WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 26 ] --

2. Приведенные уравнения Риккати. Как известно ([4], а также теорема 2 настоящей работы), если уравнение a A+ имеет 1-периодические решения, то сумма их кратностей равна двум. Поэтому A+ = C0 C1 C2, где Ci – множество уравнений из A+, имеющих i различных 1-периодических решений. Ясно, что уравнения a и a из A+ (точнее соответствующие автономr ные системы (2)) топологически эквивалентны в R R/Zтогда и только тогда, когда они оба принадлежат одному из множеств Ci. Кроме того, множества C0 и C2 открыты в A+.

Теорема 1. 1) Множества Ci (i = 1, 2, 3) связны. 2) Множество C1 является вложенным аналитическим подмногообразием в A+ коразмерности один.

Доказательство. Выберем произвольное уравнение Ясно, что существует такое число N 0, что Рассмотрим однопараметрическое семейство уравнений Покажем, что при любом µ [0; 1] aµ не имеет замкнутых траекторий и потому принадлежит C0. Если при некотором µ [0; 1] aµ не имеет замкнутых траекторий, то найдется такое число d 0, что любая траектория уравнения aµ пересекает, причем трансверсально, окружности x = d и x = d. Поэтому множество M0 тех µ [0; 1], при которых уравнение aµ не имеет замкнутых траекторий открыто в [0; 1] и содержит нуль. Если множество [0; 1]\M0 не пусто, то оно содержит наименьший элемент µ0 0. Пусть aµ0 имеет замкнутую траекторию L, соответствующую 1-периодическому решению p(t). Пусть x(t, u, µ) – решение уравнения aµ, удовлетворяющее начальному условию x(0, u, µ) = u. Так как p(t) x(t, p(0), µ0 ), то при µ достаточно близких к µ0 в некоторой окрестности точки p(0) в R определена функция последования по траекториям уравнения aµ : P (·, µ) := x(1, ·, µ). Ясно, что L негрубая траектория и потому – двойной цикл, к которому -предельны траектории, лежащие в области {(x, s) : x p(t)} и -предельны траектории, лежащие в области {(x, s) : x p(t)}. Но тогда P (u, µ0 ) = u + ku2 + o(u2 ), где k 0. Из уравнения в вариациях имеем Pµ (u0, µ0 ) 0. Поэтому при µ достаточно близких к µ0 и µ µ функция последования имеет неподвижные точки, а уравнение aµ имеет замкнутые траектории.

Но это противоречит выбору µ0. Поэтому M0 = [0; 1], что нам и требовалось показать.

Рассмотрим однопараметрическое семейство уравнений Ввиду (4) любое решение x(t) уравнения aµ является возрастающей функцией, и потому не периодично. Следовательно, µ [0; 1]aµ C0.Аналогично aµ C0, где aµ : x = x2 +(1µ)N +µ. Так как a0 = a1, a0 = a1, a0 = a, а уравнение a1 совпадает с уравнением x = x2 + 1, то уравнение a и уравнение x = x2 + 1 можно соединить в C0 путем. Таким образом, C0 линейно связно.

Докажем связность C2.

Пусть q(t) – 1-периодическая C r -функция. Диффеоморфизм g : RR RR, заданный формулой g(x, t) = (x q(t), t), индуцирует гомеоморфизм g : A+ A+, переводящий уравнение (1) в уравнение Пусть уравнение a C2, p(t) – его 1-периодическое решение. Возьмем в определении g функцию q(t) = µp(t) и рассмотрим семейство уравнений aµ = g (a) C2, µ [0; 1]. Уравнение a0 совпадает с a, а уравнение a1 имеет вид x = x2 + (a1 (t) + 2p(t))x. Так как его периодическое решение x = 0 однократное, то характеристический показатель 0 := 0 (a1 (t) + 2p(t))dt = 0. Рассмотрим линейное уравнение Его характеристический показатель (µ) = (1 µ)0 + µsgn0 = 0. Поэтому уравнение (5) имеет ровно одно периодическое решение q1 (t). Для любого t0 R решение y(t) уравнения (5), удовлетворяющего начальному условию y(t0 ) = 0, имеет производную y(t0 ) = 1; поэтому t q1 (t) = 0.

