WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 4 ] --

Н. Бурбаки свой трактат открывает фразой: “Со времён греков говорить „математика“ – значит говорить „доказательство“”. Таким образом, “математика” и “доказательство” – эти два слова объявлялись почти синонимами.

14 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Однако само понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено.

Для математических текстов средневековой Индии, например, были характерны такие (возможно, восходящие к более древним временам) способы доказывания геометрических утверждений:

предлагался чертёж, под которым было всего одно слово: “Cмотри!”.

Вопрос об изменении статуса доказательства последнее время стал все чаще обсуждаться, что связано с сомнениями в надежности доказательств, выполненных с помощью компьютера, а также в надежности исключительно длинных и сложных доказательств. Так полное доказательство классификации простых конечных групп занимает 15 тысяч страниц текста.

Однако, как отмечает известный петербургский математик Н.А. Вавилов, статус трудных современных результатов и их доказательств мало отличается от статуса трудных математических результатов предшествующих веков. Классические работы, как и публикуемые сегодня, полны заблуждений, ошибок и пробелов разной степени серьезности. Многочисленные исторические примеры показывают, что фактические математические доказательства никогда – со времен греков – не удовлетворяли декларируемым стандартам. Что гораздо хуже, часто эти заблуждения и ошибки из поколения в поколение воспроизводятся в монографиях и учебниках, и их обнаружение в некоторых случаях потребовало многих десятилетий. Нужно честно признать, что математика является человеческой деятельностью, целью и результатом которой является понимание, и мало отличается в смысле своей надежности от других видов человеческой деятельности. Достоверность математического доказательства и его убедительность относится к области психологии и социологии, а не логики [1].

По мнению М. Клайна понятие доказательства, сколь ни преувеличивали его значение общественное мнение и публикации математиков, не играло той роли, которая ему обычно отводилась.

Возникновение противоборствующих философий математики, каждая из которых отстаивала свои мерки строгости доказательства, вызывало скептическую переоценку важности доказательства. Критические нападки на понятие доказательства начались еще до того, как успели сформироваться различные течения в основаниях математики и их взаимно исключающие точки зрения получили сколько-нибудь широкое распространение. Еще в 1928 г. Г. Харди утверждал с присущей ему прямотой: “строго говоря, того, что принято называть математическим доказательством, не существует”. Г. Харди считал доказательства скорее фасадом, чем несущими опорами здания математики. Выдающийся американский математик Р. Уайлер в 1944 г. утверждал, что доказательство есть не что иное, как проверка продуктов нашей интуиции, самое разумное, пожалуй признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства.

По мнению Н.А. Вавилова, в отличие от любых доказательств, математическое знание как таковое обладает чрезвычайно высокой степенью надежности. Эта надежность, как и надежность естественно-научного и технического знания, гарантируется отнюдь не доказательствами индивидуальных результатов, а общей когерентностью математической и естественно-научной картины мира, индивидуальным и коллективным пониманием и прямым контактом с миром идей, которое формируется в процессе работы у каждого квалифицированного и понимающего специалиста [1].

По строгим меркам весь “анализ бесконечно малых” из семнадцатого столетия – не что иное, как сомнительные мечтания. Позднее его стали называть дифференциальным и интегральным исчислением; в серьезную науку он превратился два столетия спустя, когда Коши дотронулся до него волшебной палочкой. Но тот же самый Коши преградил дорогу другой мечте – мечте Эвариста Галуа, что говорит об обратной стороне строгости доказательств. Изгнать мечту из математики – значит перекрыть источник новых идей. “Когда дорога выводит тебя на высокое место, так что перед глазами разворачивается новое видение, и взгляд уже охватывает обширные математические пейзажи, тогда тебе легко наметить дальнейший путь. И это восхождение, эта проясняющаяся перспектива, это понимание, приходящее шаг за шагом, всегда предшествует доказательству. Подсказывая методы доказательства, оно в то же время придает ему смысл” [2].

В наше время представления о доказательствах изменились вновь под влиянием вычислительной техники. Сегодня компьютерная техника является незаменимым средством проведения матеТестов В.А. Об изменении статуса доказательства в математике в условиях компьютеризации общества матических доказательств. Она позволяет производить на свет доказательства, которые требуют перебора столь большого числа вариантов, что этот перебор становится недоступным человеку, а компьютеру доступен; либо же требуемые вычисления чересчур сложны, чтобы делать их вручную. Первым, но не единственным примером такого доказательства стало решение знаменитой проблемы четырех красок. К использованию компьютерных средств для проведения математических доказательств все чаще стали прибегать математики-исследователи. Иногда компьютерный эксперимент оказывается единственно доступным способом подтверждения истинности математических утверждений.



