«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

Так, например, при смене базиса с помощью матрицы перехода T матрица X оператора действующего в Cn, и матрица H, задающая невырожденную полуторалинейную функцию на Cn Cn изменяются по закону Соотношения (1) и (2) приводят, в частности, к следующим эквивалентностями: X H = H 1 X H Для формулировки задачи классификации в [1], нам потребуется каноническая форма Hсамосопряженной над C матрицы A. Её вид приведен, например, в [2].

Теорема 1. Пусть H – невырожденная эрмитова n n матрица, A – H-самосопряженная n n матрица (AH = A). Тогда существует невырожденная матрица T над C и такая, что матрицы A := T 1 AT и H := T HT имеют вид где 1,..., – вещественные, а +1,..., – невещественные, имеющие положительные мнимые части, числа, и Здесь Jki (i ) – жорданова клетка размеров ki ki, отвечающая собственному числу i, i = 1, или i = 1, Qki – матрица размеров ki ki вида Пара (A, H ) определена однозначно с точностью до синхронной перестановки блоков (Jki (i ), i Qki ) или ([Jkj (j ) [Jkj (j )], Q2kj ) пары из (3) и (4).

Полное доказательство теоремы Б. Райхштейна можно найти, например, в работе (3), мы же приведем здесь лишь её формулировку.

Теорема 2 (Б. Райхштейн). Пусть A – H-самосопряженная нильпотентная матрица с элементами из C; канонический вид пары (A, H ) описан в теореме 1. Пусть k1 жордановых блоков размера n1 n1, из которых первые k1 блоков имеют = 1 и последние k1 = k1 k блоков имеют = 1; k2 жордановых блоков размера n2 n2, из которых первые k2 блоков имеют = 1 и последние k2 = k2 k2 блоков имеют = 1; ;... ; ks жордановых блоков имеют = 1. Пусть и пусть V – собственное подпространство A, т.е. AV = 0. Тогда существует базис Cn состоящий из векторов такой, что (I) базис (7) – канонический для A, т.е., A eijt = ei1,jt (e0jt = 0) и и (II) существует однозначно определённая 3 s матрица, элементы которой суть неотрицательные числа, вида 0 0 и такая, что а подпространство V := T 1 V есть Следствие 1. Любая 3 2s матрица состоящая из неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих соотношениям (6) и (9), определяет с точностью до перестановки блоков каноническую тройку (A, H, V ). Здесь A имеет вид (3) с i = 0, i = 1, 2,...,, H –вид (4), причем слагаемые с номерами + 1, + 2,..., отсутствуют, а V имеет вид (10).

то матрица M из (11) имеет вид:

Большаков Ю.И. Об одной комбинаторной задаче классификации подпространств ядра H-самосопряженной матрицы где из (8).

2. Задача, которая будет решена в настоящей статье, состоит в следующем. Дана матрица П вида (12), в которой числа ni, ki, ki (i = 1, 2,. .., s) из теоремы 2. Нужно найти число матриц вида (8) (или, что равносильно, число матриц M вида (11), где П задана), в которых элементы li, li, li суть неотрицательные целые, удовлетворяющие соотношениям (9). Априори ясно, что число таких матриц конечно. Заметим, что сформулированная выше задача, равносильна следующей.

Дана нильпотентная H-самосопряженная матрица A, канонический вид которой описывается с помощью матриц П из (12). Два подпространства V1, V2 Ker A назовём эквивалентными, если существует H-унитарная матрица и такая, что U A = AU, U (V1 ) = V2. В работе [3] показано, что число таких классов эквивалентности конечно и равно числу решений системы неравенств (9), т.е. числу матриц M вида (11) с заданной матрицей textП вида (12) и неизвестной матрицей вида (8). Получим формулу, выражающую число матриц M вида (11). С этой целью найдём сначала число H-унитарно неэквивалентных подпространств L Rn, если p – положительный индекс инерции H, m – отрицательный индекс инерции H; p m, p + m = n.

Лемма 1. Число неэквивалентных подпространств H-унитарного пространства Rn равно где p – положительный, m – отрицательный индекс инерции функции [x, y] := y Hx, p + m = n (случай p m).

