WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 27 ] --

Рассмотрим однопараметрическое семейство уравнений aµ A2,r : x = a2 (t)x2 + a1 (t)x + переменных x = ctg z переводит уравнение a Пусть z(t, u, µ) – его решение, удовлетворяющее начальному условию z(0, u, µ) = u. Тогда (aµ ) = lim z(t, u, µ)/t. Используя уравнения в вариациях, нетрудно убедиться, что zµ (1, u, 0) = 1 0 eb(t) cos2 z(t, u, 0) dt, где b(t) – некоторая непрерывная функция. Поэтому u zµ (1, u, 0) 0. Отсюда и из иррациональности (a0 ) = (a) = согласно [9] следует, что (aµ ) возрастает в точке µ = 0. Потому для любого 0 существует µ1, при котором aµ1 a r, а (aµ1 ) – рационально. Получили противоречие, из которого следует, что при иррациональном все уравнения из A негрубые.

6. Бифуркации замкнутых траекторий. Рассмотрим однопараметрическое семейство уравнений aµ : x = a(t, x, µ), |µ|, где a(t, x, µ) = a2 (t, µ)x2 + a1 (t, µ)x + a0 (t, µ), а коэффициенты ai (·, ·) C 2. Число вращения (aµ )непрерывно зависит от µ. Если уравнение aµ имеет 1-периодическое решение, то число вращения (aµ ) = 0.

Теорема 5. Пусть уравнение a0, имеет 1-периодическое решение p(t)с характеристическим показателем 0 := 0 (a (t, p(t), 0)dt = 0 и Тогда найдется такое число (0, ], что при µsgnk 0 уравнение aµ имеетв R1 R/Z ровно две замкнутые траектории – устойчивую и неустойчивую, лежащие в R R/Z, апри µsgnk число вращения (aµ ) = 0.

Утверждение теоремы можно интерпретировать следующим образом. Реальная система, описываемая уравнением Риккати aµ, находящаяся при µsgnk 0 в режиме периодических колебаний с конечной амплитудой, при µ = 0 теряет устойчивость. Тогда при дальнейшем изменении параметра µ в системе возникают периодические и почти периодические колебания с “бесконечными” амплитудами.

1. Ройтенберг, В.Ш. О грубости и бифуркациях полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [Текст]/ В.Ш. Ройтенберг// Исследования нелинейных динамических систем: Межвуз. сб. науч. тр. – М.: РОАТ МГУПС, 2012. – Вып.3. – С. 138-145.

2. Ройтенберг, В.Ш. О грубости и первой степени негрубости обобщенных уравнений Абеля с периодическими коэффициентами [Текст]/ В.Ш. Ройтенберг// Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. – Ярославль: ЯГТУ, 2012. – Вып.8. – С. 26-38.

3. Ройтенберг, В.Ш. О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами [Текст]/ В.Ш. Ройтенберг// Ярославский педагогический вестник. – 2012. – Т.III. – №3. – С. 16-21.

4. Плисс, В.А. О числе периодических решений уравнений с полиномиальной правой частью [Текст]/ В.А. Плисс// Доклады АН СССР. – 1959. – Т.127. – №5. – С. 965-968.

5. Sotomayor, J. Generic one-parameter families of vector elds on two-dimensional manifolds [Текст]/ J. Sotomayor// Publ. Math. IHES. – 1974. –V.43. – P. 5-46.

6. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст]/ В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1978.

7. Сахаров, А.Н. О бифуркациях периодических решений комплексных полиномиальных дифференциальных уравнений [Текст]/ А.Н. Сахаров, Е.А. Сидоров// Вестник ННГУ. –2004. – Вып.1(2). – С. 159-170.

8. Лефшец, С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений [Текст]/ С. Лефшец. – М.:

ИЛ, 1961.

9. Hermann, M. Mesure de Lebegue et nombre de rotation [Текст]/ M. Hermann// Lecture Notes in Mathematics. –1971. – V.597. – P. 371-395.

Задачи на суммирование по p-адическим нормам, p-адические числа Е.Т. Шавгулидзе, Н.Е. Шавгулидзе Часть 1. Суммирование по p-адическим нормам.

При изучении геометрических прогрессий со школьниками в классах с углубленным изучением математики полезно разобрать задачи на суммирование геометрических прогрессий по pадическим нормам и свойства p-адических чисел. Задачи такого типа разбираются на занятьях в СУНЦ МГУ. Они позволяют учащимся взглянуть на эту тему с неожиданной для них стороны, расширяют их кругозор и вызывают заметный интерес школьников.

Пусть p – простое число.

