WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 22 ] --

Об одной краевой задаче для уравнения Курамото-Сивашинского А.Н. Куликов, Д.А. Куликов Введение. Уравнение Курамото-Сивашинского (КС) встречается во многих разделах физики и ее приложениях. Например, оно было получено при исследовании одной из гидродинамических задач [1]. Используется оно при рассмотрении некоторых задач химической кинетики [2]. Последнее время оно стало популярным в связи с использованием его в качестве математических моделей в области нанотехнологий. К нему сводится изучение механизма формирования неоднородного по пространству рельефа на поверхности плоских пластинок под воздействием потока ионов [3-5]. Отметим, что в данном разделе физики это уравнение часто называют уравнением Бредли-Харпера(БХ) по имени авторов работы [3], где оно было выведено. Справедливости ради следует уточнить, что уравнение БХ все же отличается от уравнения КС, но часто к нему сводится или сводится к одному из обобщений последнего уравнения.

Приведем одну из классических версий уравнения КС Куликов А.Н., Куликов Д.А. Об одной краевой задаче для уравнения Курамото-Сивашинского где a, b R, u = u(t, x). Такой вариант уравнения КС (БХ) встречается при изучении эрозии поверхности под воздействием потока ионов, когда поток перпендикулярен невозмущенной поверхности мишени [3] и если изучаются "цилиндрические"ее деформации. Подчеркнем, что в работе [3] в конце концов для численного исследования соответствующей краевой задачи рассматривают именно версию уравнения КС (0.1).

Уравнение (0.1), как правило, рассматривают вместе с периодическими краевыми условиями.

Например, Если в качестве приложений рассматривать задачу об эрозии поверхности под воздействием потока ионов, то вариант (0.2) возможен, но не является единственным. С физической точки зрения [3] достаточно естественны и такие краевые условия Краевые условия (0.1), (0.3) безусловно допускают решение u(t, x) = const, которое описывает плоский профиль обработки мишени. Более того, краевая задача (0.1), (0.3) инвариантна относительно замены u(t, x) u(t, x) + const. Поэтому без нарушения общности будем интересоваться изучением окрестности нулевого состояния равновесия u(t, x) = 0. При исследовании этой краеu вой задачи основной интерес представляют ее решения u(t, x), для которых = 0, т.е. решения, описывающие неоднородный рельеф. Механизм формирования устойчивого неоднородного рельефа представляет определенный интерес для нанотехнологий в микроэлектронике. Ниже будем интересоваться именно этим вопросом.

1. Вспомогательные построения. Пусть достаточно гладкая функция u(t, x) удовлетворяет краевой задаче (0.1), (0.3) (уточнение свойств функции u(t, x) будет приведен ниже). Тогда для периодической функции u(t, x) справедливо представление Коэффициенты Фурье {vk (t)} естественно зависят от t. Следовательно, справедливо равенство где un (t) = vn (t)/(in). Эти замечания означают, что для решений краевой задачи (0.1), (0.3) справедливо представление где функция v(t, x) по переменной x имеет период 2. Более того, т.е. v(t, x) –функция с нулевым средним.

Подстановка суммы (1.1) в уравнение (0.1) приводит к равенству в котором все слагаемые, кроме первого в левой части, периодические функции переменного x.

Откуда v0 (t) = 0, т.е. v0 (t) = const. Кроме того краевая задача (0.1), (0.3) при всех b, a имеет двупараметрическое семейство решений где коэффициенты, произвольны. Семейство решений (1.2) формирует двумерное инвариантное многообразие V2 для эволюционной краевой задачи (0.1), (0.3). Напомним, что решение ul (t, x) V2, если из включения ul (0, x) V2 вытекает включение ul (t, x) V2. В нашем случае ul (t, x) = x + t, где t = t +, также линейная функция переменного x.

Положим теперь где периодическая функция v(t, x) имеет нулевое среднее. В результате краевую (0.1), (0.3) можно переписать в следующей форме Таким образом уравнение (1.4) уже рассматривается вместе со стандартными периодическими краевыми условиями (1.5). В уравнение (1.4) линейный дифференциальный оператор определен равенством Его область определения состоит из достаточно гладких 2 периодических функций. Более того, периодическую краевую задачу (1.4), (1.5) можно записать и иначе где v(t, x) удовлетворяет периодическим краевым условиям и M (v) = 0. Откуда заключаем, что w0 = aM (vx ). В результате нелинейную краевую задачу (1.4), (1.5) целесообразно переписать в более детализированной форме Из построений этого пункта вытекает, что основное внимание при исследовании основной краевой задачи (0.1), (0.3) следует уделить изучению вспомогательной краевой задачи (1.7), (1.8).

