WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 24 ] --

Как хорошо известно, [1], колмогоровская концепция основания теории вероятности состоит в понятии случайной величины () как измеримой действительнозначной функции, определенной на множестве – так называемом множестве элементарных событий. При этом, на множестве задана система подмножеств (событий) B, называемая -алгеброй событий, и действительнозначная мера P, определенная на множествах B, B B имеем 0 p(B) 1.

Очевидно, что эта концепция позволяет рассматривать многочисленные обобщения значений вероятностных мер p(B).

П. 2. Впервые понятие абстрактных вероятностей было опубликовано в [2], но позже оно уточнялось в [3, 4]. Случай p-адических вероятностей рассматривался в [6]. В определение топологического вероятностного множества в настоящей работе впервые добавлена новая аксиома.

Очевидно, что предполагаемое абстрактное вероятностное множество P должно иметь две бинарные операции (умножение и сложение), иметь нулевой (o) и единичный (l) элементы, и обладать некоторыми свойствами обычных вероятностей из отрезка [0, 1].

Определение 1 [3]. Некоторое множество P с операциями умножения () и сложения (+) будет называться вероятностным множеством или множеством абстрактных вероятностей (абстрактные вероятности), если выполнены следующие свойства:

a) Умножение () есть бинарная ассоциативная и коммутативная операция с l (единица в P ).

Очевидно, единичный элемент единственен в P b) Сложение (+) определено не для каждой пары, P. Если суммы ( + ) и ( + ) + определены в P,,, P, то имеет место равенство:

т.е. + тоже определено (свойство ассоциативности).

Кроме того, выполнено условие коммутативности, которое предполагает, что если + определено в P, то и + определено в P и при этом + = +.

Операция (+) предполагает существование нулевого элемента o, такого что P сумма + o определена и равна. Очевидно, o – единственный элемент с таким свойством.

c) Свойство дистрибутивности. Если для некоторых, P сумма ( + ) определена, Максимов В.М. Случайные величины с абстрактными и многомерными вероятностями (Заметим, что сумма + может быть определена, но + не определено. Например, это справедливо даже и для обычных числовых вероятностей).

d) Свойство неразложимости нуля. Если + определено в P и + = o, то = = o.

Из неразложимости нуля следует интуитивно понятное свойство: если вероятность множества A равна нулю, то и каждое его подмножество имеет вероятность ноль, e) Свойство дополнительности до l. Для каждого P существует единственный элемент P, такой что + = l. Элемент называется дополнительным элементом к f) Вероятностная версия аксиомы Архимеда в теории действительных чисел. Для P, = 0, существует натуральное k () такое, что сумма + +... + (k () раз) g) Условие Колмогорова Уравнение x = x2 имеет только два решения в P : x1 = o, x2 = l.

g’) Расширенное условие Колмогорова. Уравнение x = x2 имеет конечное число решений g”) Бесконечное условие Колмогорова, когда уравнение x = x2 имеет бесконечное число Определение 2. Пусть P1, P2,..., Ps – некоторые вероятностные множества. Тогда декартово произведение P = P1 P2... Ps будем называть декартовым произведением вероятностных множеств P1, P2,..., Ps, если в P, как обычно, для (1,..., s ) P введены операция умножения и операция суммирования если суммы (i + i ) определены в Pi для всех i, i = 1, s. Тогда элемент o = (o1,..., os ) есть нуль в P и l = (l1,..., ls ) есть единица в P.

Очевидно, декартово произведение P вероятностных множеств P1,..., Ps есть снова вероятностное множество с расширенным условием Колмогорова.

Мы имеем два основных естественных примера вероятностных множеств.

Во-первых, это множество действительных чисел отрезка [0, 1] с которого мы списали свойства абстрактного вероятностного множества. Во-вторых, это конечное вероятностное множество, описанное в [5].

Очевидно, простейшее вероятностное множество состоит из двух элементов: {o, l} = B1.

Предложение 1. Всякое конечное вероятностное множество представляется в виде Bs = Пусть E (P ) есть множество всех идемпотентных элементов e, e P. Очевидно, что o, l E (P ) и E (P ) есть мультипликативная полугруппа. Если в P выполнено условие Колмогорова, то E (P ) содержит только o и l. Если в P выполнено расширенное условие Колмогорова, то E (P ) имеет s элементов, s 2. Идемпотенты e1 и e2 называются ортогональными, если e1 e2 = o.