Сделав в (5) замену переменных x = 1/y, получим уравнение Ройтенберг В.Ш. О грубости и бифуркациях уравнений Риккати с периодическими коэффициентами имеющее при всех µ [0; 1] два различных периодических решения x = 0 и x = 1/q1 (t), и потому принадлежащее C2. При µ = 0 оно совпадает с a1, а при µ = 1 имеет вид x = x2 +(sgn0 )x. Таким образом, каждое уравнение a C2 соединяется в C2 путем с одним из уравнений a± : x = x2 ± x.

Уравнения aµ : x = (x 1 + µ)(x + µ), µ [0; 1] образуют путь в C2, соединяющий a с a+.

Поэтому C2 – линейно связно.

Пусть a C1. Как и в случае C2, получаем, что a соединяется в C1 путем с уравнением 1, имеющим вид x = x2 + a (t)x. Так как x = 0 – двукратное периодическое решение, то его характеристический показатель 0 a (t)dt = 0. Но тогда при любом µ [0; 1] у уравнения µ 2 +(1µ)a (t)x x = 0 – также периодическое решение с характеристическим показателем (1 µ)a (t)dt = 0, то есть aµ C1. Таким образом, a соединяется в C1 путем с уравнением a1 : x = x2, то есть C1 линейно связно.

То, что C1 является вложенным аналитическим подмногообразием коразмерности 1, доказывается по той же схеме, что и соответствующее утверждение для общих векторных полей на двумерных многообразиях, имеющих двукратную замкнутую траекторию [5].

3. Уравнения Риккати на компактификациях R R/Z. Общее уравнение Риккати (1) естественно рассматривать на R R/Z, где R – компактификация R.

2 := R {, +} – двухточечную компактификацию R. Превратим R2 в одно- Обозначим R мерное аналитическое многообразие с краем, взяв в качестве карт (R, h1 ), h1 (x) := x, ((0, +], h2 ), h2 (x) := 1/x при x (0, +) и h2 (+) := 0, ([, 0), h3 ), h3 (x) := 1/x при x (, 0) и h3 () := 0. Конечно, R2 диффеоморфно отрезку числовой прямой.

Аналогично одноточечная компактификация R1 := R{}множества действительных чисел, превращается в аналитическое многообразие, диффеоморфное окружности.

При замене координат y = 1/x, s система (2) переходит в систему Тем самым, система (2) в R R/Z и система (6), рассматриваемая как в (0, +] R/Z так и в [, 0) R/Z задают динамическую систему (векторное поле) на цилиндре R2 R/Z. Ее траектории будем называть траекториями уравнения Риккати в R2 R/Z.



Особыми точками уравнения a A2,r в R a (s0 ) 0(a (s0 ) 0), то особая точка (+, s0 )((, s0 )) является целой траекторией. Если a (s0 ) 0 (a (s0 ) 0), то особая точка (+, s0 )((, s0 )) – внутренняя точка траектории.

Аналогично определяются траектории уравнения Риккати на торе R1 R/Z. Выберем дифПусть p : R R/Z – стандартная проекция. Пусть z = z(t), s = t феоморфизм : R/Z R – поднятие траектории уравнения a A2,r с помощью накрывающего отображения ( p, p) :

R R R1 R/Z. Тогда определено число (a) := lim z(t)/t, не зависящее от выбора дифt феоморфизма и траектории уравнения, – число вращения уравнения a [6]. При рациональном (a) = m/n, где m/n – несократимая дробь, уравнение a имеет на R1 R/Z замкнутые траектории периода n, а при иррациональном (a) и r 2 все траектории почти периодические и всюду плотны в R1 R/Z.