Появляющаяся ныне компьютерная составляющая стала довольно часто рассматриваться как необходимый первый этап исследований особо сложных научных задач. Как показывает анализ научных публикаций, в последнее время существенно вырос процент “компьютерно угаданных”, а потом строго математически доказанных теорем.

Термин “компьютерное доказательство” стал использоваться в двух смыслах. В первом случае, о котором говорилось выше, компьютерная программа помогает в формулировании гипотезы и планировании доказательства, что не вызывает ни у кого возражений.

Во втором случае программа подтверждает на многочисленных частных примерах общее утверждение, что некоторыми учеными и рассматривается в качестве доказательства. Экспериментальные действия при изучении математики поощрялись издавна, ибо несомненна их роль в формировании учебной, исследовательской и критической деятельности. Например, рекомендовалось организовать проверку (на листе бумаги с помощью транспортира) теоремы о сумме углов треугольника. Правда реально у детей в таком “бумажном” эксперименте точно 180 градусов почти никогда не получается.

Компьютерный эксперимент в геометрии, основанный на динамической иллюстрации, психологически убедителен. Например, компьютер показывает, что “как ни гоняй” треугольник по экрану, меняя его вид, три его медианы всегда имеют общую точку. Но можно ли этот результат, проверенный таким образом с помощью компьютера, считать доказанным? Ответ на этот вопрос упирается, прежде всего, в толкование термина “доказательство”.

Доказательство – это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял, настолько, что он делается готовым убеждать других с помощью этого же рассуждения. Понятие математического доказательства отличается от понятия доказательства, принятого в других науках и в повседневной жизни. Это отличие, отмечает В.А. Успенский, состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные амбиции. Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это не так, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это не так, невозможно [4].

Сторонники выше рассмотренного “компьютерного доказательства” утверждают, что раз программа в принципе позволяет проверить полученный результат в любом частном случае, то нет сомнений в истинности результата и его можно считать доказанным. Но это именно “компьютерное доказательство”, а не “математическое” или “логическое”.

Предлагаются и специальные договорённости, в каком случае результат манипуляций с компьютером считать доказанным. Именно, если:

– результат получен сначала в частном случае;

– обобщение сформулировано на основе полученного результата;

– последовательность шагов при доказательстве общего утверждения такая же, как при доказательстве частного утверждения;

– ситуация, смоделированная в программе, адекватно отражает условия, которые содержатся в общем утверждении;

– использование программы на континуальном (психологически) уровне [3].

По нашему мнению, ученые имеют право на разные точки зрения относительно статуса доказательства и понимания этого термина. Однако наличие в школьном курсе математики двух 16 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия различных трактовок понятия “доказательство” может только запутать учащихся. Поэтому во втором рассмотренном случае результат, полученный с помощью компьютерной программы, не производящей полного перебора всех возможных случаев, вряд ли стоит называть доказанным.

1. Вавилов, Н.А. Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра [Электронный ресурс]/ Н.А. Вавилов. – http://www.univertv.ru/video/matematika/ matematicheskie_metody_i_modeli 2. Гротендик, А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика [Текст]/ А. Гротендик.

– М.-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2002.

3. Рыжик, В.И. Компьютер. Смена парадигмы? [Электронный ресурс]/ В.И. Рыжик. – http://ifets.ieee.org/ Russian /depository /v13_i3/html/4r.htm 4. Успенский, В.А. Простейшие примеры математических доказательств [Текст]/ В.А. Успенский. – М.: Изд-во МЦНМО, 2009.

Квалиметрические и содержательные характеристики требований к написанию учебной литературы нового поколения Е.И. Смирнов В настоящее время система высшего образования переживает период активного развития и реформирования. Новые задачи, связанные с развитием высшего образования, порождают и потребность в новых средствах обучения, ведущее место среди которых отводится учебной литературе, в том числе учебникам и учебным пособиям. Какие требования предъявляются к учебникам нового поколения, которые базируются на инновационной технологии фундирования базовых учебных элементов школьной математики в реализации содержания математического образования будущих учителей математики в педвузах?

В [1] авторы теоретически обосновали и технологически проработали концепцию фундирования применительно к системе высшего педагогического образования по специальности “Математика”. При этом структура глобального фундирования разворачивается по 7 базовым учебным предметам сквозного характера (в течение всех лет обучения): математический анализ, алгебра и теория чисел, геометрия, алгоритмика, стохастика, элементарная математика, технологии профессионально-математической деятельности, которые продолжают и углубляют 7 содержательных линий школьной математики: числовую, функциональную, геометрическую, тождественных преобразований, уравнений и неравенств, стохастическую и информационно-алгоритмическую. Каждая содержательная линия определяет базовые знания, умения, навыки и методы вузовской математики, распределенные по оптимальному набору учебных предметов и дисциплин. Другой срез структуры образуют 3 слоя фундирования:



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Содержание: I. Пояснительная записка стр. 3-4 II. Цель, задачи, этапы реализации программы стр. 5-6 III. Механизм реализации, принципы, формы и методы работы, ожидаемые результаты стр. 7-8 IV. Теоретическое обоснование программы стр. 9-11 V. Методическое обеспечение программы стр. 12-25 VI. Список использованной литературы стр. 26 2 I. Пояснительная записка Каждый исторический период не прост для общества. В настоящее время - самая большая опасность - в разрушении личности. Ныне материальные...»