Предложение 2. Множество идемпотентов E (P ) относительно операций в P является вероятностным множеством.

Если E (P ) конечно, то оно является конечным вероятностным множеством и, как отмечалось, описано в [5]. В частности, оно содержит s = 2k элементов.

П.3. Определение 3. Вероятностное множество P будет называться топологическим вероятностным пространством с топологией, если в множестве P введена топология, удовлетворяющая следующим условиям:

1) Операция умножения непрерывна. Т.е. как обычно, для любой окрестности V () элемента 2) Операция сложения непрерывна в следующем смысле: для всякой окрестности V ( + ) элемента + (если сумма определена) найдутся окрестности V () и V () такие, что доля 3) Если для элементов a и b из P сумма a + b не определена, то найдутся окрестности V0 (a) и V0 (b), для которых сумма + не определена для всяких V0 (a) и V0 (b).

Из свойств 1) и 2), очевидно, вытекают эквивалентные им формулировки: если n и Из 3) следует, если n и n и сумма + не определена, то сумма n + n также не определена начиная с некоторого n. Кроме того, если n + n определена и n + n o, то n o и n o. Действительно, в силу компактности можно считать, что n, n. Т.к.



n + n определено, то в силу 3) определена сумма +. Тогда в силу 2) + = o, откуда в силу аксиомы неразложимости нуля следует, что = = o. Это свойство мы будем называть свойством непрерывности неразложимости нуля.

Это свойство можно сформулировать в терминах окрестностей следующим образом: Для любых окрестностей нуля V1 (o) и V2 (o), существует окрестность нуля V12 (o), такая, что если Важно заметить, что свойство непрерывности неразложимости нуля не есть следствие 2), а является, в некотором смысле, ему противоположное. Этим свойством, очевидно, обладает множество неотрицательных действительных чисел.

Классическое вероятностное множество [0, 1] является пока единственным примером компактного вероятностного множества, удовлетворяющим условиям Колмогорова, т.е. обладает двумя идемпотентами 0 и 1.

Имеет место очень важное Предложение 3. Пусть P произвольное компактное вероятностное множество, удовлетворяющее условию Колмогорова. Тогда для P, = l, последовательность n сходится к нулю при n.

Из предложения 3 не сложно показать Предложение 4. Всякое компактное вероятностное множество, удовлетворяющее условию Колмогорова, не имеет делителей нуля.

П. 4. Нам необходимы базовые понятия в концепции Колмогорова для случайных независимых величин с абстрактными вероятностями. Основной объект есть множество элементарных событий с некоторой -алгеброй B подмножеств и P -значной мерой P, определенной на B, удовлетворяющей аксиоме непрерывности. Мы предполагаем, что P - произвольное компактное вероятностное множество с расширенным условием Колмогорова. Тройку (, B, P ) как обычно, мы назовем вероятностным пространством над P.

Условие непрерывности для -значной меры P как обычно означает: An B, таких, что An An+1 B и An = B, мы имеем lim P (An ) = P (B) в смысле топологии, определенной в Далее, по Колмогорову [1], всякое отображение () множества в R (действительные числа) называется случайной величиной (действительнозначной) относительно пары (, B), если Максимов В.М. Случайные величины с абстрактными и многомерными вероятностями Два множества A и B из B называются независимыми относительно тройки (, B, P ), если P (A B) = P (A) P (B). Две системы семейств подмножеств {A } и {B } из B независимы относительно (, B, P ), если всякие два множества A и B независимы относительно (, B, P ).

Две -алгебры F (A ) и F (B ) порождаемые множествами {A } и {B } независимы, если {A } и {B } независимы.

Пусть -алгебра F () порождена множествами { : () }, R. Тогда по определению, две случайные величины 1 () и 2 () относительно (, B, P ) независимы, если -алгебра F (1 ) и F (2 ) независимы.

В рамках сформулированных определений и понятий сохраняются следующие предложения:

Предложение 5. (Аналог закона 0 или 1). Пусть {n ()} независимые случайные величины относительно (, B, P ), где P есть -значная мера с расширенным условием Колмогорова. Тогда множество сходимости ряда n () принадлежит B и его P -мера есть корень уравнения x2 = x в P, т.е. вероятность множества сходимости может быть любым идемпотентным элементом в P. Если P удовлетворяет условию Колмогорова, то имеется также два решения x1 = o, x2 = l, как мы имеем в классической теории.

