WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 12 ] --

Все три метода развития математики впоследствии были так или иначе использованы. Однако аксиоматическая математика со строго описанными правилами логических преобразований оказалась самым эффективным средством для получения новых теоретических результатов. Практически вся математика прошлого была конструктивна; она решала некоторые задачи и находила конкретные решения; в некоторых случаях для однотипных задач разрабатывался общий метод получения решений. Тем не менее, сама постановка задачи и её практические источники указывали на наличие решения и, исходя из физических реалий, обычно такое решение не могло не быть единственным. Теперь вопрос о существовании решений и о единственности такого решения стал важной частью теоретической математики. При этом часто не указывался способ построения конкретного решения: доказывался лишь факт его существования2. Однако конструктивная математика оставалась важной в прикладных проблемах. Что касается интуитивизма в математике, то этот путь возможного развития оказался менее всего производительным в смысле получения новых результатов. Вероятно, комбинация всех трех методов развития математики могла бы привести к интересным результатам в практических и теоретических областях этой науки. Однако потребности массового, быстрого и эффективного обучения студентов высшей школы требовали унификации подходов в обучении математике.

Как уже говорилось, значительная часть математиков и математических исследований были сосредоточены в университетах и в основном здесь исследователи были “чистыми теоретиками”, студенты (будущие преподаватели для инженеров и техников, а также будущие профессора университетов) изучали именно логически выстроенную и аксиоматизированную математику. В среВ настоящее время формализм в доказательстве теорем развивается в связи с исследованием компьютерных доказательств.

Ярким примером такого неконструктивного доказательства является доказательство существования иррационального числа, которое в иррациональной степени рационально.

42 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия де молодых математиков становились популярными новые методы исследования уже известных математических моделей и их новые обобщения.

Проблемы Гильберта. В 1900 г. на Втором международном конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт предложил свои известные проблемы, в частности проблему аксиоматизации всех опирающихся на математику направлений естествознания (к которым он относил физику и теорию вероятностей). Некоторые проблемы Гильберта были связаны с конкретными задачами, нерешенными в это время, а некоторые проблемы касались вопросов обоснования математики.

Нерешенные математические задачи, предложенные Гильбертом, оказали большое влияние на дальнейшее развитие математики. Как известно, многие задачи не могут быть решены без использования некоторых обобщений связанных с ним понятий1. Вероятно, Гильберт предполагал, что для решения предлагаемых им задач потребуется специальное обобщение некоторых математических понятий. Действительно, решение проблем Гильберта привело к значительному продвижению математических теорий, созданию новых понятий и методов в математике (существует обширная литература, посвященная проблемам Гильберта и их влиянию на развитие математики, например, [5]).

Однако значительная часть проблем Гильберта была связана с проблемой обоснования математического знания и, кроме того, как уже говорилось выше, было предложено полностью аксиаматизировать некоторые области знания, использующие математику. Ранее Гильберт изучал вопрос о возможности строгой аксиоматизации одной из главных областей математики – геометрии (с древнейших времён на неё смотрели как основу математического образования). В 1899 г. он издал книгу “Основания геометрии” (Grundlagen der Geometrie), где он предложил новую аксиоматику геометрии, которая заменяла классические аксиомы греческой геометрии и позволяла более широкое понимание геометрии, соответствующее концу XIX в.2.

Реформа, предложенная Гильбертом в структуре областей знания, связанных с математикой, была одобрена отнюдь не всеми учёными. Но влияние авторитета Д. Гильберта и развивающиеся традиции новых методов обучения математике привели к созданию аксиоматико-дедуктивного метода обучения математике в высшей школе. Многие традиционно очевидные понятия заменились абстрактными, и математика в университетах стала существенно отличаться от математики в высшей технической школе.

Вершиной начатой трудами математиков-профессоров революции конца XIX – начала XX вв.

в математике были работы Гильберта. Этот выдающийся ученый, действуя в духе тогдашних математических идей профессуры, предложил формализовать всё математическое знание; что привело к новым веяниям в математическом образовании.

