WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 23 ] --

7. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве [Текст] / С.Г. Крейн. – М.: Наука, 1967. – 464 c.

8. Куликов, А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве [Текст]/ А.Н. Куликов// Исследования по устойчивости и теории колебаний. – 1976. – С. 114-129.

9. Марсден, Дж. Бифуркации рождения цикла и ее приложения [Текст] / Дж. Марсден, М. МакКракен. – М.: Наука, 1980. – 368 c.

10. Куликов, А.Н. Инерциальные многообразия нелинейных автономных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве [Текст] / А.Н. Куликов. – Препринт №85 института Прикладной математики и механики им. М.В. Келдыша, 1991. – 22 c.

11. Park, S. Dynamics of ripple formation in sputter erosion: nonlinear phenomena [Текст] / S. Park, B. Kahng, H. Jeong, A.-L. Barabasi// Physical Review Letters. – 1999. – V.83. – №17. – P. 3486О бифуркациях волнового рельефа в рамках нелокальной модели эрозии Д.А. Куликов Введение. Задача об описании эрозии поверхности мишени под воздействием потока ионов достаточно актуальна для ряда разделов физики. Особенно она стала привлекать внимание с развитием микро и наноэлеткроники. В настоящее время существуют две математические модели, которые моделируют этот физико-технологический процесс. Речь идет о модели, предложенной Бредли и Харпером [1], а также математическая модель, основанная на использовании нелокального уравнения эрозии [2]. Обе эти модели основаны на физической теории П. Зигмунда [3], в которой описывается процесс взаимодействия ионов с поверхностью твердых тел.

В работе будет рассмотрена периодическая краевая задача для нелокального уравнения эрозии (см., например, [2,4,5]) при несколько иных предположениях на параметры данного уравнения. Итак рассмотрим краевую задачу сразу в перенормированном виде [4,5] где w(t, x) = u(t, x h), h (0, ), a, b, c, d R. В рамках данной работы предполагается малость коэффициента c, т.е. далее будем считать, что c =, где (0, 0 ), 0 0 1. Отметим, что в рамках этой работы есть два отличия от условий приведенных в работах [4, 5]. Первое состоит в предположении о малости c. Ранее никаких ограничений на c не было, но зато теперь предложен более широкий диапазон для выбора h. В данной работе h "практически"любая постоянная из разумного с физической точки зрения диапазона.

Сразу отметим, что краевая задача (0.1), (0.2) допускает решения вида u(t, x) = const. Более того, эта краевая задача инвариантна относительно замены u u + const. С физической точки зрения последние два замечания означают, что система координат, в которой моделируются отклонения от плоского профиля u = const можно выбрать удобным образом. В дальнейшем будем считать, что однородное состояние равновесия, которое рассмотрено в начальный момент технологического процесса u = 0(const = 0).

Если теперь дополнить краевую задачу (0.1), (0.2) начальным условием и считать, что f (x) Q2 () – шар достаточно малого радиуса с центром в нуле гильбертова пространства H2, то из работы [6] вытекает, что смешанная задача (0.1),(0.2),(0.3) локально корректно разрешима. Напомним, что через H2 обозначено пространство Соболева периодических функций f (x), у которых существуют обобщенные производные f (x), f (x) L2 (0, 2). Из теорем вложения вытекает, что f (x) C 1 [0, 2].

1. Об устойчивости нулевого решения линеаризованной задачи. Вместо нелинейной краевой задачи (0.1), (0.2) в этом пункте рассмотрим вспомогательную краевую задачу где A(c) – линейный оператор, определенный на достаточно гладких 2 периодических функциях y(x) следующим равенством Пусть A0 y(x) = A(0)y(x) = ay (x) + y(x) y(x h). Последний имеет счетный набор собственных значений (СЗ) которые отвечают собственным функциям exp(inx). Отметим, что всегда 0 = 0. Далее будем интересоваться лишь теми n Z, которые отличны от 0: n = ±1, ±2,...

Лемма 1. Пусть a aкр (a sin ). Тогда решения вспомогательной краевой задачи (1.1), (1.2) устойчивы. При a (0, aкр ) (a (0, sin )) – неустойчивы.

