WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 54 | 55 || 57 | 58 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 56 ] --

Формула 2 ( Рамануджан). 12 + 22 + 32 +... = 0.

Вывод. Умножая на t и дифференцируя тождество (1), получим тождество При t = 1, приходим к следствию Вычитаем равенства 12 + 22 + 32 + 42... = Z и 12 22 + 32 42 +... = 0, тогда 2(22 + 42 + 62 +...) = Z или 2 · 4(12 + 22 + 32 +...) = Z. Следовательно, 8Z = Z, Z = 0.

Формула 3 ( Рамануджан). 13 + 23 + 33 +... = 120.

Вывод. Умножая на t и дифференцируя тождество (3), получим тождество 226 Глава 4. История и философия математики и математического образования При t = 1, приходим к следствию Вычитаем равенства 13 + 23 + 33 + 43... = W и 13 23 + 33 43 +... = 8, тогда 2(23 + 43 + 63 +...) = Аналогично, следуя Рамануджану, суммируем ряды 1n + 2n + 3n +... для всех натуральных n 4: умножаем на t и дифференцируем тождество (4), полагаем t = 1 и т.д. и т.п. Заметим также, что Рамануджан переоткрыл формулу Томаша (2) и формулу Леонарда Эйлера (1707а также обнаружил, что сумма расходящегося ряда равна константе интегрирования в формуле суммирования Эйлера-Маклорена.

Согласно воспоминаниям Харди [1] “Рамануджан говорил, что богиня Намаккал внушала ему формулы во снах. Примечательно, что часто, встав с кровати, он мог записать результаты и быстро проверить их, хотя и не всегда мог дать строгое доказательство... ”.

В теории расходящихся рядов, включающей формулы Рамануджана, можно всегда найти красивые и “глубокие” формулы, например:

где (z) = mz – дзета-функция Римана, µ(m) – функция Мебиуса, – суммирование по всем натуральным числам m.

1. Харди, Г. Двенадцать лекций о Рамануджане [Текст]/ Г. Харди. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 336 с.

Б.Л. ван дер Варден и его “Современная алгебра” М.А. Дубовицкая “Я прекрасно помню, в 1930 я был в Берлине и работа над своей диссертацией, когда работа ван дер Вардена поступила в продажу. На то время я так плохо знал алгебру, что сегодня мне бы отказали в поступлении в университет. Я проглотил книгу и был ошеломлен открывшимся мне миром,” – так в 1968 г. писал о “Современной алгебре” Ж. Дьедонне [1]. В этом году мы празднуем 110 лет со дня рождения автора этой книги – замечательного голландского математика Бартела Лендерта ван дер Вардена (1903-1996), чьи труды не утратили своей актуальности. Он хорошо известен нам по своим достижениям в области абстрактной алгебры и алгебраической геометрии, теории групп, комбинаторики, теории вероятностей, статистики, квантовой механики и даже истории математики и астрономии. Но, безусловно, самая известная его работа – двухтомник “Современная алгебра” [2], книга, написанная им в 27 лет, и ставшая на многие годы одним из лучших учебников как в западной, так и в отечественной математике. Как сказал в своей рецензии Н.Г. Чеботарев, “она открывает читателю широчайшие горизонты и вводит его в самую гущу современных алгебраических исследований” [3]. Примечательно, что само название стало нарицательным: современные разделы, такие как теория групп и их представлений, теория Галуа и теория полей, теория идеалов и теория гиперкомплексных величин, прочно вошли в состав алгебры, пододвинув теорию уравнений. Неслучайно уже 4-ое переиздание книги называется просто “Алгебра”: эти части из современных превратились в классические, а сама структурная алгебра охватила всю математику и оказала на развитие математики в XX веке огромное влияние.

Дубовицкая М.А. Б.Л. ван дер Варден и его “Современная алгебра” Откуда взялась идея написания “Современной алгебры”? На самом деле необходимость в такой книге была исторически обусловлена. Начавшееся в середине XIX века бурное развитие новых областей алгебры привело к накоплению большого количества нового материала, который требовал дополнительного осмысления и систематизации. “Последний период развития алгебры, о котором мы здесь говорим, как раз и характеризуется аналогичным вторжением понятия группы и родственных с ней алгебраических понятий (группа с операторами, кольцо, идеал, модуль) в те разделы алгебры, которые казались до этого очень удаленными от сферы господства этих понятий. [... ] Это объединение является в основном делом современной немецкой школы. Работа по аксиоматизации алгебры, начатая в последние годы XIX в. Дедекиндом и Гильбертом, была с большим успехом продолжена Э. Штейницем, затем, начиная с 1920-х годов, под влиянием Э. Артина, Э. Нётер и алгебраистами их школы (Хассе, Крулем, О. Шрейером, Ван-дер-Варденом).