В начале XX в. большинство студентов-математиков уже видели в математике независимую и самостоятельную науку: они уже не думали о том, что в течение многих столетий математика служила другим наукам и производству. Игнорировался тот факт, что развитие математического знания всегда было связано с развитием других наук, экономики и промышленности 3.

В это время многие выдающиеся и рядовые математики переписывали математику в соответствии с новыми идеями, с учётом новой терминологии и новых обозначений.

А. Уайтхед (Alfred North Whitehead, 1861-1947) и Б. Рассел в начале XX в. издали трехтомные “Принципы математики” (Principia Mathematica) об основаниях математики в новых условиях:



“Принципы” распространялись пока только на теорию множеств, количественные числительные, порядковые числительные, и действительные числа – эти части математики были взяты как принПримером могут служить, например, древнегреческие “телесные” способы решения неразрешимых на плоскости стандартными методами задач – задачи об удвоении куба и о трисекции угла, а также вычисление интеграла Пуассона с помощью перехода от одномерного интеграла к двойному.

Интересно, что в то же самое время американский студент Р. Мур (Robert Lee Moore, 1882-1974) предложил подобную систему аксиом геометрии независимо от Гильберта. Позднее Мур использовал её для своего метода обучения математике, ориентированного на аксиоматику и логику. Т.е. идея аксиоматического дедуктивного обучения математике была широко распространена среди молодых математиковпреподавателей конца XIX в.

История математики XX века это полностью подтверждает.

Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логики развития математического знания ципиальные основы математического знания благодаря влиянию Гильберта и его сторонников.

Запланированный четвертый том об основаниях геометрии издан не был1.

Заметим, что история математики знает три книги, знаменовавшие новый этап её развития:

“Начала” Евклида, “Philosophi Naturalis Principia Mathematica” или “Математические принципы натуральной философии” Ньютона, и “Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела.

Книга Евклида – это практическое руководство для обучения и решения задач, возникающих в деятельности ремесленников, конструкторов и т.д.; это – учебник. Книга Ньютона – это первое руководство по созданию математических моделей реальных процессов, окружающих человека.

Последняя книга – это не руководство. Это – попытка переписать математику на новом языке – на языке математической логики. Как уже говорилось, построенная таким образом математическая теория бесплодна. Однако элегантность логических конструкций этой книги необычайна.

Поэтому интерес к ней не ослабевает.

Работа по переписыванию всей математики в форме абстрактной дедуктивной науки, основанной на понятиях теории множеств и теории числа, основанного на ней, была продолжена молодыми математиками в первой половине XX в.

В целом аксиоматизация математического знания была завершена в середине XX в. работой коллектива авторов “Николя Бурбаки” (Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki).

Этот коллектив состоял из талантливых молодых ученых, и не был постоянным, основали его ведущие математики того времени. Эти ученые создали фактически энциклопедию новой математики; их книги охватывают почти все области “чистого” математического знания. Бурбаки игнорировали “прикладные” области математики: дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, математическую физику, численные методы, математическое программирование и т.д.

Они чрезвычайно сильно формализовали математический текст с помощью специальных знаков и формул математической логики. Тексты этих книг стали символом новых отношений к математике особенно в части её логической организации, но этот подход был малопродуктивен в решении прикладных задач, которые и являются движущей силой развития математики.

Некоторые книги Бурбаки стали справочниками по основаниям математических теорий; однако они не могли использоваться как учебники: только хорошо подготовленный и знающий высшую математику и математическую логику человек может понять их содержание. Полный курс “чистой” математики Бурбаки – это не учебник, а продолжение эксперимента по переписыванию математики на языке формальной математической логики.

Тем не менее полный курс “чистой” математики Бурбаки оказал огромное влияние на дальнейшее развитие математики и математического образования2.

