WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 25 ] --

Невозвратность некоторых типов возбужденных случайных блужданий Ю.А. Малышкин Теория случайных блужданий является важной частью теории вероятностей. В ее рамках можно выделить разнообразные направления исследований (см., например, [4] и [5]). В настоящей работе изучаются возбужденные случайные блуждания. Отличительной особенностью таких блужданий является наличие определенной конечной памяти о прошлом процесса в каждой вершине. Понятие возбужденного случайного блуждания впервые было введено в [3]. Существуют различные модели таких блужданий (см., например, [1-3]). В [2] авторами рассматривалась модель, в которой пространство Zd разбивалось на непересекающиеся уровни. Шаг блуждания по соответствующему уровню осуществлялся после достижения определенного числа посещений вершины, в которой блуждание находится в данный момент. В [2] авторами ставился вопрос о невозвратности блужданий такого типа. В общем случае можно ввести последовательность размерностей k1,..., kl, таких что l ki = d, которая задает разбиение Zd на уровни. Заметим, что невозвратi= ность блуждания по некоторому подмножеству уровней влечет невозвратность во всей модели.

Поэтому, если для некоторого i 1, l ki 3, то соответствующее блуждание невозвратно. Мы изучаем случай, когда для некоторых i = j ki = kj = 2. В этом случае достаточно (для доказательства невозвратности) рассматривать блуждание только по Z4. Данная модель была введенна в [2], и наш главный результат является обобщением теоремы, полученной в этой статье.

Определим случайный процесс T = {Tn, n Z+ } со значениями в Z4 следующим образом.

Если T посещает вершину решетки Z4 впервые в момент n, то мы прибавляем к первым двум координатам Tn случайный двумерный вектор с распределением µ1, не зависящий от прошлого процесса T до момента n. В противном случае (если процесс T уже посещал соответствующую вершину ранее) случайный двумерный вектор с распределением µ2 прибавляется к последним двум координатам Tn. Таким образом, процесс T задается формулами:

где Gn = {T0,..., Tn }.

В дальнейшем нам потребуется следующее эквивалентное представление процесса T.

Пусть A = {An, n Z+ } и B = {Bn, n Z+ } - независимые случайные блуждания по Z с началом в начале координат, порожденные распределениями µ1 и µ2 соответственно. Положим Z0 = (A0, B0 ) и Zn = (Arn, Bnrn ), n N, где rn - число различных вершин, посещенных процессом Z до момента n. Введем En = {Z0,..., Zn }. Покажем, что Tn = Zn по распределению. Для этого достаточно доказать, что распределения векторов (Z1 Z0,..., Zn Zn1 ) и (T1 T0,..., Tn Tn1 ) совпадают. Последнее эквивалентно равенствам P(Tn+1 Tn = (x, (0, 0))|Gn, Tn {T0,..., Tn1 }) = P(Zn+1 Zn = (x, (0, 0))|En, Zn {Z0,..., Zn1 }) для любого x Z2 и P(Tn+1 Tn = ((0, 0), y)|Gn, Tn {T0,..., Tn1 }) = P(Zn+1 Zn = ((0, 0), y)|En, Zn {Z0,..., Zn1 }) Малышкин Ю.А. Невозвратность некоторых типов возбужденных случайных блужданий для любого y Z2. Докажем первое из них (второе доказывается аналогично). Заметим, что Zn {Z0,..., Zn1 } равносильно равенству rn+1 = rn + 1. Найдем P(Zn+1 Zn = (x, (0, 0))|En, Zn {Z0,..., Zn1 }) = P(Zn+1 Zn = (x, (0, 0))|En, rn+1 = rn + 1) = P(Arn+1 Arn = x, Bn+1rn+1 Bnrn = (0, 0)|En, rn+1 = rn +1) = P(Arn+1 Arn = x|En, rn+1 = rn +1).