Решения краевой задачи (0.1), (0.3) восстанавливаются по формулам (1.3), с учетом уравнения (1.6). Подчеркнем еще раз, что равенства (1.7), (1.8) на самом деле содержат семейство краевых задач (1.7), (1.8), зависящих от параметра.

2. Вспомогательная краевая задача. В этом пункте рассмотрим краевую задачу (1.7), (1.8). Если ее дополнить начальными условиями где g(x) H2 и M (g) = 0, то смешанная задача (1.7), (1.8), (2.1) будет корректно разрешима. Это утверждение вытекает из результатов работ [6,7]. Здесь через H2 обозначено пространство Соболева 2 периодических функций g(x), у которых существуют обобщенные производные g (x), g (x), g (x), g IV (x), которые принадлежат L2 (0, 2). Норма в пространстве H2 может быть определена равенством Использование результатов работы [6] базируется на том факте, что линейный дифференциальный оператор Куликов А.Н., Куликов Д.А. Об одной краевой задаче для уравнения Курамото-Сивашинского определенный на функциях y(x), имеющих период 2 и нулевое среднее (M (y) = 0) порождает аналитическую полугруппу ограниченных операторов [7]. Поясним это.



Пусть H0 подпространство гильбертова пространства интегрируемых с квадратом периодических достаточно гладких функций, имеющих период 2 и нулевое среднее. Тогда в H0 линейный дифференциальный оператор B(b, ) имеет счетное множество собственных значений Соответствующие собственные функции exp(inx) (n = 0) в пространствах периодических функций с нулевым средним образуют полную ортогональную систему. Наконец, при |n| n0, где n – некоторое достаточно большое число, справедливы неравенства |n | M |n |. Последние три замечания и дают основание считать [7], что B(b, ) – производящий оператор аналитической полугруппы линейных ограниченных операторов. Добавим, что просто проверяется, справедливость неравенства если b 1. При b = 1 линейный дифференциальный оператор B(b, ) имеет двукратное нулевое собственное число. Наконец, при b 1 у него есть собственные значения, лежащие в правой полуплоскости комплексной плоскости. Из последних замечаний вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 1.Пусть b 1. Тогда нулевое решение краевой задачи (1.7), (1.8) экспоненциально асимптотически устойчиво. Если b 1, то нулевое решение вспомогательной краевой задачи (1.7), (1.8) неустойчиво.

В нашем случае при b 1 выполнено неравенство где M1 0, 0 = 1 b 1 0, 1 – достаточно малая положительная постоянная. Последнее неравенство выполнено, если g(x) = v(0, x) Q4 () – шару достаточно малого радиуса 0 с центром в нуле пространства H2 (M (g) = 0). Подчеркнем, что указанное неравенство выполнено вне зависимости от выбора постоянной.

В заключении этого пункта отметим, что при b = 1 имеет место критический случай в задаче об устойчивости нулевого решения вспомогательной задачи (1.4), (1.5).

Далее будем рассматривать лишь случай b 1, т.е. когда выполнено неравенство (2.2). Стандартно проверяется, что в таком случае справедливо неравенство Следовательно, выполнено неравенство где M3 = |w0 (0)|. Без нарушения общности в силу замен (1.3) и выбора функций ul (t, x) = a 2 t + x + можно считать, что w0 (0) = 0.

3. Результаты для основной краевой задачи. Пусть определена функция v(t, x), а также w0 (t) как решение уравнения (1.6). В таком случае Будем считать, что f (x) H2 (g(x) H2 ). Если, достаточно малы g(x) Q4 (), где 0, то f (x) Q4 (1 ), где 1 = 1 () 0 при 0. Верно и обратное включение, если f (x) Q4 (1 ), то g(x) Q4 (), = (1 ) 0 при 1 0. Если теперь дополнить краевую задачу (0.1), (0.3) начальным условием то смешанная задача (3.1), (3.2), (3.3) локально однозначно разрешима. При этом, как было отмечено в п.2, последнее слагаемое v(t, x) 0 в смысле нормы пространства H2 со скоростью экспоненты. Из этих замечаний вытекает справедливость утверждения.

Теорема 1.Пусть b 1. Тогда инвариантное многообразие V2 локально экспоненциально устойчиво.

