбекер Так и надо жить поэту А Тарковский В феврале 1980 года мама вышла на пенсию, чаще стала бывать на Малой Грузинской. - Привези мне в следующий раз фотографию мою, детскую, ту, что с кудрями. Ладно? - Зачем, Володя? - А так - поставлю и буду смотреть. Встретился...»

«Путь жизни автобиография Родился 28 марта 1883 г. в Москве. Среднее образование в пятой и первой Московск. классических гимназиях. 1901-1906 юридический факультет Московского Университета. 1906-1909 гг. подготовка к магистрантскому экзамену. Декабрь 1909 г. пробные лекции и звание приват-доцента по кафедре истории Философии Права. 1910 г. чтение первого курса...»

«ЛАВРОВСКИЙ СБОРНИК МАТЕРИАЛЫ XXXVI и XXXVII СРЕДНЕАЗИАТСКО-КАВКАЗСКИХ ЧТЕНИЙ 2012–2013 гг. ЭТНОЛОГИЯ, ИСТОРИЯ, АРХЕОЛОГИЯ, КУЛЬТУРОЛОГИЯ Санкт-Петербург 2013 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_05/978-5-88431-234-0/ © МАЭ РАН УДК 39+902+94+008(470.6+51) ББК 63.5(2) Л13 Рецензенты: к. и. н. П. Л. Белков, д. и. н., доцент кафедры арабской филологии Восточного факультета СПбГУ М. Н. Суворов...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.