WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 38 ] --

В дальнейшем развитие ИГС пошло в нескольких направлениях:

• пополнялся набор инструментов геометрических построений (в современных системах они необязательно сводятся к классическим евклидовым построениям: например, можно делить угол на произвольное число равных частей, строить траектории, или геометрические места, движущихся точек и других фигур, выполнять геометрические преобразования);

• появились инструменты для измерения различных геометрических величин;

• добавилась алгебраическая составляющая (выражения, функции, графики, команды для исследования графиков и т.п.);

• расширялся арсенал текстовых и графических средств оформления моделей;

• развивались средства для конвертации моделей в учебные модули: для создания презентаций можно использовать инструменты показа и скрытия фрагментов конструкции, анимации чертежа, а в заданиях – инструменты автоматической проверки ответов;

• совершенствовался интерфейс программ с тем, чтобы облегчить новичкам освоение их основных возможностей, а опытным авторам – разработку более сложных моделей с богатыми обратными связями.

Все эти возможности в полной мере реализованы и в программе “Математический конструктор” (МК), которая со времени выхода ее первой версии (2006 г.) превратилась в ИГС мирового класса. Отметим, что 5-я версия “Математического конструктора” открыта для свободного распространения; ее можно скачать на сайте eorhelp.ru (см. [1]). В настоящее время самой “свежей” Дубровский В.Н. “Математический конструктор” как инструмент учителя является версия МК 5.5 [2]; к концу 2013 г. готовится выпуск МК 6.0 со значительно расширенным функционалом.

2. Место ИГС в учебном процессе. Один из путей внедрения МК (и других ИГС) в учебный процесс – это создание систематических учебных курсов или коллекций материалов для непосредственного использования на уроках и в самостоятельной работе учащихся. Собственно говоря, изначально МК и предназначался для создания учебных модулей к школьному курсу математики. За прошедшие годы выпущено более полудюжины дисков, в которых активно используется МК, в том числе диски серии “1С:Школа”: “Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов” [3] и “Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве” [4], полностью основанные на МК. Но опыт показывает, что действительно широкого применения в школе компьютерные курсы пока не получили, хотя ими пользуется все большее число учителей. Можно указать несколько причин такого состояния дел, но их анализ не входит в задачу этой заметки. Основное внимание мы уделим тому, как преподаватель математики, в том числе и школьный учитель может использовать “Математический конструктор” при проведении занятий, подготовке к ним, в собственном научно-методическом творчестве. Для тех, кто осознал эти возможности, научился использовать МК (что совсем не сложно), эта программа или какие-то другие ИГС становятся незаменимым рабочим инструментом. Такой учитель непременно и постарается научить использованию ИГС своих учеников, и найдет место на своих уроках готовым учебным модулям. Приводимые примеры, в основном, взяты из повседневной работы автора за последнее время.

3. МК как интерактивная доска. Развитие МК стимулировалось в первую очередь практическими пожеланиями разработчиков учебных моделей. Благодаря этому интерфейс и инструментарий МК обогатились многими оригинальными командами и настройками, которые позволяют быстро выполнять наиболее востребованные операции. Проецируя изображение с компьютера на экран, учитель фактически получает удобную интерактивную доску, на которой можно “с чистого листа” легко строить красивые, точные, а главное, динамически изменяемые чертежи любой сложности. Интересный пример использования МК на уроке в этом качестве описан в [5]. Здесь же мы приводим пример, не имеющий прямого отношения к школьной программе, но зато ярко иллюстрирующий богатые возможности МК (рис. 1). Это рисунок к задаче о числе точек пересечения диагоналей правильного n-угольника (при n = 30). Хотя чертеж содержит только точки и отрезки, построить его в графическом редакторе и даже в других ИГС далеко не просто: нужно построить вершины правильного 30-угольника и все их соединить отрезками, т.е. провести отрезков. А с помощью МК этот чертеж строится буквально за полминуты: строим правильный 30-угольник (есть специальный инструмент “Правильный nугольник”), выделяем все его вершины (можно выделять сразу все объекты определенного типа) и одним нажатием клавиши S (или кнопки “Отрезок”) строим сразу все диагонали и стороны.