Доказательство. Вычислим число H-унитарно неэквивалентных подпространств L для каждой размерности dim L.

0. dim L = 0. Число подпространств: 1.

1. dim L = 1. Число подпространств: 3, ибо число "+", "", "0"суть: (1, 1, 1).

2. dim L = 2. Число подпространств: 6 = C3 = C3+21 = C4 = 4·3.

3. dim L = 3. Число подпространств: 10 = C3 = C5 = C5.

4. dim L = 4. Число подпространств: 15 = C4 = C4 = C6.

··· p 1). dim L = p 1. Число подпространств: p(p+1) = C3 = Cp+1 = Cp+1.

3k + 2) = 1 ( 1 p(p = 1)(2p + 1) + 3 p(p+1) + 2(p + 1)) = 6 (p + 1)(p + 2)(p + 3). Таким образом, число неэквивалентных подпространств L, размерности dimL p, есть Вычислим теперь число подпространств L, размерность которых ограничена в пределах:

Введем следующие обозначения: = (L) – положительный индекс инерции H|L, µ := µ(L) – отрицательный индекс инерции H|L, := (L) – дефект H|L. Ясно, что + µ + = dim L, p, µ m, p – максимальное число нулей H|L.

p+1). dim L = p+1. Если бы было = p+1, то число подпространств равнялось бы C 3, но нужно выкинуть те, которые отвечают µ = 0 (число задействованных плюсов p + 1 в каждый (p + 1)-ке), т.е. присутствуют лишь плюсы и нули, таких будет C 2. Таким образом, число неэквивалентных подпространств размерность которых равно p + 1, равно C 3 C 2 = Cp+3 Cp+2 = Cp+2.

нужно выкинуть те (p + 2)-ки, у которых µ = 0 (p + 2 плюса) и µ = 1 (p + 1–плюс). Таким образом, число неэквивалентных подпространств равно C 3 C 2 C 2 = Cp+2.

··· m). dim L = m. Если бы было = m = p(m p), то число неэквивалентных подпространств равнялся бы C 3. Но нужно выкинуть те m–ки, у которых µ = 0 (m-плюсов), µ = 1 (µ1-плюсов),..., µ = m p 1 (p + 1-плюс). Таким образом, число неэквивалентных подпространств равно C 3 C 2 C 2 · · ·C 2 = Cm+2 Cm+1 Cm · · ·Cp+2 = (m+2)(m+1) (m+1+m+· · ·+p+2) = m2 +3m+ Итак, если dim L удовлетворяет двойному неравенству (16), то число всех неэквивалентных подпространств, размерность которых удовлетворяет (16), равно Cp+2 (m p).

Следующие вычисления могут быть осуществлены на том же пути, который мы продемонстрировали выше. Но мы предпочитаем другой, более геометричный с нашей точки зрения подход.

Именно, согласно задаче 1895 книги [4, c. 245] сумма dim V + dim V = n и того факта, что (V1 ) = V [5, c. 339] из H–унитарности подпространств L и L следует H–унитарность их ортогональных дополнений: L и L [6, c. 29].

Заметим, что V V – вполне изотропное подпространство в Rn, т.е. H|V V = 0. Из вышеприведенных соображений следует, что отображение подпространств f : V V биекция.

В самом деле, инъективность f следует из следующих соображений. Если f (V1 ) = f (V2 ), т.е.

V1 = V2, откуда (V1 ) = (V2 ), и, следовательно, V1 = V2. Сюръективность отображения f получается так. Пусть W Rn, рассмотрим f (W ) = (W ) = W.

Далее, рассмотрим систему Sq H-унитарно неэквивалентных подпространств данной размерности q p. Символом Sq обозначим систему подпространств W таких, что W = V, V Sq. В силу предыдущего, |Sq | = |Sq | = Cq+2, dim W = n q, если W Sq. Таким образом, Найдем число неэквивалентных подпространств L, для которых Это число получается суммированием последней строчки из соотношения (17): Cp+m+2q 1) p(p1) + p2 (p + 1)) = 12 (2p2 + 6p + 4) = 1 p(p + 1)(p + 2). Наконец, (p+2)(p+1) откуда и следует формула (14).