Первая реформа школьного математического образования с ориентацией на стиль книг Бурбаки была сделана французскими образовательными учреждениями, когда в 1967 г. французское правительство собрало комиссию по разработке новой школьной программы по математике. В этой программе математика строилась на базе теории множеств и математической логики. В ущерб изучению прикладных областей школьной математики (арифметика, геометрия, решение уравнений и т.д.) школьники изучали комплексные числа и вместо обучения способам решения конкретных задач они учились рассуждать на языке математической логики. В результате стало снижаться умение применять математику в практических ситуациях. Однако подобная реформа математического образования была проведена и в некоторых других странах. Теперь в этих Во время работы над “Принципами” Уайтхед выступил в Королевском обществе, где отрицал традиционное восприятие пространства-времени как триады, состоящей из точек пространства, частиц материи и моментов времени, где геометрия и физика – самостоятельные дисциплины (позиция И.Ньютона). Он поддерживал относительность пространства, где “законы физики не предполагают геометрии, но создают её”.

Позднее идеи Бурбаки были использованы в реформе школьного математического образования некоторых стран в последней трети XX в., что привело к резкому ухудшению уровня математической подготовки школьников. Детское понимание математики, особенно на первых этапах обучения, основано на чувственном восприятии очевидных рассуждений и изображений, и обучение по правилам формальной логики приводит к непониманию сущности изучаемого.

44 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия странах “логически правильное” обучение математике критикуется, в школу постепенно возвращаются некоторые принципы прежней системы обучения математике.

Основным результатом этой реформы стало то, что большинство школьников и студентов стали воспринимать математику как идеалистическую, непонятную (и ненужную!) науку. Однако, заметим, в случае талантливых учеников новый подход к изложению математического знания позволил появиться новым математикам, которые обладают способностью решать чрезвычайно сложные абстрактные задачи, которые внешне никак не связаны с действительностью.

Современная математика работает с чрезвычайно абстрактными понятиями, однако, как и средневековые монстры, составленные из частей существ, известных людям, эти абстрактные понятия имеют в своём основании реальные объекты, известные математикам и инженерам в течение многих веков.



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Конспект лекций по ИМР Тема 1. Введение в предмет. Религия –это важнейший фактор человеческой жизни. Все попытки ученых отыскать нерелигиозное сообщество, даже самое примитивное, окончились неудачей. Самые древние известные культуры носят откровенно религиозный характер. Все древнейшие письменные памятники являются религиозными текстами. Древнейшие и самые известные архитектурные памятники – мегалитические постройки каменного века, гробницы-пирамиды Египта, зиккураты Вавилона, Парфенон Античной...»

«Александр Солженицын Архипелаг ГУЛАГ 1918–1956 Опыт художественного исследования Том 2 (части 3 и 4) Александр Солженицын Архипелаг ГУЛАГ — художественно-историческое исследование Александра Солженицына о советской репрессивной системе в период с 1918 по 1956 годы. ГУЛАГ — аббревиатура от Главное Управление ЛАГерей, название Архипелаг ГУЛАГ — аллюзия на Остров Сахалин А. П. Чехова. Архипелаг ГУЛАГ был написан Солженицыным в СССР тайно (закончен 22 февраля 1967 г.), первый том опубликован в...»

«ЛЕНИН ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ 51 ПЕЧАТАЕТСЯ ПО ПОСТАНОВЛЕНИЮ ЦЕНТРАЛЬНОГО КОМИТЕТА КОММУНИСТИЧЕСКОЙ ПАРТИИ СОВЕТСКОГО СОЮЗА ИНСТИТУТ МАРКСИЗМА-ЛЕНИНИЗМА ПРИ ЦК КПСС В. И. ЛЕНИН ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА • 1970 ИНСТИТУТ МАРКСИЗМА-ЛЕНИНИЗМА ПРИ ЦК КПСС В. И. ЛЕНИН ТОМ 51 Письма Июль 1919 ~ ноябрь 1920 ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА • 1970 3К2 11 2 70 VII ПРЕДИСЛОВИЕ В пятьдесят первый том Полного собрания сочинений В. И....»