Трактат Ван-дер-Вардена, опубликованный в 1930 г., впервые собрал эти работы в единое целое, открыв пути и служа проводником для многочисленных исследований последних лет по абстрактной алгебре” [4].

В 1920-х годах Геттинген было мировым центром математической научно-исследовательской деятельности. Ван дер Вардена за отличные успехи в учебе в Амстердамском университете наградили рокфеллеровской стипендией: ему была предоставлена возможность расширить свой научный кругозор, проведя семь месяцев в Геттингене [5]. Таким образом, в 1925/26 учебном году он имел возможность прослушать курс лекций Э. Нётер по абстрактной алгебре. Кроме того, он познакомился там с Д. Гильбертом и Р. Курантом. Далее он отправился в Гамбург, где летом 1926 г. прослушал курс лекций по алгебре Э. Артина как рокфеллеровский стипендиат, а в зимнем семестре 1926/27 года участвовал в работе семинара по теории идеалов уже как ассистент профессора Бляшке [6]. В 1927 г. ван дер Варден получает место профессора в Гронингене и практически одновременно – место приглашенного професора в Геттингене. Именно в Гронингене спустя два года ван дер Варден заканчивает работу над своей книгой.



Очевидно, что лекции Артина и послужили отправным пунктом для написания книги, и изначально планировалось написать ее совместно с Артином, однако потом совместное творчество не заладилось. Почему – вопрос открытый. Биограф ван дер Вардена А. Сойфер в одном из своих интервью достаточно резко высказывается на эту тему: “Вообще должна была быть книга одного Артина” [7]. Однако я не могу с ним согласиться. В качестве основных источников своей книги сам ван дер Варден указывает лекции Артина по алгебре, семинар по теории идеалов под руководством Артина, Бляшке и самого ван дер Вардена, а также лекции Э. Нётер по теории гиперкомплексных систем. На самом деле источников намного больше. И если мы посмотрим на содержание самой книги и попытаемся понять, что именно брал ван дер Варден в качестве источника для написания главы, то получим, что из лекций Артина можно составить не более четверти книги. Первые три главы ван дер Варден обсуждал с Артиным, и это как раз те главы (“Числа и множества”. “Группы”, “Кольца и поля”), которые касаются наиболее общих понятий, и даже на тот момент уже были хорошо известны, знания лекция Артина для их написания не требовалось. К примеру, теория групп была описана в работе А. Спейсера [8], с которой ван дер Варден был хорошо знаком. Главы 8-10 (“Бесконечные множества”, “Бесконечные поля” и “Действительные поля”), как сообщает в предисловии сам автор, “в отношении распределения материала следуют основной работе Штейница” [9]. Если бы ван дер Варден ставил перед собой целью написать просто хороший учебник по алгебре, ему было достаточно ограничиться первым томом. Второй том придает книге ту самую “современность”: это теория идеалов, теория целых алгебраических величин и теория гиперкомплексных систем. Причем это новое изложение теории гиперкомплексных систем, более понятное и компактное. Единственное, что упускает ван дер Варден, – это теория неассоциативных колец и теория алгебр Ли, интерес к которым появился в 30-е годы очень быстро.

Вообще надо отметить, что всем работам ван дер Вардена присущ довольно приятный и ясный стиль изложения, причем не только с литературной, но и с математической точки зрения:

он тяготеет к максимально простым конструкциям в доказательствах. Это касается, не только его книги, но и других работ. Например, его работа об арифметических прогрессиях 1927 года 228 Глава 4. История и философия математики и математического образования (частный случай теоремы Рамсея) была высоко оценена А. Хинчиным, и он даже поместил ей главу в своей книге “Три жемчужины теории чисел” [10]. Формулировка задачи звучит довольно просто: пусть k и l – произвольные натуральные числа. Тогда существует такое натуральное число n(kl), что при разбиении любого отрезка ряда натуральных чисел длины n(kl) любым способом на k классов (среди которых могут быть и пустые), по крайней мере в одном из этих классов найдется арифметическая прогрессия длины l. Однако доказательство этой теоремы в самом простом изложении занимает более пяти страниц и требует тонкой двойной индукции.