Определение. Если рациональное число r не равно нулю, то представим его в виде r = m pk, где m, n, k – целые числа, m 0, причем числа n, m не делятся на p. Тогда p-адической нормой числа r называется число |r|p = pk.

Если же r = 0, то |r|p = |0|p = 0.

Определение. Суммой ряда a1 + a2 + a3 +... + an +... по p-адической норме называется рациональное число S, если последовательность |S (a1 + a2 + a3 +... + an )|p является бесконечно малой, то есть стремится к нулю.

Пример 2. Найти сумму ряда 10 + 50 + 250 +... + 2 · 5n +... по p-адической норме при p = 5.

Шавгулидзе Е.Т., Шавгулидзе Н.Е. Задачи на суммирование по p-адическим нормам, p-адические числа Решение. Найдем частичную сумму ряда, то есть сумму nпервых членов ряда sn = 10 + 50 + 250 +... + 2 · 5n. Так как sn является суммой первых n членов геометрической прогрессии, то по формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии находим Положим S = 5. Тогда последовательность является бесконечно малой, следовательно, сумма ряда равна S = 5, то есть 5 = 10 + 50 + 250 +... + 2 · 5n +... по p-адической норме при p = 5.

Пример 3. Найти сумму ряда 2 14 + 98 686 +... + 2 · (7)n +... по p-адической норме при p = 7.

Решение. По формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии получим Положим S = 4. Тогда последовательность является бесконечно малой, следовательно, сумма ряда равна S = 1, то есть 1 = 2 14 + 98 686 +... + 2 · (7)n +... по p-адической норме при p = 7.



1. Найти сумму ряда 2 10 + 50 250 +... + 2 · (5)n +... по p-адической норме при p = 5.

2. Найти сумму ряда 3 + 6 + 12 + 24 +... + 3 · 2n +... по p-адической норме при p = 3.

3. Найти сумму ряда 2 + 3 + 8 +... + 2 2 +... по p-адической норме при p = 2.

4. Найти сумму ряда 1 7 + 16 +... + 7 +... по p-адической норме при p = 2.

Часть 2. p-адические числа.

Определение. Пусть p – простое число. Будем называть p-адическими числами последовательности вида то есть последовательности чисел от 0 до p 1, бесконечно продолжающиеся влево и имеющие конечное число элементов после запятой.

p-адическое число можно также представлять в виде бесконечной суммы Если n = 0, то a называется целым p-адическим числом.

Норма p-адического числа a равна |a|p = pn, при n 0. При n = 0, если ak – ненулевая цифра с наименьшим индексом, то |a|p = pk.

Например, |(...1112, 34)|5 = 52 = 25, |(...1110000)|5 = 54 = 625.

p-адические числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. При сложении мы двигаемся справа налево, складывая сначала коэффициенты при меньших степенях, и, если получаем число большее p 1, то добавляем единичку к следующему разряду. То есть действуем так, как при обычном сложении в столбик.

Пример 4. p = 5, a = (...22224, 4), b = (...111133, 33):

Получили число c = (...333413, 23). Более короткая запись сложения напоминает обычное сложение в столбик:

Пример 5. p = 7, a = (...6666), b = (...0001):

Получили число c = (...0000).

Вычитание: найдем p-адическое число c = a b, такое что a = b + c. При вычитании pадических чисел мы также двигаемся справа налево, вычитая сначала коэффициенты при меньших степенях, и, если получаем отрицательное число, то забираем единичку из следующего разряда. То есть действуем так, как при обычном вычитании в столбик. Приведем примеры при p = 7.

Пример 6. p = 7, a = (...6666600, 6), b = (...44444, 111):

Получили число c = (...2222123, 456). Более короткая запись вычитания напоминает обычное вычитание в столбик:

Пример 7. p = 7, a = (...0000), b = (...0001):

Действительно, если мы сложим (...0001) и (...6666), то получим (...0000).

Умножение также напоминает обычное умножение в столбик.

Пример 8. При p = Шавгулидзе Е.Т., Шавгулидзе Н.Е. Задачи на суммирование по p-адическим нормам, p-адические числа Деление разобрано в примерах 15, 16 и 17.

Покажем, как можно связать рациональные и p-адические числа.

Любое натуральное число a можно однозначно представить в виде Получаем p-ичную запись числа a: a = ak...a2 a1 a0. p-адическое число, соот-ветствующее числу a:

(...000ak...a2 a1 a0 ).

Соответственно, p-адическому числу такого вида (имеющую конечное число ненулевых элементов до запятой и не имеющую элементов после запятой) мы сможем однозначно сопоставить натуральное число.