В [7] рассматривались траектории полиномиальных уравнений на торе при другом способе одноточечной компактификации R.

4. Замкнутые траектории в R2 R/Z.

Теорема 2. Либо 1) существуют числа c d такие, что все траектории уравнения Риккати в R2 R/Z, проходящие через точки (x, 0), x [c; d], замкнуты, причем траектории, проходящие через точки (c, 0) и(d, 0), содержат особые точки, либо 2) уравнение имеет не более двух замкнутых траекторий. Если в случае 2) хоть одна из замкнутых траекторий принадлежит R R/Z, то сумма их кратностей равна двум.

5. Грубость уравнений Риккати. Обозначим 0 A2,r – множество уравнений a A2,r, r 1, имеющих в R1 R/Z только гиперболические замкнутые траектории.

Обозначим также 0 A2,r – множество уравнений a A2,r, r 1, траектории которых в R R/Z удовлетворяют следующим условиям: 1) все замкнутые траектории принадлежат R R/Z и являются гиперболическими, 2) все особые точки простые, 3) любая траектория не содержит более одной особой точки.

Уравнение a A2,r назовем грубымв R1 R/Z (соответственно в R2 R/Z) если существует такая окрестность U (a) уравнения, что для любого уравнения a A2,r существует гомеоморR/Z (соответственно R2 R/Z) переводящий траектории уравнения a в R1 R/Z (соответственно в R Аналогично [2-3] доказывается Теорема 3. Множество уравнений a A2,r, r 1, грубых в R2 R/Z, совпадает с 0 A2,r.

Рассмотрим теперь уравнения Риккати на торе R1 R/Z. Пусть A – подмножество A2,r, состоящее из уравнений с числом вращения. Для любого это множество не пусто: оно содержит уравнение x = (x2 + 2 2 )sgn. Все траектории этого уравнения при рациональном замкнуты, а при иррациональном почти периодичны и всюду плотны.

Теорема 4. 1) Множество 0 A2,r открыто и состоит из уравнений, грубых в R1 R/Z. 2) уравнения из A являются негрубыми.

Доказательство. 1. Утверждение 1) очевидно.

2. Пусть a Am \0 A2,r, m Z. Так как число вращения целое, то уравнение имеет хотя бы одну замкнутую траекторию; при этом любая замкнутая траектория пересекает трансверсаль s = const в единственной точке. Так как решения x(t,, u), x(,, u) = u, уравнения a и решения y(t,, u), y(,, u) = u, соответствующего уравнения (7) аналитически зависят от u [8], то либо (А) все траектории уравнения a замкнуты, либо (Б) уравнение имеет конечное число замкнутых траекторий с конечной кратностью. Пусть в случае (Б) N – сумма кратностей замкнутых траекторий. Покажем, что для любого 1 0 существует уравнение a Am, a a r 1 такое, что в случае (А) оно имеет гиперболическую замкнутую траекторию, а в случае (Б) сумма кратностей его негиперболических замкнутых траекторий меньше чем у a. Пусть 0 – замкнутая траектория a, проходящую через точку (u0, 0). Обозначим p(t) – решение уравнения a, удовлетворяющее начальному условию p(0) = u0. Пусть оно определено на отрезке [0, ], 0 1. Возьмем такую 1-периодическую C r -функцию q(t), что q(t) = p(t) при всех t [0, ]. По функции q(t) построим, как и выше, диффеоморфизм g : R1 R/Z R1 R/Z, g(x, t) = (x q(t), t) при x R, a (t) = 0 при t [0, ]. Так как число вращения уравнения a такое же, как и у a, то замкнутая траектория L0 = g(0 ) уравнения a состоит из двух дуг: L = {0} [ 0, ] и L R2 [, 1].

неотрицательная 1-периодическая C r -функция, c(t) = 0 при t [, 1], L0 – также замкнутая траектория.