Данная краткая формулировка означает следующее. Пусть f (x) Q4 (1 ), где 1 0 и достаточно мало, ||g(x)||2 2, 2 0 и, в свою очередь, достаточно мало (2 = 2 (1 )). Тогда где u = u(t, x), а d(h, V2 ) – расстояние между элементом h = h(x) H2 и V2, индуцированное нормой в пространстве H2. Из этой теоремы вытекает, в частности, следствие (см., также, [8-10]).

Пусть Q4 () шар достаточно малого радиуса, а f (x) Q4 (1 ), 1 = 1 (), то все решения краевой задачи (0.1), (0.3) с такими начальными условиями или стремятся к двумерному многообразию V2 или покидают шар Q4 () фазового пространства (пространства начальных условий) краевой задачи (0.1), (0.3). Последние два замечания позволяют считать, что V2 – локальный аттрактор нелинейной краевой задачи (0.1), (0.3).

Теорема 2.Все решения, принадлежащие V2 неустойчивы по Ляпунову в смысле нормы пространства H2.

Действительно, пусть ul1 (t, x), ul2 (t, x) два решения этой краевой задачи, принадлежащие V2, т.е.

Справедливо неравенство но при t 0 в силу неравенства треугольника если |1 | = |2 |. Откуда заключаем, что lim ||ul2 ul1 || = и, следовательно, любое решение, например ul1 (t, x) = a1 t + 1 x + 1 неустойчиво.

С физической точки зрения, если краевая задача (0.1), (0.3) моделирует формирование волнового нанорельефа, то сформулированные результаты означают следующее. Если начальные возмущения достаточно малы, то с течением времени в результате ионной бомбардировки сформируется рельеф, который может быть задан формулой (в системе xOz) но q1, q0 относительно произвольны, их выбор "относительно случаен". Последнее наблюдалось и в опытах. В некоторых работах [10] была предпринята попытка объяснения этой неполной детерменированности путем включения в соответствующее уравнение "случайных"возмущений.

Например, в его коэффициенты [11].

Наконец, отметим, что в работе был выявлен механизм формирования наклонного рельефа z = z(x) = q1 x + q0. Он иногда может быть проинтерпретирован как рельеф, который называют террасы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (контракт №МК-2298.2013.1).

Куликов Д.А. О бифуркациях волнового рельефа в рамках нелокальной модели эрозии 1. Sivashinsky, G.I. Weak turbulence in periodic ows [Текст] / G.I. Sivashinsky// Physica 17D. – 1985. – P. 243-255.

2. Kuramoto, Y. Chemical oscillations, waves and turbulence [Teкст] / Y. Kuramoto. – Berlin:

Springer, 1984. – 156 p.

3. Bradley, R.M. Theory of ripple topography induced by ion bombardement [Текст] / R.M. Bradley, J.M. Harper// J. Vac. Sci. Technol. – 1988. – V. A6. – P. 2390-2395.

4. Куликов, А. Н. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке [Текст]/ А.Н. Куликов, Д.А. Куликов// Журнал вычислит.

математики и матем. физики. – 2012. – Т.52. – №5. – С. 930-955.

5. Метлицкая, А. В. Механизм формирования волнового нанорельефа при эрозии поверхности ионной бомбардировкой в рамках модели Бредли-Харпера [Текст] / А.В. Метлицкая, А.Н. Куликов, А.С. Рудый// Микроэлектроника. – 2013. – Т.42. – №4. – С. 298-305.

6. Соболевский, П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве [Текст] / П.Е. Соболевский// Труды Московского математ. общества. – 1961. – Т.10. – С. 297-350.



Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Дорогие друзья! В последние годы Алтайский край демонстрирует устойчивое развитие в сфере рекреации, предлагая уникальный туристический продукт. Природа Алтая подарила нам бескрайние равнины, горы, поднимающиеся до 2,5 тыс. метров, многочисленные озера и реки. По числу объектов культурного наследия регион занимает одно из первых мест в Сибири. Алтайский край – прекрасное место для тех, чье сердце переполняет любовь к первозданной красоте, нехоженым тропам, неизученным пещерам, тайнам хвойных...»

«Аннотация Книга раскрывает секреты мастеров маникюра и педикюра. Советы по уходу, средства и приемы могут быть использованы как в домашних условиях, так и в том случае, если вы работаете в салоне. Современные стили маникюра, обзор средств для ухода за ногтями, техника наращивания ногтей и нанесения на ногтевые пластинки сложных узоров перестанут быть секретом для вас. А если вы намерены оказывать такого рода услуги книга поможет сориентироваться в выборе аппаратуры и методов работы на ней....»