Запишем формулу для n в ином виде Хорошо известно неравенство |n sin | | sin n|, где n N. Отсюда заключаем, что при всех n N справедливо неравенство n2 sin2 sin2 n 0. Из последнего неравенства вытекает справедливость следующих двух неравенств:

Отметим, что при a = sin выполнено неравенство 1 = 0 (1 = 0), но уже 2 0 (±2 0).

Положим теперь a = aкр, R. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Куликов Д.А. О бифуркациях волнового рельефа в рамках нелокальной модели эрозии Стандартные вычисления показывают, что Из приведенных формул заключаем, что 0 () = 0, 0 () = 0 (0 () = 0) т.е. 1 (0) = 0, 1 (0) = sin h 0, 1 =. Наконец, при n = ±2, ±3,...

если достаточно мало. Иными словами у линейного оператора A0 = A(0) на мнимой оси лежат три СЗ 0 = 0, ±1 = ±i, = sin h. Остальные СЗ лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости (см. неравенство (1.3)). Из результатов работ [7,8] вытекает, что у нелинейной краевой задачи существует гладкое локально инвариантное трехмерное центральное многообразие. При этом динамику решений краевой задачи (1.4), (1.5) определяет система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений – нормальная форма.

2. Построение нормальной формы. Построение нормальной формы использует модификацию известного алгоритма Крылова-Боголюбова. Эта версия применительно к краевым задачам (1.4), (1.5) достаточно подробно изложена в работах [4,5]. Поэтому изложение этого пункта будет опираться на методику, изложенную в этих работах.



Решения на трехмерном инвариантном многообразии краевой задачи (1.4), (1.5) будем искать в следующей форме u(t, x, ) = (s) + v(t, s, x, ), v(t, s, x, ) = 1/2 u1 (t, s, x) + u2 (t, s, x) + 3/2 u3 (t, s, x) +..., Здесь точками обозначены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости относительно степеней (o(3/2 )). Функции uj (t, s, x) по переменной x имеют период 2, а по переменной t период 2/. При фиксированном t и s функции uj (t, s, x) H2, j = 1, 2, 3,... Ниже будут использованы обозначения wj (t, s, x) = uj (t, s, x h).

Приравнивая выражения при одинаковых степенях, получаем неоднородные краевые задачи для определения u2, u3. Так, приравнивая слагаемые при, получаем следующую краевую задачу Наконец, приравнивая слагаемые при 3/2, получаем неоднородную краевую задачу для определения u3 (t, s, x).

Прежде чем приступить к анализу неоднородных краевых задач (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4) напомним один хорошо известный факт из теории дифференциальных уравнений (функционального анализа).

Лемма 2 (условие разрешимости). Рассмотрим неоднородную краевую задачу где G(t, x) – достаточно гладкая функция переменных t и x. При этом по t она имеет период 2/, а по x – 2. Тогда краевая задача (2.5), (2.6) имеет по t 2/ периодическое решение, если выполнены равенства Равенства M0 (v) = M±1 (v) = 0 выделяют одно такое решение.

При реализации алгоритма построения нормальной формы будем считать, что выполнены равенства При анализе разрешимости краевых задач (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4) вспомогательная переменная s рассматривается как параметр.

Из условий разрешимости неоднородной краевой задачи (2.1), (2.2) получаем равенство т.е. первое уравнение нормальной формы. После этого достаточно стандартно находится функция u2 (t, s, x) с необходимыми свойствами Использование условий разрешимости, при рассмотрении краевой задачи (2.3), (2.4) приводит к еще одному уравнению для нормальной формы которое может быть дополнено комплексно к нему сопряженным. Величина l1 + il2 называется комплексной ляпуновской величиной, а l1 – первой ляпуновской величиной. Последняя играет особую роль при изучении уравнения (2.8). В нашем случае Отметим, что можно привести окончательные варианты для l1, l2, используя явный вид коэффициентов 1, 2. Приведем соответствующее выражение лишь для l1 – первой ляпуновской величины. После достаточно громоздких вычислений оказалось, что Куликов Д.А. О бифуркациях волнового рельефа в рамках нелокальной модели эрозии Уместно отметить, что l1 = l1 (), т.е. функция, которая зависит от достаточно сложно. Так, например, если = /2, то получаем Последнее выражение может принимать числовые значения разных знаков в зависимости от выбора b, d 0. Если b 2d, то l1 (/2) 0, и l1 (/2) 0 при b 2d.

Перейдем к анализу нормальной формы, состоящей из дифференциальных уравнений (2.7), (2.8).