“Динамичность” чертежа здесь большой роли не играет, зато легко увеличить его масштаб и непосредственно увидеть все возможные кратности точек пересечения диагоналей.

4. МК как редактор рисунков. При подготовке печатных материалов для занятий и презентаций перед их автором встает необходимость изготовления качественных рисунков. Созданную с помощью МК модель можно распечатать непосредственно, экспортировать в различные графические форматы или непосредственно вставить как рисунок в такие редакторы, как MS Word, PowerPoint и др. через буфер обмена. В частности, таким образом изготовлен рис. 1.

5. МК как “черновик” для поиска решений. Названия самых первых ИГС, более 20 лет назад выпущенных в США и Франции независимо, дословно переводятся как “Черновик геометра” (в России русифицированная версия американской программы известна как “Живая Математика”). Это, конечно, не случайно: одну из основных функций этих программ их авторы видели в том, чтобы использовать их как эвристический инструмент для поиска решений геометрических задач. Когда мы решаем задачу на бумаге, мы делаем несколько набросков рассматриваемой фигуры, особенно если условие допускает определенную свободу в построении фигуры; исследуя эти картинки, мы и стараемся найти связи между элементами чертежа и путь к их обоснованию.



Намного более выразительны и информативны динамические чертежи. Рассмотрим для примера задачу 11-й устной геометрической олимпиады 2013 г. [6]:

На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями построены подобные треугольники так, что углы при общей вершин двух соседних треугольников равны (рис. 2).

Доказать, что отрезки KM и LN, соединяющие “удаленные” вершины треугольников, построенных на противоположных сторонах четырёхугольника, равны.

Динамический чертеж к задаче позволяет перемещать вершины четырёхугольника по перпендикулярным прямым и двигать вершину одного из треугольников так, что вместе с ней все треугольники изменяются, оставаясь подобными друг другу. Наблюдая за деформациями фигуры, нетрудно подметить, что оси симметрии пары прямых KM и LN сохраняют направление (а именно, параллельны диагоналям четырёхугольника). Чтобы в этом удостовериться, построим биссектрису одного из углов, образованных этими прямыми, как это сделано на рис. 2. Тогда мы ясно увидим, что при изменении фигуры она остается вертикальной (параллельной AC ).

Это подсказывает следующий шаг – отразить один из отрезков, например, LN, относительно AC (рис. 3) и попытаться доказать, что отраженный отрезок L1 N1 получается из MK параллельным переносом, т.е. что векторы M L1 и KN1 равны. Это действительно несложно сделать с помощью преобразований подобия. Доказательства мы не приводим; нам важно только показать, каким образом “динамичность” чертежа помогает не только найти свойства фигуры, ведущие к решению задачи, но и доказать их.

Дубровский В.Н. “Математический конструктор” как инструмент учителя 6. МК – инструмент исследования. В основе использования МК для исследования свойств математических объектов лежит предоставляемая программой возможность визуализации отношений между элементами конструкции. В простейших случаях, подобных предыдущему примеру, такие отношения и зависимости можно увидеть непосредственно при изменении динамического чертежа, проверяя свои гипотезы измерениями и дополнительными построениями. Но МК предоставляет “математику-экспериментатору” и более изощренные средства исследования, такие как построение “следов” (траекторий) и геометрических мест точек и других геометрических объектов. Эффектный пример использования этой возможности (правда, далекий от школьной программы) – изучение структуры проективных инволюций прямой, т.е. проективных преобразований прямой, обратных самим себе. Такое преобразование однозначно задается двумя парами взаимно соответственных точек A, A и B, B. На рис. 4 показано, как, зная две такие пары, а их можно выбирать произвольно, построить образ C любой точки C (точка P и точка S на прямой A P также выбираются произвольно – результат от этого не зависит).