Любое положительное число вида a = pn, m, n N можно однозначно представить в виде Получаем p-ичную запись числа a: a = ak...a2 a1 a0 a1 a2...al. p-адическое число, соответствующее числу a : (...000ak...a2 a1 a0, a1 a2...al ).

Соответственно, p-адическому числу такого вида мы сможем однозначно сопоставить положительное рациональное число.

Пример 9. При p = 3 числу a = 32 = 10 2 = 1 · 9 + 0 · 3 + 1 + 3 соответствует p-адическое число (...000101, 2). Обратный перевод: p-адическому числу (...00022, 22) соответствует число a = Отрицательное число вида a = b = pk, m, k N переводим в p-адическое следующим образом: находим p-адическое число, соответствующее числу a, и вычитаем его из нуля:

0 = (...00000). (При этом, мы “занимаем” единичку из каждого последующего разряда, можно интуитивно считать, что мы “занимаем” единичку на бесконечности.) Таким образом, мы находим p-адическое число a, такое что a + b = 0. Причем, это p-адическое число имеет вид (...(p 1)(p 1)(p 1)(p 1)ak...a2 a1 a0, a1 a2...al ).

Соответственно, p-адическому числу такого вида мы сможем однозначно сопоставить отрицательное рациональное число. Для этого нужно вычесть его из нуля (...0000), тогда мы получим p-адическому число вида (...000ak...a2 a1 a0, a1 a2...al ) и мы можем однозначно сопоставить ему положительное рациональное число а. Соответственно, исходному p-адическому числу мы сопоставляем a.

Пример 10. При p = 3 числу a = 1 соответствует p-адическое число (...0001). Числу a = соответствует p-адическое число (...0000) (...0001) = (...2222). Действительно, если мы сложим (...0001) и (...2222), то получим (...0000).

Пример 11. При p = 3 числу a = 17 5 = 1 · 9 + 2 · 3 + 2 + 1 + 9 соответствует p-адическое число (...000122, 12). Числу a = 17 9 соответствует p-адическое число (...0000) (...000122, 12) = (...222100, 11).

Пример 12. При p = 5 p-адическому числу (...44400) соответствует отрицательное число.

Заметим, что (...0000) (...44400) = (...0000100), причем числу (...0000100) соответствует число a = 1 · 52 + 0 · 5 + 0 = 25. Следовательно, числу (...44400) соответствует число 25.

Если a – произвольное положительное рациональное число, то сопоставить ему p-адическое число немного сложнее. Для начала представим его в виде a = m pk, m, n N, p, m и n попарно взаимно просты, k – целое. Найдем его p-адическую норму: |a|p = pk. Если k 0, то наше число будет иметь вид a = (...a1 a0, a1...ak ), если k 0, то a = (...ak+1 ak 0...0). Мы уже умеем находить p-адическое число, соответствующее числу b = an = pk. Таким образом, находим p-адические числа, соответствующие b и n, и из уравнения a n = b находим поочередно ai, двигаясь справа налево.

Если a – произвольное отрицательное рациональное число, то описанным выше способом находим p-адическое число, соответствующее а, и вычитаем его из нуля.

· 2 = 1 и |a|3 = 30, то, обозначив a = (...a2 a1 a0 ), получаем Находим a0. Оно может равняться 0, 1 или 2. Нам подходит только a0 = 2. То есть, При умножении 2 на a0 единичка переходит в следующий регистр. Поэтому, для a1 получаем a1 · 2 + 1 = 0 + 3 · k1 Нам подходит только a1 = 1, k1 = 1, единичка переходит в следующий регистр. Далее, a2 · 2 + 1 = 0 + 3 · k2. Нам подходит только a2 = 1, k2 = 1. Таким образом, мы получаем a = (...1112).

Пример 14. При p = 7 имеем:



Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«ДУХОВНО-РЕЛИГИОЗНЫЕ ОСНОВЫ КАПИТАЛИЗМА ИД Кислород Москва, 2013 УДК 330.342.14-029:27 ББК 65.01 К 29 Катасонов В. Ю. К 29 Религия денег. Духовно-религиозные основы капитализма. — М.: Кислород, 2013 — 408 с.: с иллюстрациями. Предлагаемая книга впервые за сто с лишним лет с мо­ мента выхода в свет работ немецких социологов Макса Ве­ бера и Вернера Зомбарта возвращается к фундаментальному осмыслению религиозно-духовных корней современного ка­ питализма. Автор подвергает критическому анализу...»