Что касается любви ван дер Вардена к “завитушкам” и готическому шрифту в изложении, вызывающим у современного читателя некоторое затруднение в понимании, надо отметить, что такие обозначения были типичны для геттингенской школы (работы Э. Нётер, Шрейера, Гильберта). Если мы проследим эту традицию далее, то заметим, что в изложении теории Галуа эта традиция существовала еще довольно долго, например, Н.Г. Чеботарев, крупнейший отечественный специалист по теории Галуа в своей работе [11] использует аналогичный ряд обозначений.

Еще более яркий пример с изложением теории Галуа можно привести с работой Л.Я. Окунева [12], где используются не только аналогичные обозначения, но и в целом структура главы, формулировки основных утверждений и идеи доказательств повторяют соответствующую главу у ван дер Вардена. Что, в общем-то, неудивительно, ведь Окунев был хорошо знаком с содержанием “Современной алгебры”, являясь ее переводчиком. Примерно с середины 1950-х годов такая традиция обозначений осталась в прошлом.

“Современная алгебра” моментально стала математическим бестселлером. Вот что пишет об этом Гаррет Биркхоф: “Даже в 1929 году в большинстве университетов, включая Гарвард, интерес к концепциям и методам [современной алгебры] был все еще вторичен по сравнению с анализом.

Показав их математическое и философское единство и продемонстрировав их возможности на примере работ Эмми Нётер и ее молодых коллег (в особенности Артина, Брауэра и Хассе), ван дер Варден фактически сделал алгебру центральной темой в математике. Без преувеличения могу сказать, что энтузиазм и новизна темы “неэлектризовали” математический мир и особенно молодых математиков до 30 лет, каким я и был” [13].

Нельзя не отметить влияние “Современной алгебры” на московскую алгебраическую школу.

Семинар, организованный О.Ю. Шмидтом в 1929 году, изначально имел довольно узкую тематику, фактически ограничиваясь теорией групп и их представлений. Вероятно, первые занятия семинара были посвящены разбору книги Шмидта “Абстрактная теория групп”. Тематика семинара и его состав первые годы были достаточно постоянными. Затем, с появлением новых участников и переноса занятий на мехмат МГУ, они постепенно расширялись. Безусловно, “Современная алгебра” обсуждалась на семинаре, причем до появления ее публикации на русском языке, в силу того, что Окунев – переводчик книги – был одним из самых первых его участников.

К тому же она оказала влияние на направление его собственных исследований: к 1938 году у него была написала работа “О признаках, определяющих кольцо как гиперкомплексную систему” [14], которая опиралась на главы 16 и 17 “Современной алгебры”. Дальнейшие исследования семинара все больше связаны с бесконечными группами, теорией колец, теорией идеалов, и знакомство с “Современной алгеброй” подготовило для этого соответствующую почву. Последующие годы показали, что развитие семинара во многом шло в соответствии в темами, заданными ван дер Варденом во втором томе “Современной алгебры”.

Книга ван дер Вардена – это классический пример, наряду с “Началами” Евклида, того, как вовремя написанная компилляционная, систематизирующая уже имеющиеся знания работа, оказывает влияние на дальнейшее развития науки не меньшее, чем выдающееся оригинальное сочинение.



Pages:     | 1 |   ...   | 54 | 55 || 57 | 58 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«с. а. маретина, и. Ю. котин племена В индии санкт-петербург наука 2011 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_03/978-5-02-025617-0/ © МАЭ РАН удк 392(540) ББк 63.5(3) м25 Рецензенты: д-р филол. наук я.В. Васильков, д-р ист. наук м.а. Родионов Маретина С.А., Котин И.Ю. М25 племена в индии. — спб.: наука, 2011. — 152 с. ISBN 978-5-02-025617-0 книга отечественных индологов докторов исторических наук...»

«Глава 1. Остеопатия — медицина XXl века Медицина не только наука, но и искусство, Она заключается не в том, чтобы составлять пилюли и разного рода снадобья, а в том, чтобы понимать жизненные процессы и уметь ими управлять. (Парацельс) ЧТО ТАКОЕ ОСТЕОПАТИЯ Остеопатия — это философия, наука, искусство управления...»

