WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 31 ] --

Более того, можно утверждать, что Как известно, теорема Лейбница является частным случаем теоремы (признака) Дирихле:

ничены:

а числа an образуют монотонную последовательность, сходящуюся к нулю:

Ниже (примеры (1.1), (2.2), (2.3)) приведены примеры рядов, для которых теорема 1 позволяет устанавливать сходимость, а теорема Дирихле неприменима или её применение связано с большими техническими трудностями.

Доказательство 1 (теоремы 1). Доказательство теоремы сводится к рассмотрению под-рядов влетворяет условиям теоремы Лейбница 2; отсюда же следует и оценка (2).

Причём оценку (2) можно улучшить так:

Поскольку знаки остатков под-рядов, составляющих Z(21)-ряд, чередуются, оценку (2) можно улучшить и так:

Оценку (6) будем обозначать Rm : Rm |S Sm | = |Rm |.

В дальнейшем ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 2, будем называть L-рядом, а ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 1 – Z-рядом.

Оценка (6) в общем случае асимптотически неулучшаема, что можно видеть из следующего примера.

Пример 1.1. Пусть последовательность an задана следующим образом:

Легко видеть, что последовательность {|an |} стремится к 0, будучи Z(3)-монотонной, и ряд (1)n an не является L-рядом.

n= Зверкина Г.А. Об одном обобщении признака Лейбница сходится к сумме S = 2 (все слагаемые кроме выделенных рамкой сокращаются). При этом То есть R6k+3 = 2 S6k+3 = 21 + 10k 2k, и при k R6k+3 k (a6k+4 + a6k+6 ).

Однако R6k = 2k1, то есть абсолютная величина остатка ряда колеблется в достаточно широких границах.

Представленный в примере 1.1 ряд, по-видимому, не может быть исследован с помощью признака (теоремы) Дирихле (теорема 3).

2. Условия применимости теоремы Достаточно часто члены ряда представляют собой значения некоторой непрерывной функции в целочисленных точках: an = f (n). Поэтому для исследования сходимости рядов вида в том случае, когда f (x) не является монотонной функцией, естественно распространить понятие Z-монотонности на произвольные функции.

Определение 2. Функция f (x) называется Z(T )-монотонно возрастающей (убывающей) на множестве D (T 0), если x D выполняется f (x + T ) f (x) (соответственно f (x + T ) f (x)).

Однако тот факт, что f (x) является Z(T )-монотонной функцией, не позволяет сделать вывод о том, что последовательность f (n) является Z(k)-монотонной. Действительно, функция (x) = ln x + x sin2 x является Z(2)-монотонно возрастающей при x 0, однако ни при каких натуральных k она не является Z(k)-монотонной. Поэтому приходится ввести понятие сильной Z-монотонности.

Определение 3. Функция f (x) называется Zv-монотонно1 возрастающей (убывающей) на множестве D, если То есть f (x) Zv-монотонна, если она Z(T + )-монотонна для некоторого фиксированного T 0 и произвольного 0. Введём параметр Zv-монотонно возрастающей на множестве D функции:

Z-very-монотонно Аналогично определяется параметр Zv-монотонно убывающей функции.

Если параметр Zv-монотонной функции равен 0, то эта функция монотонна в обычном смысле.

Из определения 2 следует, что для любой Zv-монотонной на множестве D функции f (x) найдётся такая монотонная1 функция (x), что t D значение f (t) лежит между числами (t) и (t + T ), где T P arZv (f (x)), то есть график функции f (x) лежит в полосе между двумя графиками монотонных функций; ширина по горизонтали этой полосы ограничена, но, естественно, она не меньше параметра Zv-монотонной функции. Однако отыскать такую функцию (x) не всегда бывает просто. Поэтому для доказательства Zv-монотонного возрастания функции f (x) достаточно найти две монотонные функции 1 (x), 2 (x), такие, что 1 (x) 2 (x) и T 0 : x D 1 (x + T ) 2 (x + T ) (В этом случае T P arZv (f (x)). Аналогично решается вопрос о Zv-монотонном убывании.

В большинстве случаев определить параметр Zv-монотонной функции довольно сложно, но можно получить оценку этого параметра сверху.

Пример 2.1. Пусть 0 1 и функция p(x) ограничена: |p(x)| M. Несложно показать, что функция (x) = x + p(x)x1 Zv-монотонно возрастает при достаточно больших x.

Действительно, её график заключён в полосу между графиками монотонно возрастающих (при больших x) функций q(x) = x + x1 и r(x) = x x1.