«Легенды моего народа – великих оджибвеев Под редакцией Сельвина Дьюдни Перевод с английского С. Педченко, 2006 Введение Более предприимчивый читатель должно быть проигнорировал эти страницы и уже приступил с некоторым удивлением и возможно трепетом к птенцам громовых птиц с их глазами мерцающими так же ярко, как вспышки молний. С него достаточно того, что я расчистил перевозы вдоль пути по незнакомому миру Моррисо, которые приблизят его ко всем важным элементам ландшафта. Другие, однако, станут...»

«ПАТРИАРХ РОССИЙСКОЙ ПСИХОЛОГИИ Москва, Ярославль, 2010 2 Институт Психологии Российской Академии Наук Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова Международная Академия Психологических Наук ПАТРИАРХ РОССИЙСКОЙ ПСИХОЛОГИИ (Краткий справочник результатов творческой, научной и учебной деятельности профессора Ярославского государственного университета В.В. Новикова) Москва, Ярославль, 2010 3 УДК 159.98 ББК 88.4 К592 Козлов В.В. Патриарх российской психологии. Краткий справочник...»

«И. А. ШИШОВА РАННЕЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО И СТАНОВЛЕНИЕ РАБСТВА В АНТИЧНОЙ ГРЕЦИИ ЛЕНИНГРАД Н А У К А ЛЕНИНГРАДСКОЕ О Т Д Е Л Е Н И Е 1991 Книга посвящена одному из наиболее сложныхп д о и в р е в истории древней Греции, когда закладывались основы грече­ ского полиса. Она вносит существенный вклад в изучение ос­ новных закономерностей развития рабовладельческого общества. Рассматриваются результаты деятельности древних законодате­ лей, заложивших основы полисной государственности, а также связь...»

«Типография Т-ва И. Д. Сытина, Пятницкая ул., с. д. Москва — 1905 С. Сытинъ Предисловие к интернет-изданию. В 1905 г., в Москве, в издательстве И. Д. Сытина вышла книга Древний город Галич Костромской губернии – первая обзорная историческая книга о Галиче. До неё был очерк Галич П.П.Свиньина 1831 года, статья священника церкви Козьмы и Демьяна Симеона Кострова Галич и его уезд 1849 г., а также работа В.А.Самарянова Город Галич Костромской губернии в начале XVII в. 1877 г., но такой большой...»

«'V v ;y 7, r, V/ • i •: Рядом. Щ : Я.И.В А В И Л О В Ы М !, '/-1. •* '• - V • • г • а /.. Л.•..• • :• 1 •• ‘ 'Г. История Санкт-Петербургского университета в виртуальном...»

«Проблемы теории государства и права Учебно-практическое пособие Рекомендовано экспертным советом по дистанционному образованию Института экономики, управления и права в качестве учебно-практического пособия для системы высшего и дополнительного образования КАЗАНЬ 2006 I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Авторы программы: к.ю.н., доцент Краснов А.В. (Темы 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10). Окончил Казанский государственный университет по специальности Юриспруденция в 1996г. с отличием. Обучался в аспирантуре при...»

«Издание 3-е, исправленное и дополненное. Лейся, песня, на просторе. (Из кинофильма Семеро смелых) Стихи А. АПСАЛОНА, музыка В. ПУШКОВА. Лейся, песня, на просторе, Не скучай, не плачь, жена, Штурмовать далеко море Посылает нас страна. Курс на берег невидимый, Бьется сердце корабля. Вспоминаю о любимой У послушного руля. Буря, ветер, ураганыТы не страшен, океан: Молодые капитаны Поведут наш караван. Мы не раз отважно дрались, Принимая вызов твой, И с победой возвращались К нашей гавани, домой....»

«Лекция Существуют писатели, которые вошли в историю русской литературы, русской культуры прежде всего своими произведениями. Задумываясь о их роли в истории отечественного самосознания, задумываясь о их значении для литературного процесса, мы обращаемся прежде всего к их книгам. Конечно, наc интересует их биография, но это интерес носит, так сказать, внекультурный характер. Таковы Тургенев, Фет, в какой-то степени Достоевский. Но есть писатели совсем другого типа. Есть писатели, которые стали...»

«Вы отправитесь в увлекательное путешествие по туристским тропам региона, познакомитесь с культурой и бытом казацких поселений, местами боевой славы, посетите древние монастыри, побываете в природных парках, узнаете об особенностях национальной рыбалки и охоты и даже сможете оказаться в аномальных зонах. Путеводитель призван помочь как гостям, так и жителям нашего региона быстро и правильно сориентироваться на местности, грамотно спланировать досуг. И конечно, в книге содержатся необходимые...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.