«ОБ ИЗДАТЕЛЬСКОМ РЕПЕРТУАРЕ ТИПОГРАФИИ Л.А. ГРЕБНЕВА В СТАРОЙ ТУШКЕ О жизни и д е я т е л ь н о с т и Л.А. Гребнева, яркого представителя культурнейших слоев старообрядчества рубежа XIX-XX вв. писалось нема­ 1 ло. Однако и его судьба, и творческое наследие таят в себе еще много не­ познанного. На протяжении почти 20 лет одним из важнейших занятий Л.А. Греб­ нева было книгоиздание для своих одноверцев, старообрядцев федосеевско­ го согласия, сначала нелегально в д. Дергачи Уржумского уезда...»

«Безумие пахаря. Эдвард Фолкнер Сто лет назад чернеющие поля считались неизбежным злом. Сейчас они – повод поехать в Москву и выпросить у президента помощь в связи с чрезвычайным положением в крае. Но они так и не стали нашим прошлым. Овсинский сумел показать свой результат, но был обесценен учёными, видевшими в нём угрозу своему авторитету. Но наблюдательные полеводы есть в каждой стране. Прошло сорок лет, и на другом конце планеты, в США, появился земледелец, идеи которого совпадали со...»

«Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день Наталья Степанова 2 Книга Наталья Степанова. Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Наталья Степанова. Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Наталья Ивановна Степанова Книга-календарь на 2008 год. Заговоры и обереги на каждый день 4 Книга Наталья...»

«Аннотация Статья посвящена возможным направлениям совершенствования системы представления должностными лицами и их родственниками сведений о доходах, имуществе и обязательствах имущественного характера. Рассматривается история внедрения антикоррупционного декларирования в России, анализируются основные недостатки реализуемого подхода к регулированию, предлагаются рекомендации по реформированию системы декларирования. Статья подготовлена на основе доклада НИУ ВШЭ О развитии антикоррупционного...»

«Веселая энциклопедия пищевых растений-целителей Андрей Рябоконь 2 Книга Андрей Рябоконь. Веселая энциклопедия пищевых растений-целителей скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Андрей Рябоконь. Веселая энциклопедия пищевых растений-целителей скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Андрей Александрович Рябоконь Веселая энциклопедия пищевых растений-целителей 4 Книга Андрей Рябоконь. Веселая энциклопедия пищевых растений-целителей скачана с...»

«ПОЭТИКА ЛИРИЧЕСКОЙ ПРОЗЫ И. А. БУНИНА (СБОРНИК РАССКАЗОВ ТЕМНЫЕ АЛЛЕИ) Vedouc magistersk diplomov prce: Vypracovala: Doc. PhDr. Galina Pavlovna Binov, CSc. Bc. Yevheniya Baloh Brno 2009 Prohlen: Prohlauji, e jsem diplomovou prci vypracovala samostatn a vechny podklady, ze kterch jsem erpala, jsou uvedeny v seznamu literatury. V Brn dne 1. 12. 2009 Yevheniya Baloh 2 Upmn dkuji pani doc. PhDr. Galin Povlovn Binov, CSc. za veden magistersk diplomov prce a za jeji velmi laskavou a odbornou pomoc....»

«Психологический аспект истории и перспектив нынешней глобальной цивилизации Санкт-Петербург 2005 г. Страница, зарезервированная для выходных типографских данных © Публикуемые материалы являются достоянием Русской культуры, по какой причине никто не обладает в отношении них персональными авторскими правами. В случае присвоения себе в установленном законом порядке авторских прав юридическим или физическим лицом, совершивший это столкнется с воздаянием за воровство, выражающемся в неприятной...»

«Лавины - прошлое и настоящее И снежных вихрей подъятый молот Бросил нас в бездну, где искры неслись, Где снежинки пугливо вились. А. Блок. Снежная маска Обследовав развалины древнего селения Архыз, мы пришли к выводу, что его разрушили снежные лавины. Поэтому мы решили назвать это древнее селение городом Белой смерти. Г. К. Тушинский. Космос и ритмы природы Земли Лавинные катастрофы. Где падают лавины?Лавинная опасность возрастает. История слова. В маленьком просмотровом зале было тихо - только...»

«1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, авторской программы А.А.Плешакова и М.Ю.Новицкой, планируемых результатов начального общего образования. В настоящее время основные задачи российского образования в целом и начального общего образования в частности можно определить следующим образом: формирование...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.