Используя простейшие приёмы математического анализа, можно показать что расстояние по горизонтали между графиками функций q(x) и r(x) не превосходит C(1), C 1 при достаточно больших x. Следовательно, (x) Zv-монотонно возрастает при достаточно больших x; несложно определить и значение её параметра.

дится.

Доказательство 2 (теоремы 4). Найдём нечётное число 2 1 P arZv (f (x)). Последоваn f (n) сходится.

тельность {f (n)} является Z(2 1)-монотонной. Поэтому ряд дует из того, что функция g(x) = x+p(x) Zv-монотонно стремится к 0, поскольку g(x) = (x), где (x) – рассмотренная в примере 2.1 Zv-монотонно возрастающая стремящаяся к бесконечности функция (здесь = 1 ).

То есть ряд (1), обсуждавшийся в начале этого текста, является Z-рядом; последовательность {an } = n+21 n Z(7)-монотонно убывает к нулю (7 2). Значит, остаток ряда Rm = n=m+ Однако эту оценку можно улучшить.

Действительно, x2 g(x) = x+2 cos x x+2, и расстояние (по горизонтали и по вертикали) между прямыми y = x2 и y = x+2 равно 4. Отсюда P arZv (g(x)) 4, и последовательность {an } является Z(5)-монотонно убывающей. Это даёт лучшую оценку для Rm : |Rm | am+1 + am+2 + am+5. Однако можно усмотреть, что при достаточно больших m для ряда (1) |Rm | am+1. То есть оценки (4) и (6) в некоторых случаях могут быть улучшены.



a b D (a) (b).

Зверкина Г.А. Об одном обобщении признака Лейбница 3. О точности оценки остатка L-рядов и Z-рядов.

Давно замечено, что оценка (4) в большинстве случаев даёт очень хорошую точность. Но, поскольку L-ряды, исследование которых иначе как с помощью признака (теоремы) Лейбница невозможно, обычно сходятся довольно медленно, желательно было бы иметь метод уточнения оценок (3) и (6).

Пример 3.1. Для хорошо известного ряда Оценим Rm более точно.

В этом случае остаток ряда монотонно стремится к 0; ошибка оценки (3) составляет примерно половину.

Пример 3.2. Рассмотрим другой L-ряд.

Легко видеть, что при достаточно больших n (n 7 ) an 0 и При этом Оценка остатка ряда (11) соответствии с (3) такова:

точность оценки имеет большой разброс. Удобного соотношения вида |Rn Rn | CRn здесь нет.

В этом случае можно говорить о неудовлетворительной точности оценки (3). Представленный случай имеет некоторое сходство с примером (1.1).

Теорема 5. Если последовательность {an } монотонно убывает стремясь к 0 (an 0) при n n0, и при n n0 выполняется условие an+1 an +an+2, то при m n0 оценка Rm остатка LL (1)n an сравнима с абсолютной величиной остатка Rm этого ряда: 1 Rm Доказательство 3. Поскольку an+1, можно найти такую убывающую дважды дифференцируемую функцию f (x), выпуклую вниз при x n0 (f (x) 0 или f (x) при x n0 ), что an = f (n).

Остаток ряда Аналогично можно получить оценку снизу:

Таким образом, Последнее неравенство важно потому, что теорема 2 Лейбница обычно применяется к рядам с медленно убывающими слагаемыми, и в этом случае неравенство |Rn | 2 an сильнее неравенства |Rn | an+1.

Зверкина Г.А. Об одном обобщении признака Лейбница Следствие 2. Для Z(p)-ряда (p = 2 1) an(21)+m (n = 1, 2,..., и m фиксировано) удовлетворяют условиям теоремы 5, можно предложить такую оценку остатка ряда: заметив, что Последняя оценка, скорее всего, неинтересна: правая часть неравенства почти всегда будет отрицательна.

шить, учитывая, что в этом случае Если же, в дополнение к этому, окажется, что при n для любого фиксированного k выполнено an an+k, то можно утверждать, что при m Rm 1 am.

Примечания Теорема 1 может иметь многие естественные обобщения.

Это обозначает, что члены каждого из составляющих Z-ряд L-рядов убывают медленнее геометрической прогрессии со знаменателем 0,5. Учитывая, что теорема 2 Лейбница применяется, в основном, к условно сходящимся и медленно сходящимся рядам, такое предположение вполне уместно.

Так, например, назовём ряд an знакопериодическим, если m : n n0 sign (an ) = sign (an+m ) (как всегда, sign x = 1, если x 0 и sign x = 1, если x 0). В этом случае, если последовательность {|an |} является Z(m)-монотонно стремящейся к 0, то ряд an сходится, и оценки его остатков могут быть получены по теореме 1. Это утверждение эквивалентно тому, что при дополнениии рассматриваемого ряда нулевыми под-рядами его можно превратить в Z-ряд, то ряд сходится.