Пусть x(t, u, µ) – решение уравнения aµ, удовлетворяющее начальному условию x(0, u, µ) = u.

Тогда для u и µ достаточно близких к нулю x(t, u, µ) определено при t [0, ] и x(t, 0, 0) = 0 при этих t. При u и µ достаточно близких к нулю определена функция последования по траекториям уравнения aµ : u P (u, µ), P (0, µ) = 0, при этом P (u, µ) аналитически зависит от (u, µ) и P (·, µ) = S Tµ, где Tµ : u x(, u, µ), а S не зависит от µ. Предположим, что L0 – негиперболическая замкнутая траектория a, то есть Pu (0, 0) = 1. Из уравнений в вариациях получаем при µ Следовательно, Pu (0, µ) = S (0)(Tµ ) (0) S (0)(T0 ) (0) = Pu (0, 0) = 1, то есть L0 – гиперболическая замкнутая траектория уравнения aµ. Соответственно 0 – гиперболическая замкнутая траектория уравнения aµ = g1 (µ ). Выбрав µ достаточно малым будем иметь aµ a r 1, а Ройтенберг В.Ш. О грубости и бифуркациях уравнений Риккати с периодическими коэффициентами число гиперболических замкнутых траекторий у aµ больше чем у a. В случае (Б) при µ достаточно близких к нулю сумма кратностей замкнутых траекторий у aµ не больше N, поэтому сумма кратностей негиперболических замкнутых траекторий у aµ меньше чем у a. Таким образом, мы можем взять a = aµ.

Докажем плотность 0 A2,r Am в Am.Возьмем уравнение a Am \0 A2,r.Зададим и найдем, согласно доказанному выше, уравнение a Am, a a r /2, имеющее гиперболиr ческую замкнутую траекторию. Пусть N – сумма кратностей замкнутых траекторий уравнения a. Взяв 1 = /2N и повторяя приведенную выше конструкцию не более N раз, получим уравнение a Am, a a r, все замкнутые траектории которого гиперболические, то есть то есть принадлежащее 0 A2,r. Таким образом, 0 A2,r Am всюду плотно в Am.

3. Предположим, что иррационально, а уравнение a A грубое. Тогда существует такое число 0, что любое уравнение a A2,r, a a r, топологически эквивалентно на торе R1 R/Z уравнению a и также имеет иррациональное число вращения.



Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Оглавление: Предисловие Абхазцы Школьные годы, лошади и женщины Зухаль Дервиш ордена Бекташи Лейла и поиски сокровища Женитьба на Мэйзи Переселение в Канаду События в Ванкувере Суфизм Фамильная тамга рода Яган Ф. Искандер. Тоска по Родине В. Чирикба. Абхазский мудрец из Вернона Предисловие Перед вами автобиография и история духовного путешествия. Я не считаю, что родиться абхазцем и воспитываться в племени, имеющем свою аристократию, - это какая-то особенная удача. Я решил рассказать и об этом...»

«Рекомендательный указатель литературы Календарь знаменательных и памятных дат г. Сортавала выходит ежегодно с 2008 года. Настоящий выпуск содержит перечень дат на 2013 год. Его цель - обратить внимание на наиболее значительные и интересные даты из истории экономической и культурной жизни г. Сортавала. Даты расположены в прямом хронологическом порядке по месяцам. В конце перечня выделен раздел Даты без указания числа и месяца, где освещены события, хронология которых установлена лишь в пределах...»

«УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки Магистров Д.ф.н., проф. Николаева С.Ю. 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине М2.В.ДВ.1 КНИГА В ИСТОРИИ КУЛЬТУРЫ (II курс магистратуры) Направление 035000 (М) Издательское дело _Редакционная подготовка изданий_ (название специализированной программы подготовки магистров) Обсуждено на заседании кафедры Составитель: 3 07 2012 г. Протокол № 11 К. ф. н., доц. Е.Г. Кирьянова _ Зав. кафедройРедькин В.А. Тверь 2012 1 1. Пояснительная записка...»

