WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 45 | 46 || 48 | 49 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 47 ] --

4. дистрибутивный закон умножения относительно сложения z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3, Пример 1. Дано z1 = 1 + i и z2 = j + k. Найдите сумму, разность и произведение этих чисел.

Определение. Если у кватерниона z = a + bi + cj + dk компоненты b = c = d = 0, то он называется скаляром; если a = 0, то z = a + bi + cj + dk и Гамильтон назвал его вектором z = bi + cj + dk.

Например, z = 5, то есть z = 5 + 0i + 0j + 0k, является скаляром; z = 3i + 4j + 6k является вектором, кватернион z = 5 + 4i 3j не является ни вектором, ни скаляром. Каждый вектор q = bi + cj + dk можно изображать в трёхмерном пространстве геометрически как направленный отрезок, у которого проекции на координатные оси Ox, Oy, Oz соответственно равны b, c, d.

Изобразим вектор q = 3i + 4j + 6k в трёхмерном пространстве (рис. 1).

Кватернионы i, j, k изобразятся в виде направленных отрезков длины 1, лежащих соответственно на осях Ox, Oy, Oz.

Каждый кватернион z можно записать в виде суммы двух кватернионов: скаляра a (или действительной части кватерниона) и вектора bi + cj + dk (или мнимой части кватерниона) Определение. Если кватернион z = a + bi + cj + dk, то сопряженный ему кватернион z = Нараленкова И.И., Семенова Т.Г., Шивринская Е.В. О кватернионах на уроках математики Определение. Модулем кватерниона z = a + bi + cj + dk называется положительное число |z| = a2 + b2 + c2 + d2.

Пример 2. Дано z = 3 + 5i 3j + Найдите модуль |z| и z.

Пример 3. Число a = 30 и число b = 86 можно представить в виде суммы квадратов четырёх целых чисел. Докажите, что число равное 2580 также можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Решение. a = 12 + 22 + 32 + 42 = 30, число b = 32 + 42 + 52 + 62 = 86, 2580 = a · b.

Ответ: 2580 = 442 + 82 + 182 + 162.

Пример 4. Докажем, что уравнение z 2 +1 = 0 имеет бесконечно много решений в исчислении кватернионов. Каждый кватернион, который является вектором с единичным модулем, является корнем такого уравнения.

Решение. Пусть вектор z = bi + cj + dk, причем b2 + c2 + d2 = 1. Тогда Пример 5. Уравнение z 2 1 = 0 имеет только два корня.

Действительно Разделить кватернион Q на кватернион q – это значит, найти такой кватернион x, который при умножении на q даёт Q. Но найти произведение x на qможно двумя способами: слева (x · q) и справа (q · x). В общем случае x · q = q · x.

Определение. Кватернион x называется левым частным при делении кватерниона Q на кватернион q, если Q = x · q.

Определение. Кватернион x называется правым частным при делении кватерниона Q на кватернион q, если Q = q · x.

Пример 6. Найти левое и правое частное от деления кватерниона Q = 2i + 2j на кватернион j + k.

Решение. Найдем левое частное: пусть x = a + bi + cj + dk, тогда Два кватерниона равны, если равны их соответствующие компоненты:

Правое частное находится аналогично.

Каждое комплексное число a + bi можно представить в тригонометрической форме (cos + i sin ), где есть расстояние от начала координат О до точки М, соответствующей данному числу, а – угол который вектор ОМ составляет с положительным направлением оси OX. Аналогичная идея возникает при изучении кватернионов – представление кватернионов в тригонометрической форме. Пусть где S (q) - скалярная, V (q) – векторная часть кватерниона q. Рассмотрим в трехмерном пространстве вектор (рис. 2).

Длина данного вектора равна Обозначим орт этого вектора обозначим буквой n (на рисунке n = ON ). Тогда Плоскость, проходящую через начало координат и перпендикулярную орту n, обозначим через. Тогда выберем угол такой, что Тогда q принимает вид Угол назовем аргументом кватерниона (1), ось l, определяемая вектором n, – осью кватерниона q, правая часть формулы (2) – тригонометрической формой кватерниона q.

Нараленкова И.И., Семенова Т.Г., Шивринская Е.В. О кватернионах на уроках математики Пример 7. Найти ось кватерниона q = 1 + i + j + k и его аргумент. Записать этот кватернион в тригонометрической форме.