Осталось убедится, что Arn +1 Arn и En независимы ({rn+1 = rn + 1} En ). Положим Am = {A0,..., Am, B0,..., Bn,...}. При этом приращение Am+1 Am не зависит от Am. Заметим, что rk является марковским моментом относительно фильтрации {Am } (поскольку верность равенства rk = l определяется значениями A1,..., Al и B1,..., Bkl ). Следовательно, Arn +1 Arn и Arn независимы. Учитывая, что En Arn получим требуемое равенство.

Введем некоторые обозначения для случайных блужданий по Zd (подробнее см. [4], стр. 10 и 17). Определим Pd как класс симметричных неприводимых распределений (т.е. распределений, носитель которых не содержится в собственных подрешетках Zd ) на Zd, имеющих конечный носитель. Обозначим Pd - класс распределений, порождающих апериодичные неприводимые случайные блуждания по Zd. Введем подкласс Pd класса Pd, состоящий из распределений векторов с конечными вторыми моментами компонент.

Сформулируем основной результат статьи.

Теорема 1. Пусть распределения µ1 и µ2 входят в класс P2 P2. Тогда процесс T – невозвратный.

Вначале получим вспомогательные результаты.

{Xi, i N} - последовательность независимых случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (, F, P) и принимающих значения в Z2 в соответствии с распределением p.

Для x Z2 положим p(x) := p({x}) и pn (x) := pn ({x}) = P(Wn = x). Если p P2 P2, то по Предложению 2.4.4 и Теореме 2.1.3 из [4] получим где c 0 есть некоторая константа. Мы будем использовать следующую норму в R2, соответствующую распределению p на Z2 :

где - ковариационная матрица вектора с распределением p и t обозначает операцию транспонирования. Так как в евклидовом пространстве все нормы эквивалентны, то существуют константы c1, c2 0 такие, что где || · || - норма евклида.

Нам потребуется следующая оценка для rn.

Лемма 1. Существует (0, 1) такое, что для любого M 0 найдется константа C = C(M ) 0, для которой Доказательство.

Доказательство леммы основано на тех же идеях, что и доказательство леммы 1 в [2], поэтому мы его опускаем.

Лемма 2. Пусть U – случайное блуждание по Z2 с началом в нуле и симметричным распределением p P2 P2. Тогда для t [n/(ln n)3, 2n) Доказательство. Для p P Таким образом, с вероятностью 1 + o(1/ ln n) случайное блуждание U выйдет за границу круга радиуса n1/2 /(ln n)3 к моменту t n/(ln n)3. Рассмотрим случайное блуждание S = {Sk, k Z+ } по Z2, где S0 = x, x Z2, Sk = i=1 Xi и {Xi, i N} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в Z2 и распределением p P2 P2. Для i 0 введем i = min{2n + 1, inf{k 0 : i ||Sk || i + 1}}. Оценим P(0 m ), где m = [||x||(ln ||x||)4 ].



было определено в (2).

Поскольку E||Xi ||2, то существует константа C 0 такая, что m2 P(||Xi || m) C/ при всех m N. Отсюда Рассмотрим случайные величины Xi = Xi I{||Xi || m}, i N. Обозначим p - распределение X1. Из невырожденности распределения p для достаточно больших m следует невырожденность распределения p, и значит p P2 (так как оно симметрично, и для достаточно больших m его носитель порождает Z2 ). Будем использовать для p следующие обозначения (аналогичные обозначениям для p). Положим Sk = x+ k Xi, k N, = E(X1 X1 ) больших m определена следующая норма J (y) = |y t ( )1 y|1/2 на R2. Также введем функцию Заметим, что Используя вложение {S = (0, 0)} = {S = (0, 0), 2n} {S = (0, 0)} прийдем к неравенству Введем последовательность Mj = a (Sj ). Найдем E(a (Sj+1 )|Fj ).

где перестановка предела и интегрирования возможна в связи с равномерной сходимостью (т.к.

|Xj+1 | m).