Более того, возможно применение теоремы 1 при исследовании операций с расходящимися рядами. Однако это – тема для других публикаций.

1. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст]/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 2001. – Т.2.

Глава Теория и методика обучения математике в школе и вузе Модель формирования математической компетентности будущих психологов М.Б. Аржаник, Е.В. Черникова В настоящее время в России происходит реформирование системы образования. Современный образовательный процесс ориентирован на развитие основных компетенций личности и на формирование профессиональной компетентности. Математическая компетентность является значимым компонентом профессиональной компетентности будущих специалистов. Это обусловлено тем, что математический аппарат все в большей степени востребован в психологии, экономике, лингвистике и других областях науки.

Для гуманитарных направлений высшего образования актуальна проблема формирования математической компетентности. С одной стороны, при изучении математики у студентов возникает много трудностей, которые зачастую обусловлены недостаточной базовой подготовкой, отсутствием навыков систематической самостоятельной работы. С другой стороны, проблема состоит в том, что студенты-гуманитарии не осознают важности изучения математики. Это заблуждение наиболее опасно для психологов, поскольку в их профессиональной деятельности задействованы различные области знаний, не только гуманитарные.

Необходимость обучения математике психологов обусловлена следующим:

• Психология – не только практикоориентированная область знаний. Это фундаментальная наука, которая, как и любая другая, требует корректных логических схем исследования.

Необходимо выдвижение гипотезы, доказательство утверждений (часто – с помощью статистических методов), проведение логически правильных рассуждений. Значит, необходимы математические методы.

• Психология имеет направленность на эмоциональную, психическую, духовную сферы личности и традиционно пользуется результатами наук гуманитарного цикла. Однако психологи в своей профессиональной деятельности получают количественные данные, которые подлежат обработке и осмыслению. Отсутствие выстроенного абстрактно-логического мышления приводит к интуитивным, эмоциональным рассуждениям, что мешает в работе психолога.

• Современная психология функционирует не только в гуманистической, но и в естественнонаучной парадигмах. Психологи должны понимать естественнонаучные принципы функционирования человека, так как их основная задача – найти причину дисфункции личности.

Для этого необходимо представлять частоту встречаемости, биологические предпосылки, что требует системного анализа, синтеза. Этим ментальным операциям учит математика.

Таким образом, чтобы будущая деятельность психологов была более успешной, у них должна быть сформирована математическая компетентность. Для этого математическую подготовку психологов следует рассматривать как целостную систему, все компоненты которой участвуют в ее формировании. Чтобы реализовать такую систему, нужно сначала разработать ее модель.

Рассмотрим основные элементы разрабатываемой модели, представленной на рис. 1. Прежде всего, уточним понятие и определим структуру данной компетентности.



Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«В самом сердце России, за Уралом седым есть земля, что зовём мы Зауральем своим Дорогие земляки, уважаемые гости! В 1150-летней истории Государства Российского достойное место занимает наше родное Зауралье. Ещё в 16-ом веке смелые и сильные духом люди пришли на эту землю, обустроили её, поняв и оценив важность, государственную и стратегическую значимость этих мест. Мы – современники - дорожим делами и заслугами своих предшественников, стремимся беречь, возрождать и преумножать оставленное ими...»

«МАКС И. ДАЙМОНТ. ЕВРЕИ, БОГ И ИСТОРИЯ МАКС И. ДАЙМОНТ. ЕВРЕИ, БОГ И ИСТОРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭТО ПРОИЗОШЛО ОДИН-ЕДИНСТВЕННЫЙ РАЗ В ИСТОРИИ! I глава: ПОРТАТИВНЫЙ БОГ ВЕЛИКОЕ ВИДЕНИЕ НЕСГОВОРЧИВЫЙ ПРОРОК СУДЬИ, ЦАРИ И УЗУРПАТОРЫ РЕЛИГИЯ В УПАКОВКЕ II глава: ЭПОХА АПИКОРСИМ ОЧАРОВАТЕЛЬНАЯ И СОБЛАЗНИТЕЛЬНАЯ КУЛЬТУРА БОРЬБА, ЗАКОНЧИВШАЯСЯ ПОРАЖЕНИЕМ РИМ, ЦЕЗАРИЗМ И ВОССТАНИЕ ПОБЕДОНОСНОЕ СЛОВО НОВЫЙ КУРС ДЛЯ ДИАСПОРЫ III глава: МОИСЕЙ, ИИСУС И ЦЕЗАРЬ МЕССИЯ И ЕГО АПОСТОЛ ЦЕРКОВЬ-ПОБЕДИТЕЛЬНИЦА IV глава:...»