П. 5. Пусть на вероятностном пространстве (, B, P ) с -значной мерой P заданы события A1, A2,.... Пусть An () – случайная величина, принимает 1 для An и 0 в противном случае.

Мы сформулируем лемму Бореля-Кантелли для случая абстрактных вероятностей в следующих двух предложениях.

Предложение 6. Если сумма множестве P, то ряд An () сходится почти всюду.

Предложение 7. Если случайные величины An () независимы, то для сходимости ряда An () необходимо и достаточно сходимости P Am, начиная с некоторого m. А для расходимости ряда An () необходимо и достаточно, чтобы P Am = o для любого m.

П. 6. Обозначим Pd – декартово произведение вероятностных множеств [0, 1] (d раз). Это вероятностное множество мы называем d-мерными вероятностями.

Pd является важнейшим вероятностным объектом в связи с гипотезой о компактных вероятностных множествах (см. ниже) и следующим утверждением, не противоречащим этой вероятностной гипотезе.

Предложение 8. Всякое замкнутое вероятностное подмножество P Pd, удовлетворяющее условию Колмогорова, изоморфно отрезку [0, 1] или состоит из двух элементов o и l. Кроме того, всякое такое, P отличное от o и l, представляется в Pd следующим образом: для каждого P найдутся натуральные ik, 1 i1... is d, такие, что множество (1,..., d ) Pd, где i1 =... = is =, для всякого [0, 1], а остальные k тождественно равны нулю, совпадает с P.

Наконец заметим, что в Pd множество его вершин является конечным вероятностным множеством, относительно операций в Pd.

Вероятностная гипотеза. В [4] была сформулирована следующая вероятностная гипотеза:

всякое компактное вероятностное множество с условием Колмогорова, изоморфно отрезку [0, 1], рассматриваемому с обычными операциями сложения и умножения.

1. Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятности [Текст]/ А.Н. Колмогоров; изд. 2-е.

– М.: Наука, 1974.

2. Maximov, V.M.

Abstract

models of probability. Foundation of probability and physics, 257-273, QP-PQ: Quantum Probab. White Noise Anal., 13, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001.

3. Maximov, V.M. The sets of abstract probabilities. Foundation of probability and physics – 4, 353AIP conf. Pros; 889, Amer. Inst. Physics, Melvill, NY, 2007.

4. Максимов, В.М. Вероятностные структуры и вероятностные множества [Текст]/ В.М. Максимов// УМН. – 2007. – T.62. – №6 (378). –C.181-182.

5. Максимов, В.М. Конечные вероятностные структуры [Текст]/ В.М. Максимов// Дискретная математика. – 2008. – T.20. – №3. – C.19-27.

6. Khrennikov, A.Yu. Generalized probabilities taking values in non-Archimedean elds and topological groups. 2006, ArXive math. PR/0512427.



Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Программа курса Окружающий мир Пояснительная записка Предметная область Естествознание, обществознание реализуется средствами интегрированного предмета Окружающий мир. В содержание курса интегрированы естественнонаучные, обществоведческие, исторические знания о человеке, природе, обществе, что соответствует федеральному компоненту государственного стандарта начального общего образования. Интеграция в курсе основных содержательных блоков Человек и природа, Человек и общество, Правила безопасной...»

«ВЕЛИКИЙ ПСЕВДОНИМ Аннотация Почему Джугашвили взял псевдоним Сталин? Кто был живым прототипом этого псевдонима? Мистика сталинских чисел. Об этом, а также о других малоизвестных фактах сталинской биографии рассказывает книга историка Вильяма Васильевича Похлёбкина. Оглавление Август-Вильям Васильевич Похлёбкин ВЕЛИКИЙ ПСЕВДОНИМ Аннотация 1. Постановка вопроса 2. Роль и значение псевдонимов в истории общественно-политической жизни России. 5 3. Псевдонимы в революционном движении России 4....»