Малышкин Ю.А. Невозвратность некоторых типов возбужденных случайных блужданий Учитывая независимость Fj и Xj+1, имеем Используя симметричность распределения p, видим, что Следовательно, для E(a (Sj+1 )|Fj ) получим, что E(a (Sj+1 )|Fj ) = lim Поэтому Mj = a (Sj ) является субмартингалом. Проверим выполнение условий опциональной теоремы об остановке (см., например, теорему 2 в параграфе 2 главы 7 из [6]). По предложению 2.4.5 из [4] вероятность, что блуждание S не выйдет за пределы круга радиуса 2m с центром в точке x до момента j не превосходит Cecj/m, где C, c - некоторые положительные константы, следовательно E. Теперь покажем, что |Mj+1 Mj | C п.н. для некоторой константы C.

Из теоремы 4.4.4 из [4] вытекает, что a (x + k) a (x) c(k). Положим C = C(m) = max|k|m c(k).

Тогда По опциональной теореме об остановке получим:

Теорема 4.4.4 из [4] влечет где D = D(p ) - некоторая константа и = 1/((det )1/2 ). Из (2) вытекает, что если J (S ) m, то ||S || m/c2 и J (S ) c1 |S | c1 m/c2. Следовательно, Из соотношений S = S 1 + X, J (S 1 ) m и J (X ) c2 ||X || c2 m получаем неравенство Заметим, что для достаточно больших m выполнено E(a (S )|J (S )) 0. Таким образом, для достаточно больших m имеем Комбинируя (5)-(7) приходим к неравенству При m = [||x||(ln ||x||)4 ] справедлива оценка m/J (x) ln ||x||/c1. Учитывая, что P(S = (0, 0)) = P(0 m ), для m = [||x||(ln ||x||)4 ] имеем при n Таким образом, мы приходим к оценке Также выполнено где C 0 - некоторая константа. Применяя Предложение 2.1.2 из [4] (для s = C ln n), получаем Комбинируя (3), (9) и (10), мы прийдем для t [n/(ln n)3, 2n) к следующим неравенствам P((0, 0) {U[t],..., U2n }) P ||U[t] || n1/2 /(ln n)3 +P (0, 0) {U[t],..., U2n }, ||U[t] || n1/2 /(ln n) o((ln n)1 ) + P (0, 0) {U[t],..., U2n }, [||U[t]||(ln ||U[t]||)4 ] 2n, ||U[t] || n1/2 /(ln n) +P [||U[t]||(ln ||U[t]||)4 ] 2n, ||U[t] || n1/2 /(ln n)3 = o((ln n)1 ) + O (ln ln n/ ln n) + O((ln n)1 ) Доказательство завершено.

Теперь перейдем к доказательству теоремы 1.

Доказательство. Положим rmin (n) = [C(3)n/(ln n)2 ]0, rmax (n) = [n]0, где C(3) и константы, определенные в лемме 1, и [a]0 обозначает наимельшее четное число, превосходящее a.

Используем схему, применяемую в [2]. Докажем невозвратность блуждания в нуле. С учетом леммы Бореля-Кантелли нам достаточно доказать, что Нам потребуется следующее предложение Предложение 1. Существует константа C 0 такая, что для любого n N Доказательство. Используя представление Tn = (A(rn ), B(n rn )), где A и B независимы, получим P((0, 0, 0, 0) {Tn,..., T2n }) = P({(0, 0) {A(rn ),..., A(r2n )}}{(0, 0) {B(nrn ),..., B(2nr2n )}}) P({(0, 0) {A([n/(C ln n)2 ]),..., A(2n)}} {(0, 0) {B([n]),..., B(2n)}}) + o(nM ) Таким образом, мы свели задачу к двумерному случаю. Теперь предложение следует из Леммы Ройтенберг В.Ш. О грубости и бифуркациях уравнений Риккати с периодическими коэффициентами Заметим, что доказательство верно и при наличии любой конечной конфигурации посещенных вершин. В этом случае оценки для rn исменятся на константу (равную числу вершин в конфигурации), что не повлияет на применение Леммы 2. Из этого, в частности, следует невозвратность блуждания в произвольной точке Z2. Теорема 1 доказана.