«Е. Э. ГРАНСТРЕМ К ВОПРОСУ О ВИЗАНТИЙСКОМ МИНУСКУЛЕ В истории греческого письма византийского времени различаются обычно два периода: период преобладания унциального письма (до I X в.) и период преобладания минускульного письма (с I X по X V в.). Рукописей, написанных унциалом, сохранилось значительно меньше, чем написанных минускулом, и они содержат почти исключительно богослужебные тексты 1. Все богатейшее литературное наследие самой Византии сохранилось до наших дней в минускульных рукописях....»

«Алексей Жуков Саами в XIII XVII вв. (публикация источников и комментарий) ПУБЛИКАЦИЯ 1681 г., 13 ноября–1682 г., 26 апреля. Кольс 1 кого острога соборного священника Алексея Симонова тетради с отчетом о поездке его по государеву указу по Лопским погостам для уничтожения у лопарей язычества и возсоеди нения их к православной церкви. На 15 лис тах1. (Источник: Российский государственный архив древних актов. Фонд 137. Боярские и городовые книги. Опись 2. Дело 114. Л. 1–15. Подлинник). Л.1 190-го...»

«ЗОЛОТОЙ ФОНД УВЕЛЬСКОЙ КУЛЬТУРЫ Энциклопедия работников культуры Увельского муниципального района п. Увельский 2009 год 2 К читателю! Увельскому району исполнилось в 2009 году 85 лет. Это наша малая родина, это место, где мы живём, трудимся, гордимся успехами и достижениями её, вписываем в страницы истории свои строки. История района это и история культуры и её пишут люди своими делами, поступками. Эти люди посвятили себя делу большому и важному, сохранению лучших традиций духовной,...»

«Максимов М. М. М15 Очерк о серебре. 3-е изд, перераб. и доп. — М : Недра, 1981. - 207 с. ил. Книга написана инженером-геологом, уже известным читателю по ряду ранее опубликованных книг, в которых автор популярно излагает историю развития горного и геологоразведочного дела, иллюстрируя ее фотографиями старинных монет Книга предназначена для широкого круга читателей специалистов-геологов и неспециалистов, интересующихся развитием горного промысла. Она будет интересна и коллекционерам монет —...»

«Курс Окружающий мир для 1—4 классов общеобразовательных учреждений создан в соответствии с возрастными и психологическими особенностями младших школьников, а также современными научными представлениями о природе, обществе, человеке с учетом уровня образовательной программы (ступени обучения). В учебниках реализуется системнодеятельностный подход, лежащий в основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования. Содержание учебников строится на основе...»

«Ученые записки Таврического национального университета имени В. И. Вернадского Серия Филология. Социальные коммуникации. Том 26 (65). № 1, ч. 1. 2013 г. С. 3–13. КРЫМСКОТАТАРСКОЕ ЯЗЫКОЗНАНИЕ ПРОИСХОЖДЕНИЕ КРЫМСКИХ ТАТАР 1 ЧАСТЬ III Меметов А., Меметов И. А. Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, г. Симферополь, АР Крым, Украина В статье рассматриваются вопросы происхождения крымских татар и участие в их этногенезе древнейших жителей Крыма – скифов. В данном исследовании...»

«Habent sua fata libelli. Stratagemat. кн. 2, гл. 5, apud Masc., Annotat. 31. Это произведение Маврикия, сколько мне известно, было напечатано лишь в конце Шефферова издания Арриановой Тактики, вышедшего в Упсале в 1664 году; это очень редкая книга и я никак не мог добыть ее. Гиббон. История упадка и разрушения Римск. Империи, часть IV, стр. 478, примеч. 1. У меня есть экземпляр этой книги, которой Гиббон не мог достать. Она заслуживает нового издания с примечаниями тактика. Финлей. Греция под...»

«Дейв Мартин Андрей Клименко Ксан Ожеро Роман Култаев Центр Дикого Лосося Предисловие от автора. Во время визита на Камчатку в июле 2001 года я наслаждался видами природы, действительно замечательными, особенно для биолога, специалиста по лососевым. Мы пролетали над целыми речными бассейнами, в которых не было заметно и следа человеческой деятельности, а если он где-то и проявлялся, то был очень слаб. Из того, что я прочел перед поездкой, я знал, что лососёвые и сёмга этих рек отличаются богатым...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.