Лемма 3. Уравнение (2.8) имеет периодическое решение где = Это решение существует, если 1 /l1 0. Оно устойчиво как решение уравнения (2.8), если 1 0(l1 0) и неустойчиво, если 1 0(l1 0).

Доказательство леммы стандартно и хорошо известно, так как уравнение (2.8) – это нормальная форма для классической задачи о бифуркациях Андронова-Хопфа.

Теперь легко найти решение (s), соответствующее циклу Андронова-Хопфа (2.9) Теперь можно сформулировать основной результат.

Теорема. Существует такое 0 0, что при всех (0, 0 ) краевая задача (0.1), (0.2) имеет решение, соответствующее решению (2.9), (2.10) нормальной формы. Для этого решения справедлива асимптотическая формула Решение u(t, x, ) устойчиво (неустойчиво), если устойчиво (неустойчиво) решение (2.9), (2.10) системы (2.7), (2.8).

Отметим также, что на самом деле получено двупараметрическое семейство решений, так как наряду с решением (2.11) есть решение u(t + 3, x, ), а также u(t, x, ) + 4, где 3, 4 – произвольные действительные постоянные. Семейство решений (2.11) и задает профиль волнового рельефа, если конечно это семейство сформировано устойчивыми решениями.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (контракт №МК-2298.2013.1).

1. Bradley, R.M. Theory of ripple topography induced by ion bombardement [Текст]/ R.M. Bradley, J.M. Harper// J. Vac. Sci. Technol. – 1988. – V.A6. – P. 2390-2395.

2. Рудый, А.С. Пространственно нелокальная модель эрозии поверхности ионной бомбардировкой [Текст]/ А.С. Рудый, В.И. Бачурин// Изв. РАН. Серия физическая. – 2008. – Т.72. – №5.

– С. 624-629.

3. Sigmund, P. A mechanism of surface micro-roughening by ion bombardement [Teкст]/ P. Sigmund// J.Mater. Sci. – 1973. – V.8. – P. 1545-1553.

4. Куликов, Д.А. Формирование волнового нанорельефа при распылении поверхности ионной бомбардировкой. Нелокальная модель эрозии [Текст]/ Д.А. Куликов, А.С. Рудый// Моделир.

и анализ информ. систем. – 2012. – Т.19. – №5. – C. 35-44.

5. Куликов, Д.А. Нелокальная модель эрозии. Формирование волнообразного нанорельефа под воздействием ионной бомбардировки [Текст]/ Д.А. Куликов// Труды X Международных Колмогоровских чтений. Ярославль. – 2012. – С. 58-63.

6. Соболевский, П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве [Текст]/ П.Е. Соболевский// Труды Московского математ. общества. – 1961. – Т.10. – С. 297-350.

7. Куликов, А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве [Текст]/ А.Н. Куликов// Исследования по устойчивости и теории колебаний. – 1976. – С. 114-129.

8. Марсден, Дж. Бифуркации рождения цикла и ее приложения [Текст]/ Дж. Марсден, М. МакКракен// М.: Наука, 1980. – 368 c.

Случайные величины с абстрактными и многомерными вероятностями В.М. Максимов П. 1. В нашей работе исследуется формальное обобщение понятия вероятности и возможность его влияния на классическую вероятностную феноменологию.



Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Шепина Дарья, 15 лет Краснозоренский район с. Малиново Двухсотлетие Отечественной войны 1812 года – знаменательная дата в истории нашего государства. Указом Президента России Дмитрия Медведева 2012 год объявлен Годом Российской истории – в целях привлечения внимания общества к российской истории и роли России в мировом историческом процессе. Еще 27 декабря 2007 года Президент России Владимир Путин подписал Указ О праздновании 200-летия победы России в Отечественной войне 1812 года. Актуальность...»

«Серия Библиотечка россиеведения. Выпуск 9. - М.: Посев, 2004. - 176 с. 22 илл. ISBN 5-85824-152-2 Под редакцией Р.Г. Гагкуева и Б.С.Пушкарева Корректор Е.В.Феоктистова Компьютерная верстка В.А.Согласновой Книга Б.В.Сенникова Тамбовское восстание 1918-1921 гг. и раскрестьянивание России 1929-1933 гг. продолжает серию изданий Библиотечки россиеведения, посвященных истории народного антибольшевицкого сопротивления, и рассказывает о крупнейшем крестьянском восстании - Тамбовском, проходившем в...»