Перемещая точку C на этом динамическом чертеже можно увидеть, как перемещается ее образ, а перемещения A, A, B и B изменяют само преобразование. Однако эти перемещения мало что говорят о том, как устроена инволюция. Попробуем построить окружность на отрезке CC как на диаметре, а затем – семейство таких окружностей при всевозможных положениях точки C на прямой (разумеется, оно строится с некоторым шагом, который можно регулировать;

соответствующая команда МК называется “Динамический след”).

Результат этого построения показан на рис. 5 – это пучок окружностей (в данном случае гиперболический), хорошо известный в геометрии объект. Отталкиваясь от этого наблюдения и того или иного описания пучка, можно с разных точек зрения описать природу рассматриваемой инволюции. Например, если представить пучок как образ пучка концентрических окружностей при некоторой инверсии, то становится понятно, что данная инволюция сопряжена центральной симметрии при помощи инверсии. А отсюда один шаг и до аналитического описания: порождаемая этой инволюцией функция на прямой должна быть дробно-линейной, точнее, поскольку это инволюция, при подходящем выборе начала координат она должна записываться в самом простом виде: y = k/x. Эту догадку тоже можно подтвердить наглядно – достаточно построить график зависимости координаты точки C от координаты C. Действительно, получается гипербола, показанная на рис. 6.

Изучение нашей конструкции можно продолжить: если передвинуть точки, задающие инволюцию, так, чтобы пары A, A и B, B перемежались, то пучок окружностей из гиперболического станет эллиптическим (пучком окружностей, имеющих две общие точки; они симметричны относительно рассматриваемой прямой), соответственно, мы получим инволюцию другого типа. Но в нашу задачу не входит подробное рассмотрение математического содержания этой модели.

7. МК – инструмент для создания и использования учебных заданий. Хотя в центре нашего внимания в этой заметке использование МК как рабочего инструмента, нельзя обойти вниманием и те возможности, которые дает эта программа непосредственно для преподавания.

Выше уже говорилось, что одной из основных целей при разработке МК было создать своего рода “фабрику” учебных модулей. Важно отметить, что такие модули можно открывать в любом браузере, наличия у пользователя самой программы МК не требуется. Можно выделить три основных типа учебных модулей:

• информационные, содержащие, например, динамические иллюстрации к определениям или презентации доказательств;

• практические, в которых учащийся знакомится с математическими понятиями, открывает свойства фигур или функций через экспериментирование, “игру” с их динамическими • тестовые, в которых нужно выполнить конкретное задание и проверить полученный ответ, будь то текст, число или геометрическое построение.

Имеются обширные коллекции готовых учебных модулей; в частности, более 150 модулей можно загрузить с сайта eorhelp.ru вместе с методическими указаниями к ним.



Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Том 3: Часть 3. Жизнь человечества: толпо-элитаризм — историко-политическая реальность и перспективы (Книга 2) Санкт-Петербург 2010 г. Страница, зарезервированная для выходных типографских данных На обложке репродукция картины М.К. Чюрлниса (1875 — 1911) Rex. Взгляд на не вызывает в памяти слова из Корана: И Он тот, который создал небеса и землю в шесть дней, и был Его трон на воде, чтобы испытать вас, кто из вас лучше в деле (Коран, сура 11. Худ, аят 9 (7) в переводе И.Ю. Крачковского). ©...»

«Управленческая элита как мы ее отбираем и готовим УДК 658.336.8 ББК 65.9(2)30-2 Т19 В. К. Тарасов Управленческая элита: как мы ее отбираем и готовим / В. К. Тарасов. ООО Издательство Добрая книга, 2010. – 496 с. ISBN 978-5-98124-461-2 Имя Владимира Тарасова широко известно специалистам в области менеджмента в России, Украине, Белоруссии, Китае, Японии, США и других странах. Его новая книга посвящена проблемам отбора и подготовки перспективных менеджеров; в ней содержится детальное описание...»

«С. А. Корсун пОлЕвыЕ МАТЕРиАлы пО АлЕУТАМ КОМАНДОРсКих ОсТРОвОв Обособленная группа алеутов Командорских островов давно вызывает пристальный интерес лингвистов, антропологов и этнографов. Первую партию алеутов на Командоры завезли с Алеутских островов в 1825 г., последнюю — в 1872-м. На Командорских островах алеуты жили двумя группами, одна на острове Беринга, другая — на острове Медном. Здесь алеутское селение Преображенское существовало до начала 1960-х годов. В конце XIX в. от участников...»