Решение. |q| = 12 + 12 + 12 + 12 = 2, S (q) = 1, V (q) = i + j + k, |V (q)| = 3. Поэтому орт n вектора V (q) определяется так:

Таким образом, ось кватерниона q изображается в виде прямой OP. Орт этой оси – вектор O N, длина которого равна единице (рис. 3).

Тригонометрическая форма данного кватерниона такова:

Теорема. Пусть вектор OA поворачивается вокруг оси, задаваемой ортом ON, на угол, причем известно, что OAON. Если вектора OA и ON задаются кватернионами a и n, то в результате поворота образуется вектор OB, определяемый кватернионом Пример 8. Пусть вектор OA (рис. 4) задается кватернионом a = i j, а вектор OP задается кватернионом i + j + k. Требуется найти вектор OB, который образуется, если повернуть вектор OA вокруг оси OP на 60.

Решение. Найдем орт n вектора OP : n = 3 (i + j + k).

Т.к. OAOP, кватернион b, соответствующий вектору OB, находится по формуле (3):

После преобразований найдем: b = i j.

Отсюда видно, что проекции вектора OB на оси Ox, Oy, Oz равны соответственно 1, 0, 1.

Вектор OB изображен на рис. 5.

1. Найдите сумму кватернионов 2. Найдите разность кватернионов z1 z 3. Найдите произведение кватернионов z1 · z2 и z2 · z 4. Выведите формулу квадрата z 2, если z = a + bi + cj + dk.

5. Найдите модуль кватерниона z = a + bi + cj + dk и число z – сопряженное с z.

6. Проверьте справедливость формулы z · z = z · z = |z|2 для чисел 7. Числа 51 и 105 можно представить в виде суммы квадратов четырех целых чисел, докажите, что число 5355 можно также представить в виде суммы квадратов четырех чисел.



8. Сколько решений имеет уравнение 9. Найдите левое и правое частное для чисел z1 и z 10. Найдите ось кватерниона и его аргумент, и запишите в тригонометрической форме 1. Кантор, И.Л. Гиперкомплексные числа [Текст]/ И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. – М.: Наука, 1973. – 145 с.

Особенности применения информационных технологий в формировании элементов исследовательских умений учащихся коррекционных классов Ю.В. Неговеева В настоящее время наблюдается повышение интереса к математике у значительного числа учащихся основной школы. Это, естественно, связано с необходимостью сдать ГИА, но также с пониманием родителей возрастающей роли этой науки в жизни. Поэтому необходимо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлечённо, и использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного Неговеева Ю.В. Особенности применения информационных технологий в формировании элементов исследовательских умений учащихся коррекционных классов интереса. Это важно в подростковом возрасте, а особенно в коррекционных классах (КРО) или у слабоуспевающих учащихся.

Дети “группы риска” характеризуются более низкими в сравнении со сверстниками адаптационными возможностями. Но при этом эти дети обладают “сохранным интеллектом”, не имеют выраженных отклонений в развитии, у них нет задержки психического развития церебральноорганического генеза, умственной отсталости, выраженных нарушений речи, слуха, зрения, двигательной сферы.

В системе КРО развитие общих способностей к учению является основной целью коррекционно-развивающей работы с учащимися. И ни у кого не возникнет сомнений, что именно математика способствует развитию общеучебных умений. На начальных этапах содержание и методика обучения подстраиваются под индивидуальные типологические особенности детей с трудностями в обучении. Когда успешность обучения в классах КРО помогает учащимся избавиться от сложившихся представлений о собственной посредственности, неспособности, и даже неполноценности, содержание обучения усложняется, а темп прохождения учебного материала увеличивается. В результате не столько обучение подстраивается под индивидуальные особенности ученика с трудностями в обучении, а скорее ученик подстраивается под постепенно убыстряющийся и усложняющийся процесс обучения. И поэтому задача учителя так организовать учебный процесс, чтобы помочь школьнику “идти в ногу”.

Многие педагоги и психологи занимаются проблемой помощи учащимся классов коррекционно-развивающего обучения. Но при этом мало внимания уделяется развитию у них исследовательских умений. А ведь именно упор на развитие исследовательских умений положительно влияет на общее развитие учащихся классов КРО.

Наше исследование показало, что развивать элементы исследовательских умений у этих школьников можно и нужно, надо только найти подход к каждому и мотивировать умело поставленной проблемой, которая связана с интересами обучаемого. Поэтому учитель должен знать психологические особенности каждого ученика и их интересы. Это вполне возможно, т.к. классы КРО, как правило, небольшие по численности и с ними всегда работает психолог.