Автор благодарит профессора А.В. Булинского за ценные замечания и доцента А.П. Шашкина за полезные обсуждения.

1. Antal, T. The excited random walk in one dimension [Текст]/ T. Antal, S. Redner// J. Phys. A:

Math. Gen. 38, 2555-2577, 2005.

2. Benjamini, I. A Balanced Excited Random Walk [Текст]/ I. Benjamini, G. Kozma, B. Schapira// Comptes Rendus Mathematique volume 349, n 7-8, 459-462, 2011.

3. Benjamini, I. Excited random walk [Текст]/ I. Benjamini, D.B. Wilson// Electron. Comm. Probab.

8 (electronic), 86-92, 2003.

4. Lawler, G.F. Random Walk: a Modern Introduction [Текст]/ G.F. Lawler, V. Limic// Cambridge Studies in Advanced Mathematics 123, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

5. Спитцер, Ф. Принципы случайного блуждания [Текст]/ Ф. Спитцер. – М.: Мир, 1969.

6. Ширяев, А.Н. Вероятность [Текст]/ А.Н. Ширяев; 3-е изд. – М., 2004.

О грубости и бифуркациях уравнений Риккати с периодическими коэффициентами В.Ш. Ройтенберг 1. Введение. В работах автора [1-3] изучались грубость и бифуркации полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами при n 3. Здесь мы рассмотрим случай n = 2, то есть уравнения Риккати Аналогично [2] обозначим A2,r – множество уравнений вида (1) с 1-периодическими коэффициентами ai C r ( r 0). Будем рассматривать A2,r как банахово пространство с нормой уравнений Риккати, для которых a0 (t) 1, обозначим A+.

Уравнение a A2,r определяет автономную систему на цилиндре R R/Z. Ее траектории будем называть траекториями уравнения a в R R/Z.



Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«НИКОЛА ПЕТРОВ Перевод с болгарского А. М. Корсун Предисловие и общая редакция кандидата психологических наук В. А. Елисеева Москва Прогресс 1986 www.koob.ru Редактор Н. В. ЩУКИН В книге обобщен накопленный по самовнушению материал, который рассматривается с позиций марксистско-ленинской философии, психологии, этики. Автор обращает внимание на древневосточные учения, которые в очищенной от мистики форме могут помочь овладеть собственными психическими реакциями. Редакция литературы по психологии...»

«Адольф Л. Харстад (Adolph L. Harstad) Комментарий на Книгу Иисуса Навина Из цикла библейских комментариев Concordia Commentary Series Лютеранская церковь – Миссурийский синод, США © Евангелическое Лютеранское Служение, перевод на русский язык, 2006. Перевод с английского Виктора Генке Редактор Яна Айзетова Введение Место и послание Книги Иисуса Навина в Писании Включение Книги Иисуса Навина в канон Книга Иисуса Навина — шестая каноническая книга Ветхого Завета. Каноничность таковой основывается...»

«АУКЦИОН № 11 РЕДКИЕ КНИГИ ПО ИСТОРИИ РОССИИ: ОТ РЮРИКОВИЧЕЙ ДО РОМАНОВЫХ ЧАСТНОЕ СОБРАНИЕ, САНКТ ПЕТЕРБУРГ 21 февраля 2013 года, 19:00 Москва, Никитский пер., д. 4а, стр. 1 · 1 МОСКВА, 21 ФЕВРАЛЯ 2013 Предаукционный показ с 14 по 20 февраля 2013 года (с 10:00 до 20:00, кроме понедельника) по адресу: Москва, Никитский пер., д. 4а, стр. 1 (м. Охотный ряд) Справки, заказ печатных каталогов, телефонные и заочные ставки по тел.: (495) 926 4114, (985) 969 7745 или по электронной почте:...»