«Глава 5 КНИЖНЫЕ РЕЕСТРЫ ТАРСКОГО БУНТА 1722 г. 1723 г. июня 3 го дни всепресветлейший державнейший Петр Великий, император и самодержец Всероссийский, будучи в Ыностранной колегии занимался делом, к внешней политике отно шения почти не имевшем. Он рассматривал реестры рукописных и печатных книг, тетрадок и писем, конфискованных в ходе жестокого розыска о бунте, вспыхнувшем в мае 1722 г. в западносибирском го роде Таре. Книг этих, отобранных преимущественно у крестьян и ка заков, было уже на...»

«ГОЛЫЙ КОРОЛЬ Глава 1 Обзор Истории Конопли Cannabis Для удобства чтения этой книги: объяснения, примечания и ссылки  на   документы,   выделенные   звездочкой   (*),   приводятся   в   конце  соответствующего   параграфа.   Для   краткости   ссылки   на   другие  источники, из которых взяты факты, анекдоты, истории, результаты  исследований   и   т.п.,   находятся   непосредственно   в   тексте   или  включены в Приложения в бумажной версии книги. Все события, на  которые   мы   ссылаемся,  ...»

«ЛЮДИ И СУДЬБЫ ОРЕНБУРГСКОГО КРАЯ Славна земля Оренбургская! Прекрасны ее привольные степи, чуден Бузулукский бор. Изобильны природные богатства края. Но наибольшая гордость края - его люди и те, кто был в нем. В истории России, а не только Оренбуржья вписаны имена многих из тех, кто оставил видный след в прошлом и настоящем Оренбуржья. Помочь познать страницы их жизни - такую задачу поставил перед собой автор книги. Через живых деятелей истории глубже и основательней, яснее и ярче, ближе...»

«Аннотация История водки – не занимательная история пьянства. Где впервые появилась водка? Этот вопрос приобрел государственное значение, когда Запад вдруг выступил с отрицанием приоритета России. Исследование В.В.Похлебкина убедительно доказывает: Только водка из России – настоящая русская водка! Содержание КАК И ПОЧЕМУ ВОЗНИКЛА ЭТА КНИГА 9 ВВЕДЕНИЕ 22 Обзор источников и их оценка 28 Часть первая. Происхождение спиртных 31 напитков в России в IX-XV веках и их терминология Глава 1. ТЕРМИНОЛОГИЯ...»

«ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Издание, которое Вы держите в руках - уникально. Информация, содержащаяся в нем - истинна и законна. Полезность этой книги подтверждается простой констатацией нескольких фактов: описанные средства существуют вне зависимости от нашего издания, они вызывают интерес, они могут быть опасны. Поэтому информация из этой области может не только удовлетворить чье-либо любопытство, но и спасти кому-нибудь жизнь. Книга издана исключительно в информационных и развлекательных...»

«Основу книги составляет анализ главных разделов канонического Шариата — мусульманское право, положения, регулирующие торговлю и финансы, налоговую систему, законы о семье и браке, мусульманские обряды и праздники, запреты и наказания. В книге указано также значение Шариата в современном мире, в том числе в России. Комплексно рассмотрены важнейшие положения Шариата, согласно пяти основным мазхабам. Автор книги — известный исламовед, доктор исторических наук, профессор МГУ им. М. В. Ломоносова,...»

«А.М.Вершик То, что А. Д. Александров человек выдающийся, нам стало ясно сразу. На нашем втором курсе ленинградского матмеха он начал читать дифференциальную геометрию в 1952–1953 учебном году, потом, на третьем курсе он читал небольшой курс “Основания геометрии, и позже, уже на пятом, интересный и очень субъективный курс истории математики, который, насколько я помню, ни до, ни после этого он не читал. Вообще на факультете не было потока, которому бы А. Д. читал столько курсов. Это были первые...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.