Особая роль в работе с этими школьниками принадлежит информационным технологиям, которые любят все школьники. Но в организации деятельности в этих классах нужна особая осторожность и четкое продумывание места и времени использования компьютера на уроке. Иначе дети могут просто сорвать урок, не желая расставаться с компьютером.

Наши наблюдения и результаты эксперимента показали, что с девочками применять ИКТ лучше в начале урока, они активизируются, быстрее “входят” в тему урока. Для этих целей, например, в 5 классе хорошо подходят различные презентации с героями из мультфильмов, которые проверяют их счет, или поход с мамой в магазин за продуктами, когда надо складывать какие-то большие числа. При этом, работая с детьми “группы риска”, мы основное внимание уделяем развитию таких элементов исследовательских умений, как умение ставить цель работы (что мы будем делать, чему мы хотим научиться и т.п.), умение выдвигать и обосновывать гипотезы (сколько мы потратим денег), умение планировать решение проблемы (рассчитать покупку продуктов на определенную сумму), умение классифицировать (расставить геометрические фигуры или числа на места по определенному признаку). Часто такие задачи приходится решать и с подростками 6-7 классов, связывая их с темой урока. Конечно, эта работа больше индивидуальная, когда у каждого ученика имеется ноутбук или планшет. И помогает этому малая наполняемость классов КРО. А иногда договариваемся с учителями параллельных классов, делим классы на девочек и мальчиков, и работаем с ними по отдельности.

С мальчиками работаем по-другому. Они, как правило, неуравновешенные, и с ними надо “брать быка за рога”, т.е. сразу ставим цель урока, делаем общую презентацию по теме изучаемого материала, даем каждому образец работы, задание для выполнения по этому образцу (ответы вводим в компьютер, возможно и выполнение задания на компьютере). Когда задание правильно выполнено, то ученик может в конце урока играть на компьютере: здесь мы предлагаем загадки, математические кроссворды, элементы занимательной математики или математические путешествия. Но иногда приходится идти на компромисс (с очень трудными детьми), когда позволяешь самому школьнику выбрать “свою” игру. Это, можно сказать, особый педагогический прием: мотивация к последующим занятиям математикой.

Применение компьютера в значительной степени позволяет продвинуться в изучении математики. Организация обучения школьников с использованием новых технологий позволяет решить проблему наглядности, сделать обучение интересным, увлекательным и ярким, разнообразным по форме; индивидуализировать процесс, развить элементы исследовательских умений такие как сравнение, анализ, синтез, способности к обобщению и конкретизации, создать условия для коррекции памяти, внимания и других психических функций.

Также мы используем в своей работе материалы электронных энциклопедий, энциклопедий “Кирилла и Мефодия”, Википедии, Математической энциклопедии, Обучающие игры и развивающие программы и т.д.



Pages:     | 1 |   ...   | 45 | 46 || 48 | 49 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«ЧЕМУ МЫ МОЖЕМ ПОУЧИТЬСЯ У ИЗРАИЛЯ Благословила ли Церковь кремацию чад своих? КАКОЮ МЕРОЙ МЕРИМ Наши трагедии – случайности или закономерности? Минск • Братство в честь святого Архистратига Михаила • 2010 Допущено к печати Издательским Советом Белорусской Православной Церкви Решение №4 от 21.09.2010 Рецензенты: протоиерей Виталий Антоник, профессор, кандидат богословия; протоиерей Феодор Кривонос, кандидат богословия; В.А. Теплова, профессор, кандидат исторических наук Первая часть книги...»

«Историческая страница Орска http://history.opck.org История Оренбуржья http://kraeved.opck.org Краевед Оренбуржья http://orenkraeved.ru Авторские проекты Раковского Сергея http://rakovski.ru Российская академия наук Уральское отделение Оренбургский филиал Оренбургский отдел Русского географического Института экологии общества растений и животных А. А. ЧИБИЛЁВ ПРИРОДА ОРЕНБУРГСКОЙ ОБЛАСТИ Часть первая Физико-географический и историко-географический очерк Оренбург – 1995 ЧИБИЛЁВ А. А. Природа...»

«Проблемы теории государства и права Учебно-практическое пособие Рекомендовано экспертным советом по дистанционному образованию Института экономики, управления и права в качестве учебно-практического пособия для системы высшего и дополнительного образования КАЗАНЬ 2006 I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Авторы программы: к.ю.н., доцент Краснов А.В. (Темы 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10). Окончил Казанский государственный университет по специальности Юриспруденция в 1996г. с отличием. Обучался в аспирантуре при...»