«Аннотация Трилогия Хмельницкий – многоплановое художественное полотно, в котором отражена целая историческая эпоха борьбы украинского народа за свою свободу и независимость под водительством прославленного полководца и государственного деятеля Богдана Хмельницкого. Содержание Часть первая 10 1 10 2 16 3 20 4 23 5 27 6 32 7 37 8 41 9 47 10 52 11 58 12 64 13 69 14 72 15 81 16 85 17 91 18 97 19 102 20 109 21 117 22 120 23 128 24 132 25 141 26 145 27 154 28 161 29 166 30 175 Часть вторая 180 1 180...»

«Том II Глава XXIV. В Петрограде Глава XXV. О клеветниках Глава XXVI. От июля к октябрю Глава XXVII. Ночь, которая решает Глава XXVIII. Троцкизм в 1917 году Глава XXIX. У власти Глава XXX. В Москве Глава XXXI. Переговоры в Бресте Глава XXXII. Мир Глава XXXIII. Месяц в Свияжске Глава XXXIV. Поезд Глава XXXV. Оборона Петрограда Глава XXXVI. Военная оппозиция Глава XXXVII. Военно-стратегические разногласия Глава XXXVIII. Переход к нэпу и мои отношения с Лениным Глава XXXIX. Болезнь Ленина Глава XL....»

«Книга Пророка Ионы Джеймс Нокс Содержание Предисловие Глава Первая Глава Вторая Глава Третья Глава Четвертая Приложение А: Что Стало с Ионой? Приложение В: Немного о Китах Приложение С: Могло ли Это Произойти на Самом Деле? Приложение D: Бог Небесный Приложение Е: Заключение 2 Предисловие Мой сын, Ганнибал, станет великим полководцем, потому что он – самый послушный из всех моих воинов. ГАМИЛЬКАР Сегодня в мире можно найти мало людей, которые бы не слышали об Ионе и ките. И все же, существует...»

«Содержание: I. Пояснительная записка стр. 3-4 II. Цель, задачи, этапы реализации программы стр. 5-6 III. Механизм реализации, принципы, формы и методы работы, ожидаемые результаты стр. 7-8 IV. Теоретическое обоснование программы стр. 9-11 V. Методическое обеспечение программы стр. 12-25 VI. Список использованной литературы стр. 26 2 I. Пояснительная записка Каждый исторический период не прост для общества. В настоящее время - самая большая опасность - в разрушении личности. Ныне материальные...»

«Учебник для VII класса средних учебных заведений Рекомендовано Главным управлением развития общего среднего образован и я Министерства образования Российской Ф едерации Собственность государства Продаже не подлежит :ш оо го района г Москвы [\ МОСКВА 1995 Хацва Л. А., Юрганов А. Л. История России VIII—XV вв.: Учебник для VII класса средних учебных заведений.— М.: МИРОС, 1995.— 240 с.: ил. К1Ш 5-7084-0102-8 Учебник отличается от предшествующих тем, что он не нормативен: фактического материала в...»

«В 1996 году у меня возникло желание описать с моей точки зрения, как происходил развал Коммунистической партии и Советского Союза. И это я постарался осветить на примере нашей семьи. В основном это будет наличие документов и воспоминаний моей матери и старшего брата. Это освещение капитализма в России до революции, небольшой отрезок революции и послереволюционного периода до 1936 года. Далее все будет только то, что отложилось в моей памяти и сохранившихся документах. Старался все время...»

«ОТ Р Е Д А К Ц И И Настоящее издание рассчитано на студентов и преподава­ телей высших учебных заведений. При отсутствии по многим вопросам новой истории специ­ альных марксистско-ленинских работ, к которым можно было бы отослать учащихся, авторы книги считали целесообразным излагать материал в сравнительно большом объёме. Учащимся и преподавателям следует всегда помнить, что учебник по новой истории стоит в неразрывном единстве с учеб­ ником по истории СССР и с учебником по истории стран Во­...»

«Хазанов А. М. Кочевники и внешний мир. Изд. 3-е, доп. — Алматы: Дайк-Пресс, 2002. — 604 с. ISBN 9965-441-18-9 Книга заслуженного профессора антропологии Университета Висконсин в Медисоне, члена Британской Академии, лауреата премии Гуггенхайма посвящена феномену номадизма, который, по мнению автора, заключается не только в его уникальности, специализированности, но и в его широкой распространенности практически во всех частях света, за исключением Австралии и лишь отчасти Америки, в его роли...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.