«ОБ АВТОРАХ Уорвик Брей — преподаватель американской археологии в Лондонском...»

«ЛЕНИН ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ 51 ПЕЧАТАЕТСЯ ПО ПОСТАНОВЛЕНИЮ ЦЕНТРАЛЬНОГО КОМИТЕТА КОММУНИСТИЧЕСКОЙ ПАРТИИ СОВЕТСКОГО СОЮЗА ИНСТИТУТ МАРКСИЗМА-ЛЕНИНИЗМА ПРИ ЦК КПСС В. И. ЛЕНИН ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА • 1970 ИНСТИТУТ МАРКСИЗМА-ЛЕНИНИЗМА ПРИ ЦК КПСС В. И. ЛЕНИН ТОМ 51 Письма Июль 1919 ~ ноябрь 1920 ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА • 1970 3К2 11 2 70 VII ПРЕДИСЛОВИЕ В пятьдесят первый том Полного собрания сочинений В. И....»

«ПОСОБИЕ ДЛЯ ЗВОНАРЕЙ (из опыта практической работы) ВОРОНЕЖ 2006  Колокололитейный завод Анисимова В.Н. Коллектив авторов. Пособие для звонарей (из опыта практической работы). Воронеж,2006. – 44 с. Издание содержит ряд статей, затрагивающих проблемы организации звонов, подборов и развески колоколов, устройства колоколен и ряд других вопросов в области практического прменения колоколов. Предназначается начинающим и практикующим звонарям, а также всем, интересующимся православными колокольными...»

«REPRESENTATIONS OF THE OTTOMANS IN THE RUSSIAN ORIENTALIST DISCOURSE IN THE FIRST HALF OF 19TH CENTURY Marina KASUMOVA 1 ABSTRACT The paper analyzes the main factors of European origin Orientalist discourse and the corresponding practices, current trends in the study of Eastern societies, study the process of formation and transformation in the Russian discourse representations of images of the East and the Ottoman Empire by means of concepts Asian luxury, Oriental eloquence and Eastern wisdom....»

«ЦИВИЛИЗАЦИИ: теория, история, диалог, будущее В двух томах Том II Будущее цивилизаций и геоцивилизационные измерения Москва Институт экономических стратегий 2006 УДК 930.85+008 ББК 63.3(0) К 89 Кузык Борис Николаевич — доктор экономических наук, член корреспондент РАН, директор Института экономических стратегий Яковец Юрий Владимирович — доктор экономических наук, академик РАЕН, президент Международного института Питирима Сорокина — Николая Кондратьева ISBN 5 93618 103 0 (Т. II) © Б. Н. Кузык,...»

«А.М.Вершик То, что А. Д. Александров человек выдающийся, нам стало ясно сразу. На нашем втором курсе ленинградского матмеха он начал читать дифференциальную геометрию в 1952–1953 учебном году, потом, на третьем курсе он читал небольшой курс “Основания геометрии, и позже, уже на пятом, интересный и очень субъективный курс истории математики, который, насколько я помню, ни до, ни после этого он не читал. Вообще на факультете не было потока, которому бы А. Д. читал столько курсов. Это были первые...»

«КОНЦЕПЦИЯ КОГНИТИВНОЙ ИСТОРИИ: ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЕСТО В СТРУКТУРЕ СОВРЕМЕННОГО ГУМАНИТАРНОГО ЗНАНИЯ, ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ: материалы круглого стола, посвященного 90-летию со дня рождения профессора Ольги Михайловны Медушевской 13 октября 2012 года. в Российском государственном гуманитарном университете прошел Круглый стол Концепция когнитивной истории: интеллектуальные источники, место в структуре современного гуманитарного знания, перспективы развития, посвященный 90-летию со дня...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.