«1 ДИАГНОСТИРУЕМ ИНЖЕКТОР (часть-1)! Преамбула Начнем, и весьма популярно, с исторических и теоретических основ. Снимем таинственность с некоторых табу разработчиков этих навороченных электронных систем и прочей путаницы, которая существует в литературе, предназначенной для автосервиса. Читая, Вы можете многое пропустить из этого, но знайте, что этого Вы пока не найдете ни в одной книге по диагностике отечественного впрыска, за исключением разрозненных научных статей. Суть в том, что, усвоив...»

«А. А. ФОРМОЗОВ ПАМЯТНИКИ ПЕРВОБЫТНОГО ИСКУССТВА НА ТЕРРИТОРИИ СССР Издание второе, дополненное и переработанное ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА Москва 1980 Ф о р м о з о в А. А. Памятники первобытного искус­ ства на территории СССР. Изд. 2-е, доп. и пер.— М.: Наука, 1980.— 136 с, ил., 0,5 ид,— (Серия Страницы истории нашей Родины). Немало древнейших произведений искусства, созданных людьми эпохи палеолита, мезолита, неоли­ та и бронзового века, найдено на территории нашей страны советскими археологами. В...»

«В. Ф. А С М У С ИММАНУИЛ КАНТ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА МОСКВА 1973 Издательство Наука, 1973г. Предисловие Кант — великое имя в истории мировой культу­ ры, в истории не только немецкого народа, но и все­ го человечества. Он был новатором и в области нау­ ки и в области философии. Он не только творец великой космогонической гипотезы, провозгласив­ шей, что наша Вселенная есть развивающаяся Все­ ленная, что наша Земля имеет историю во време­ ни. В философии он был возобновителем и даже зачинателем...»

«22 Фазы исторического процесса и социальная самоорганизация С. Ю. Малков Введение Периодизация исторического процесса – сложное и неблагодарное занятие. История предстает перед исследователем как нескончаемая череда изменений во всех сферах жизни (включая политику, экономику, культуру и др.) огромного числа обществ, когдато существовавших и существующих ныне на Земле. Выделить в этом потоке нечто системообразующее, единое для всех обществ и характеризующее эпоху в целом – сложная задача, и...»

«САМОУЧИТЕЛЬ ПЧЕЛОВОДСТВА ОБЩЕДОСТУПНОЕ РУКОВОДСТВО ДЛЯ ПЧЕЛОВОДОВ-ПРАКТИКОВ С 120 рисунками ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ пересмотренное, дополненное и исправленное автором ИЗДАТЕЛЬСТВО „МЫСЛЬ Ленинград — 1 9 2 6 Ленинградский Гублит № 8772. Тираж 10000. Тип. Пуокра, Ул. Петра Лаврова, 21 Предисловие к 4-му изданию Что побудило меня составить предлагаемое руководство. Приступая к составлению задуманного руководства, я вовсе не хочу тем увеличить массу учебников по пчеловодству еще одним лишним изданием....»

«ПЕРВОПРОХОДЦЫ Очерки истории разведочных работ на нефть и газ в Нижневартовском районе в лицах Книга первая П освящ ае т ся 75-летию Нижневартовского района Банк культурной информации Екатеринбург 2003 ББК 84(2Рос=Рус)6-4 К59 Козлов В. К 59 Первопроходцы: Очерки истории разведочных работ на нефть и газ в Н ижневартовском районе в лицах. — Е кате­ ринбург: Банк культурной информации, 2003. — 540 стр. ISBN 5-7851-0441-5 О судьбах лю дей, п о св ят и вш и х свою ж и з н ь р азвед к е у н и к а л ь...»

«В Отделе рукописей Российской Национальной библиоте ки (Санкт Петербург) с конца XIX в. хранилась неопублико ванная рукопись петровского морского капитана и гидрогра фа, затем сенатора Федора Ивановича Соймонова История государя императора Петра Великого. В настоящее время книга, состоящая из шести частей (около 25 а. л.), подготовле на мной к изданию. Этот впервые вводимый в научный оборот источник был создан в 1760 х гг. свидетелем и участником великих событий в истории России начала XVIII в....»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.