«250-летию вхождения Алтая в состав России посвящается Т.И. Мананкова Краткий курс лекций по геоморфологии (для студентов заочного отделения) 2009 Горно-Алтайск Содержание Тематический план лекционного курса по геоморфологии.4 Лекция 1. Геоморфология как наука. Объект ее изучения.5 1.1. Определение геоморфологии и понятие о рельефе.5 1.2. Виды геоморфологии..6 1.3. Значение геоморфологии в практической деятельности человека.7 1.4. Основные сведения из истории возникновения и развития...»

«Жанрово-стилевые тенденции в поэзии Великой Отечественной войны Практикум к курсу История русской литературы ХХ века: 1920 – 1950-е годы Составитель: доктор филол. наук, доцент О.А. Дашевская Томск 2010 Введение В методическом пособии собран и систематизирован обширный материал поэзии Великой Отечественной войны, который представлен в антологиях по поэзии этого исторического периода или в конкретных авторских сборниках (поэзия А. Твардовского, К. Симонова и т.д.). Практикум преследует цель дать...»

«ПАТРИАРХ РОССИЙСКОЙ ПСИХОЛОГИИ Москва, Ярославль, 2010 2 Институт Психологии Российской Академии Наук Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова Международная Академия Психологических Наук ПАТРИАРХ РОССИЙСКОЙ ПСИХОЛОГИИ (Краткий справочник результатов творческой, научной и учебной деятельности профессора Ярославского государственного университета В.В. Новикова) Москва, Ярославль, 2010 3 УДК 159.98 ББК 88.4 К592 Козлов В.В. Патриарх российской психологии. Краткий справочник...»

«РГБ, собр. Барс., №765, которая, по мнению автора, представляет особый интерес для современной русской музыкальной медиевистики. Это список книги Праздники, сделанный иноком Иосифом Ловзунским — одним из поморских первопустынников 2-й пол. XVII в. Книга Инока Иосифа — одно из связующих звеньев между древнерусской певческой традицией и старообрядчеством, поскольку по редакции текста и напева...»

«Пчёлы в радость или Опыт естественного подхода в пасечном деле 2008 1 Содержание: Краткое вступление 3 Как вс началось 5 Небольшое дополнение 7 Промышленный и естественный подходы 8 Разумность пчелиной семьи 9 Задачи этой книги 11 Несколько слов о дупле, как о естественном жилище пчл 11 Некоторые полезные сведения о сотах 13 Цикл развития пчелиной семьи 15 Жизнь пчелиной семьи в течение года 17 Несколько слов о зимовке 20 Ежегодный цикл (продолжение) 22 Зимняя вентиляция пчелиного дома 22...»

«1 Владимир Гуркович Долой стыд! Симфероп оль Ун и версум 20 10 2 Как Владимир Маяковский прогуливался с обнаженными дамами и поэтом Бурлюком по улицам Симферополя Об этом и других сенсационных открытиях старожила Симферополя, школьного директора и университетского преподавателя, кандидата исторических наук, драматурга и писателя, общественного и политического деятеля местного масштаба, активиста Блока Юлии Тимошенко и комсомольского ренегата, христианина, члена Общественного совета газеты...»

«Книга подготовлена при поддержке РГНФ Люди 20-го числа Мир провинциального российского чиновничества конца XVIII - начала XX века. Книга подготовлена при поддержке РГНФ Т.И. Любина, С.Н. Смирнов, Ю.В. Бодрова И.Г. Мельникова, О.Е. Думенко, N.M. Gerth Л 93 Люди 20-го числа. Мир провинциального российского чиновничества конца XVIII - начала XX века. В книге в популярной форме представлены результаты исследования провинциального чиновничества конца XVIII – начала XX в. Основное внимание уделено...»

«ГЛАВА ПЕРВАЯ Описывай, не мудрствуя лукаво, Всё то, чему свидетель в жизни будешь А.С. Пушкин 1 Как потревоженный муравейник мечутся в тревожной растерянности мирные донские станицы и хутора. От Хопра и Бузулука, от Медведицы и Иловли, от Чира и Донца, от Белой Калитвы и Быстрой до Сала и Маныча и дальше, до низовьев Тихого Дона испуганно всколыхнулась вековая, безмятежная донская тишь. Со времён Булавина ещё не переживали такого жуткого времени ничем и никем не тревожимые донские курени. Ни...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.