«2 графические описания Примеры географических описаний: дневники и отчеты экспедиций, очерки путешественников, художественные произведения о путешествиях и путешественниках, книги об исследованиях природы. Картографический метод Картографический метод. Его значение для получения, обработки, передачи и представления географической информации. Классификация карт....»

«НЕМЦЫ В САНКТ-ПЕТЕРБУРГЕ БИОГРАФИЧЕСКИЙ АСПЕКТ XVIII–XX вв. Выпуск 7 Санкт-Петербург 2012 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_05/978-5-88431-208-1/ © МАЭ РАН ББК 63.3(2) УДК 94(470.23-25):929(=112.2)17/21 Н50 Утверждено к печати Ученым советом МАЭ РАН Рецензенты: к.и.н. А.А. Алимов, к.и.н. Ю.В. Бучатская Н50 Немцы в Санкт-Петербурге: Биографический аспект. XVIII–XX вв. Вып. 7 / Отв. ред. Т.А....»

«Книга империи Сергей Вейс, Алиса Касиляускайте, Константин Михайлов, Анастасия Шевелева Кос-тха-ни 452 год правления IV династии Худдов Москва 2011 — версия 2013 Это произведение доступно по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike (Атрибуция — Некоммерческое использование — С сохранением условий) 3.0 Непортированная. Вступление Зачем нужна эта книжка? Казалось бы, в Книге игрока и Книге домов есть вся информация, которая может понадобиться для создания персонажа и...»

«ЧЖУД-ШИ памятник средневековой тибетской культуры Ответственные редакторы кандидат медицинских паук С. М. Николаев, доктор исторических наук Р. Е. Пубаев Чжуд-ши — классический источник тибетской медицины, в котором собран многовековой опыт тибетских лекарей, использовавших в своей практике достижения медицинских систем Индии, Китая и других стран. Излагаются основные положения тибетской медицины, представлены теоретические установки и лекарственное сырье. Впервые на русском языке описаны...»

«Трансформации политических систем и историческая память: опыт Германии и России Сборник статей Уте Даниель, Манфред Хильдермайер, Бернд Фауленбах, Бианка Пиетров-Эннкер, Аркадий Цфасман, Ян Фойтцик и Алейда Ассман 2014 Уте Даниель Первая мировая война как эпохальный перелом немецкой истории.3 Манфред Хильдермайер Россия в 1917 г.: революционный разрыв или неразрывность модерна?.15 Бернд Фауленбах Перелом 1945–1949 гг. как веха и ключевой момент немецкой и европейской истории...25 Бианка...»

«Санкт-Петербург 2013 г. Колпино, кладбище, 5-я аллея, братская могила Братская могила советских воинов, погибших в борьбе с фашистами Координаты для GPS (WGS 84): Название памятника в Каталоге объектов культурного N 59° 44' 57.070'' E 30° 37' 19.384'' наследия (памятников истории и культуры) народов Расположение: Российской Федерации (ОКН): http://www.kulturnoe-nasledie.ru г. Колпино, кладбище, 5-я аллея. Код памятника в Каталоге ОКН: Описание: http://www.kulturnoe-nasledie.ru На мемориальных...»

«Основы социологии _ Постановочные материалы учебного курса Том 3: Часть 3. Жизнь человечества: толпо-элитаризм — историко-политическая реальность и перспективы (Книга 2) Санкт-Петербург 2010 г. На обложке репродукция картины М.К. Чюрлёниса (1875 — 1911) Rex. Взгляд на неё вызывает в памяти слова из Корана: И Он тот, который создал небеса и землю в шесть дней, и был Его трон на воде, чтобы испытать вас, кто из вас лучше в деле (Коран, сура 11. Худ, аят 9 (7) в переводе И.Ю. Крачковского). ©...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.