«История мировой экономики. Шпаргалка Мария Клочкова 2 Книга Мария Клочкова. История мировой экономики. Шпаргалка скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Мария Клочкова. История мировой экономики. Шпаргалка скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Мария Сергеевна Клочкова История мировой экономики. Шпаргалка 4 Книга Мария Клочкова. История мировой экономики. Шпаргалка скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 1 РАЗВИТИЕ...»

«2010 Старец Паисий Святогорец Старец Косма Этолийский Наставления Письма Пророчества Вёрстка 090613.indd 1 14.06.2009 18:00:52 УДК – заказать в РГБ ББК – заказать в РГБ 2010 Афонский календарь для чтения Старец Паисий Святогорец и старец Косма Этолийский: Наставления, письма, пророчества. Библиографическое описание - Заказать в РГБ. Календарь основан на поучениях современного нам подвижника старца Паисия (Эзнепидиса) и великого православного святого равноапостольного Космы Этолийского. Их...»

«Валентине Николаевне Ярской, первопроходцу социальной работы в постсоветской России НУЖДА И ПОРЯДОК: история социальной работы в России, ХХ в. Сборник научных статей Под редакцией П. В. Романова, Е. Р. Ярской-Смирновой САРАТОВ ЦСПГИ Издательство Научная книга 2005 ББК 60.5 Н88 Издание осуществлено при поддержке Фонда Фольксваген Рецензенты: д-р ист. наук проф. Г. В. Лобачёва д-р социол. наук проф. Т. И. Черняева Нужда и порядок: история социальной работы в Н88 России, XX в.: Сб. науч. ст. / Под...»

«ЛЕКЦИЯ по дисциплине Военно-полевая терапия Тема: Предмет и задачи военно-полевой терапии Учебная группа: студенты БГМУ Обсуждена на заседании кафедры 4 марта 2010 г., протокол № 10 I. Учебные и воспитательные цели: Учебная цель: ознакомить слушателей с историческими аспектами становления военно-полевой терапии как науки. Осветить исторические аспекты ее развития, вклад российских и советских ученых в ее становление. Дать характеристику современных особенностей развития военно-полевой терапии...»

«СибиРСКий СбоРниК — 3 НАРОДЫ ЕВРАЗИИ В СОСТАВЕ ДВУХ ИМПЕРИЙ: РОССИЙСКОЙ И МОНГОЛЬСКОЙ Санкт-Петербург 2011 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_03/978-5-88431-227-2/ © МАЭ РАН УДК 39(571.1/.5) ббК 63.5(253) C34 Утверждено к печати Ученым cоветом Музея антропологии и этнографии имени Петра Великого (Кунсткамера) РАН Рецензенты: д-р ист. наук Ю. Ю. Карпов, канд. ист. наук С. В. Дмитриев Сибирский...»

«В книге в обобщенном виде излагается исторический путь Оренбуржья с древнейших времен до наших дней. В отличие от прежних подобных изданий в этом учебном пособии значительные события и факты освещаются в связи с деятельностью многих известных в истории края личностей. Книга адресована учителям и учащимся средних учебных заведений и студентам Оренбургской, Челябинской областей и Башкирии. ВВЕДЕНИЕ Оренбуржье - удивительный край. Мы любим его просторы, реки, раздольные степи и леса, бодрый...»

«ФАРИД АЛЕКПЕРЛИ ТЫСЯЧА И ОДИН СЕКРЕТ ВОСТОКА Том II Баку Нурлан - 2008 Печатается по решению заседания ученого совета Института рукописей им. Мухаммеда Физули НАН Азербайджана от 9 июня 2008 г. за № 6 Научный редактор: Ю.Б.Керимов доктор фармацевтических наук, профессор Алекперли Фарид. Тысяча и один секрет Востока. Том II. Баку, Нурлан, 2008, 426 С (второе, исправленное и дополненное издание). В настоящей книге обобщены сведения древних и средневековых источников о древней медицине, истории...»

«Банда гаечного ключа Эта книга, несмотря на ее художественную форму, базируется исключительно на исторических фактах. Все в ней подлинно или произошло в действительности. И все это началось всего год тому назад. Э. Э.,Волчья Нора, Аризона ПАМЯТИ: Нэда Лудда. сумасшедший, живший около 1779 года, который в приступе ярости разгромил два здания, принадлежавших лейстерширскому чулочнику. - Оксфордский универсальный словарь Долой всех королей, кроме Короля Лудда. Байрон ОГЛАВЛЕНИЕ Введение. Дуглас...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.