«1 Историческое введение Кому из людей не дорога вера в бессмертие? Ни одна человеческая фантазия (как бы ни была мрачно настроена) не пыталась окрасить и сделать сколько-нибудь привлекательной идею уничтожения и небытия. Кажется, ничто так не противно всему существующему, как идея уничтожения. Тем более противна и даже неестественна для человека мысль о возможности уничтожения собственного человеческого существа. Чтобы подтвердить и проверить это положение, не нужны ни цитаты из ученых...»

«ГЕРОДОТОВА СКИФИЯ ИСТОРИКО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ М., Издательство Наука, 1979. — 242 с. АНОНС В книге анализируются данные греческого географа и историка Геродота (V в. до н.э.) о племенах, живших в Восточной Европе в I тысячелетии до н.э. На основе новейших археологических данных известный советский ученый академик Б.А.Рыбаков подтверждает достоверность сообщений Геродота или их пересматривает, устанавливает маршрут путешествия греческого географа, раскрывает содержание легенд, записанных...»

«Мадуров Д. Ф. Традиционное декоративное искусство и праздники чувашей. — Чебоксары: Чуваш. кн. изд-во, 2004. — с. 287, ил. В книге проведено доскональное исследование декоративной резьбы по дереву, художественной обработки металла, структуры костюма и украшений древних чувашей. Это позволило автору по-новому подойти к вопросу об исторических корнях и этногенезе чувашского народа. Праздники и обряды чувашей рассматривается с исторической точки зрения в сравнении с праздниками других народов....»

«Аннотация Том содержит Хронику послевоенных событий, изданную Юнгером под заголовком Годы оккупации только спустя десять лет после ее написания. Таково было средство и на этот раз возвысить материю прожитого и продуманного опыта над злобой дня, над послевоенным смятением и мстительной либо великодушной эйфорией. Несмотря на свой поздний, гностический взгляд на этот мир, согласно которому спасти его невозможно, автор все же сумел извлечь из опыта своей жизни надежду на то, что даже в...»

«Annotation Если человек талантлив, то во всём. Пани Хмелевская — не исключение. Мало того, что пишет отличные и очень смешные детективы, слывёт грозой всех европейских казино, так ещё и кулинарка она редкая. Ну мало ли на свете женщин, умеющих готовить, возразите вы. Всё верно, но если уж женщина священнодействует у плиты, то, как правило, совершенно серьёзно: брови нахмурены, взгляд сосредоточен, какие уж тут шутки. У Хмелевской всё наоборот — готовка для неё лишь повод вволю посмеяться,...»

«Страшный урон нанесло Батыево нахождение развитию культуры Руси, материальной и духовной. Сожженные города и селения, храмы и крепости, запустевшие пашни, гибель ремесленных мастерских и увод в плен их хозяев — из тех, кто остался в живых; безвозвратная потеря выдающихся творений иконописцев, зодчих, авторов летописных сводов и житий святых, повестей и сказаний, русских и иноземных — таков был печальный итог кровавого смерча, обрушившегося на русские земли. Б.А. Рыбаков в книге о ремесле...»

«В ОССОЗДАНИЕ РЕЛИГИИ: НЕОЯЗЫЧЕСТВО В АРМЕНИИ Юлия Антонян Юлия Юрьевна Антонян. Адрес для переписки: Отделение культурологии исторического факультета Ереванского государственного университета, 375001, Армения, г. Ереван, ул. Абовяна, 52. yulyusha@yahoo.com. Статья написана на основе полевых исследований, проведенных в 2005 и 2007– 2009 годах. Процесс реактуализации и распространения религиозных и мистических учений, направлений и сект в перестроечной и потсоветской Армении можно условно...»

«ТУМАНЫ Издательство Глобус Сан Франциско 1980 ARIADNA DELIANICH TUMANY Copyright 1980 by Author and Globus Publishers Library of Congress number applied for Published by GLOBUS PUBLISHERS San Francisco 1980 Памяти всех тех, чьи пути вели их на Гол­ гофу лихолетия Второй мировой войны, всех русских военнопленных, сложивших головы за колючей проволокой, всех власовцев и власовок, казаков и казачек, всех остов и остовок с их детьми, всех русских белых воинов, погибших в боях, всех выданных на...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.