Формула (14) имеет место, если p m. Если же, m p, то в (14) нужно сделать замену:

Вернёмся теперь в основной задаче перечисления матриц из (8), элементы которой удовлетворяют системе неравенств (9), матрица П из (12) задана, элементы её описаны в условиях теоремы 2. Если параметр s в теореме 2 равен 1, то общее число неэквивалентных подпространств из Ker A есть S = 1 (k1 + 1)(k1 + 2)(3k1 + 3 k1 ), где Используя правило произведения [7, c. 18] при s = 2 число неэквивалентных подпространств равно Большаков Ю.И. Об одной комбинаторной задаче классификации подпространств ядра H-самосопряженной матрицы Если же s – произвольное натуральное, то число неэквивалентных подпространств есть Теорема 3. Пусть A – H-самосопряженная нильпотентная матрица, канонический вид пары (A, H ) описан в теореме 2. Число H-унитарно неэквивалентных подпространств Ker A вычисляется по формуле (21). Здесь kt = max{ki, ki }, k i = min{ki, ki }, а числа ki и ki (i = 1, 2,..., s) из Теоремы 2.

Пример, иллюстрирующий формулу (21). Пусть, например, k1 = k1 = 1, k2 = k2 = 2, n = Формула (21) примет вид S = 62 · 2 · 3(3 + 3 1) · 3 · 4(6 + 3 2) = 5 · 14 = 70. Перечислим все неэквивалентные явно. Следующие 5 неэквивалентных подпространств относятся к первым двум а последующие 14 неэквивалентных подпространств относятся ко вторым четырем клеткам, две из которых имеют = 1, и две – число = 1 :

Расположим подпространства в порядке возрастания их размерностей.

Заметим, что небольшое увеличение чисел ki (ki ) ведет к быстрому росту числа s в формуле 21.

Так, например, если k1 = k1 = 1, k2 = k2 = 2, k3 = 3, k3 = 4, то из (21) следует, что s = 2800.

1. Райхштейн, Б.З. Классификация собственных подпространств симметрического линейного оператора, действующего в псевдоевклидовом пространстве [текст]/ Б.З. Райхштейн// Вопросы теории групп и гомологической алгебры: Межвуз. тематич. сборник/ под ред. А.Л. Онищика. – Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1979. – Вып.2.

2. Bolshakov, Y. Polar Decompositions in Finite Dimensional Indenite Scalar Product Spaces:General Theory/ Y. Bolshakov, C.V.M. van der Mee, A.C.M. Ran, B. Reichstein, L. Rodman (Submitted by Frank Uhlig)// Linear algebra and its applications – 261: 91–141, 1997.

3. Bolshakov, Y. Unitary Equivalence in an Indenite Scalar Product:An Analogue of Singular – Value Decomposition/ Y. Bolshakov, B. Reichstein (Submitted by L.Rodman)// Linear algebra and its applications – 222: 155-226, 1995.

4. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре [Текст]/ И.В. Проскуряков. – М.: Наука, 1970. – 384 с.

5. Бурбаки, Н. Алгебра. Модули, кольца, формы [Текст]/ Н. Бурбаки. – М.: Наука, 1966. – 556 с.

6. Берже, М. Геометрия. Том второй [Текст]/ М. Берже. – М.: Мир, 1984. – 368 с.

7. Виленкин Н.Я. Комбинаторика [Текст]/ Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1969. – 328 с.

Проблемы моделирования деформационного поведения железа при совместном действии неоднородного поля напряжений и диффузионного потока водорода Е.П. Борматова Рассматривается проблема выбора параметров состояния для макроскопического моделирования синергического эффекта ползучести в потоке водорода. Для моделирования диффузии в цилиндрическом образце при насыщении водородом из электролита используются аналитические решения. Показано, что ключевыми вопросами при моделировании являются значение коэффициента диффузии и тип краевых условий.

Введение. Различные аспекты взаимодействия водорода с металлами изучаются уже более лет. Технологически неизбежное присутствие водорода в металле может ухудшать его прочностные свойства, поэтому влияние предварительно введенного водорода на механическое поведение металлов, в частности железа, до сих пор является предметом многих экспериментальных и теоретических исследований.