«Краткие очерки на тему недельного раздела Торы Нахум Пурер Эта электронная книга была создана автоматически из цикла публикаций http://toldot.ru/cycles/cycles_191.html на сайте toldot.ru. Недельная глава Берешит Содержание раздела Берешит бара Элоким эт, а-шамаимве-эт, а-арец. Вначале Б-г сотворил из ничего всю вселенную со всеми её параметрами и атрибутами, включая время. Процесс Творения продолжался шесть дней. В седьмой день Б-г отдыхал, создав духовную сферу под названием Шабат, которая...»

«Новгород новгородская земля в xv веке АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЛЕН И Н Г Р А Д С К О Е ОТДЕЛЕНИЕ В. II. 15 Е Р Н А Л С К И Й Новгород новгородская земля Б XV веке ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР 7 МОСКВА - Л I. Н II ИГ Р А Д 19 6 1 ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР И. И. СМИРНОВ (tcX/J сУУ* r j ^ t t Г У У О oj/yfJ- r i / y Q гУУО o ^ J гУУО)) ПРЕДИСЛОВИЕ Исследование В. Н. Вернадского Новгород и Новгородская земля в XV веке представляет собой капитальный труд, посвященный одному из...»

«Курс Окружающий мир для 1—4 классов общеобразовательных учреждений создан в соответствии с возрастными и психологическими особенностями младших школьников, а также современными научными представлениями о природе, обществе, человеке с учетом уровня образовательной программы (ступени обучения). В учебниках реализуется системнодеятельностный подход, лежащий в основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования. Содержание учебников строится на основе...»

«Пушкин как Сталин. Метаморфозы тоталитаризма в постмодернистской поэзии. Не считайте меня коммунистом!! И фашистом прошу не считать! Т.Кибиров, “Сквозь прощальные слезы” Российская публика привычна к тому, что частный момент литературно-критической либо социальной полемики может заново актуализировать казалось бы утратившую привлекательность тему. Многочисленные иронические выпады по поводу “смерти постмодернизма” и окончательного зачисления его по ведомству академической науки, как выяснилось,...»

«Тайна имён Симферополь и Севастополь. Топонимическое расследование на досуге Вторая исправленная редакция 2011 Памяти императрицы Екатерины Великой и светлейшего князя Г. А. Потёмкина-Таврического посвящается 2 Выражение благодарности Рафаэль Н. Хайруллин благодарит свою жену Ирину и дочь Марианну за неоценимую помощь и поддержку в работе. Марина Р. Даус благодарит профессора Института истории Штутгартского университета, доктора Экарта Ольсхаузена, первым обратившего её внимание на...»

«Т.Н. Волобуева КУЛЬТУРА ПОВСЕДНЕВНОСТИ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ Учебная программа курса и планы семинарских занятий для вузов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2008 Утверждено научно-методическим советом факультета философии и психологии 21 декабря 2007 г., протокол № 1400-10 Рецензент канд. филос. наук, доц. Д.Г. Кукарников Учебная программа курса и планы семинарских занятий для вузов подготовлена на кафедре культурологии факультета философии и...»

«Борис Иванов АКАДЕМИК МИХАИЛ РЕШЕТНЁВ КРАСНОЯРСКИЙ КРАЙ. ЖЕЛЕЗНОГОРСК. 2006 ГОД ЭТА КНИГА, ПОДГОТОВЛЕННАЯ НА ОСНОВЕ ВОСПОМИНАНИЙ КОЛЛЕГ, СОСЛУЖИВЦЕВ, РОДНЫХ И БЛИЗКИХ МИХАИЛА ФЕДОРОВИЧА РЕШЕТНЕВА, А ТАКЖЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОФИЦИАЛЬНЫХ ДОКУМЕНТОВ ВСЕГО ЛИШЬ СКРОМНАЯ – ПОПЫТКА УВЕКОВЕЧИТЬ ДЛЯ ИСТОРИИ ОТДЕЛЬНЫЕ ЭТАПЫ И ПОДРОБНОСТИ ЯРКОЙ И НАСЫЩЕННОЙ ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА, ИМЯ КОТОРОГО С ПОЛНЫМ НА ТО ОСНОВАНИЕМ ВНЕСЕНО В ЗОЛОТОЙ СПИСОК ТЕХ НЕМНОГИХ ЗЕМЛЯН, КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ЖИТЕЛИ НАШЕЙ ПЛАНЕТЫ ИМЕЮТ ВСЕ...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.