WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 11 ] --

Пока ещё математика воспринималась как наука об изучении величин, которые, естественно, в конечном счёте выражаются числами.

Фактически лишь теория Кантора была новым идейным явлением в математике: конструкция понятия числа у Вейерштрасса и Дедекинда восходила к античным доевдоксовой (базирующейся на цепных дробях) и Евдоксовой теории отношений.

Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логики развития математического знания Надо отметить, что к концу XIX в. большинство профессиональных математиков не занимались решением прикладных задач, они видели своей целью развитие теоретического знания; при этом практически все они преподавали. В своих исследованиях они обобщали известные математические факты, анализировали их и развивали теоретические методы решения этих обобщённых задач. Математика для них уже становится исключительно теоретической наукой: теперь многие ученые не видят связи математического знания и практики; возникают понятия “чистой” и “прикладной” математики, теперь математику делят на технические науки и область чистой мысли.

К середине XIX в. большинство математиков-преподавателей были уже уверены, что математика – это порождение оторванной от действительности абстрактной мысли (“математика=логика!”), у математики нет никакого отношения к окружающей действительности, математика самодостаточна и её развитие никак не зависит от внешних факторов. Ранее, в XVII-XVIII вв., профессора математики должны были быть в состоянии поставить новую (обычно связанную с некоторой прикладной проблемой) задачу и решить её. Теперь математик часто получал задачу, уже сформулированную другим ученым и, решая её, мог её обобщать, вводить другие условия и расширения используемых понятий. Складывалось впечатление, что все математические задачи возникают именно так, т.е. они – порождение исключительно человеческой мысли. Лишь немногие помнили, что основа решаемых задач лежит в практической деятельности человека. С точки же зрения обывателей математика стала казаться непонятной и абстрактной наукой.

Быстрое развитие теоретической математики, однако, не влияло на математику, преподававшуюся в средней школе. Школьные учителя по-прежнему ориентировались на адаптированные тексты Евклида, и они давали ученикам лишь крохи сведений о достижениях математики Нового времени. Многие ведущие математики-теоретики размышляли над путями развития математического школьного образования. Они ставили вопросы о том, как именно и в каком объёме математика должна присутствовать в школе.

Возможные направления обоснования математики и связанные с этим трудности.

Итак, дерево математических наук быстро разрасталось. Теперь лишь немногие ученые могли знать хотя бы базовую информацию обо всех областях этой науки. Общепринятые геометрические наглядные интерпретации сменились концепциями о многомерных пространствах с экзотическими метриками и экзотическими системами координат. Математики активно изобретали контрпримеры к сомнительным утверждениям, и часто такие контрпримеры были фантастическими, подобные объекты не встречались в практике решения прикладных задач1. Именно в первой половине XIX в. математика начинает ставить вопрос о существовании и единственности решения тех или иных задач: ранее все так или иначе связанные с практическими приложениями математические задачи самой своей постановкой подразумевали наличие единственного решения.

Большинство математиков уже было уверено, что математика – это продукт чистого разума.

У многих исследователей сложилась представление о математике как о произведении человеческой мысли, результате умозаключений, отвлеченных от действительности2. В это время были очень популярны рассуждения о возможных для исследования новых “умозрительных” математических объектах.

На фоне вопросов об упорядочивании математического знания, в т.ч. разнообразных областей геометрии, в 1872 г. Ф. Клейн предложил новый метод алгебраической классификации геометрических теорий. Его сообщение в Эрлангенском университете “Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований” (Vergleichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen) или “Эрлангенская программа” существенно повлияло на дальнейшее развитие геометрии. Геометрия в это время состояла из самых разнообразных направлений, представлявшихся незавиЗаметим, что до начала XIX в. в математике практически не было контрпримеров: они появились, когда слишком вольные обобщения ранее очевидных фактов приводили к неверным утверждениям. Теперь многие новые математические факты “тестировались” на устойчивость к контрпримерам.

Так, Н.И. Лобачевский назвал свой главный труд “Воображаемая геометрия” (1835-1838, “Gйomйtrie imaginaire”, 1840).

40 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия симыми друг от друга. Это были Евклидова, сферическая, проективная, аффинная, Риманова, многомерная, и др. геометрии. Многие геометрические факты теперь доказывались алгебраически, не требуя геометрических иллюстраций. На новом уровне повторилось открытие Декарта:

алгебраизированная геометрия позволила получать глубокие результаты, чрезвычайно сложные или невозможные в рамках прежних математических методов. Клейн предложил классифицировать различные ветви геометрии в соответствии с классами преобразований, которые важны или не важны для этой области геометрии. Одна геометрия отличается от другой различными группами преобразования пространства, а объекты исследования геометрии – это инварианты таких преобразований. Эрлангенская программа стала основой развития новых геометрических направлений в математике. Предложенный Клейном общий алгебраический подход к различным геометрическим теориям наметил дальнейшие пути их развития. Благодаря такому методу математического исследования геометрическая составляющая решавшихся в геометрии задач ушла на второй план. Естественно, алгебраизация геометрии облегчила решение многих задач, но такие методы перевели геометрические факты на другой, алгебраический язык, и сама сущность геометрии стала казаться некой абстракцией.



Несмотря на то, что новый алгебраический язык в геометрии был не всегда эффективен, широко обсуждалась идея создания универсального математического языка.

Однако, прежде всего было важно выяснить, какие объекты являются предметом исследования математики?

Кроме обсуждения самой структуры и методов математических рассуждений, в математике была ещё одна важная проблема, а именно: что можно считать основными объектами математического исследования? В математике предшествующих периодов исследовались величины и их свойства. Это могли быть геометрические, алгебраические величины и, в первую очередь, числа. Однако развитие качественных методов в математике (например, исследования в области топологии) сделали недостаточными такие представления об основном объекте математического исследования. Г. Кантор предложил в качестве основного понятия математики выбрать понятие множества: с помощью языка теории множеств было бы возможно определить многие объекты математического исследования. Однако его позиция и его исследования в области кардинальных множеств и трансфинитных чисел имела оппозицию в лице Л. Кронекера (Leopold Kronecker, 1823-1891), А. Пуанкаре (Jules Henri Poincar, 1854-1912), Г. Вейля (Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955), Л. Брауэра (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966) и др. Однако Г. Фреге (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848-1925), Дедекинд и Д. Гильберт (David Hilbert, 1862-1943) поддержали позицию Кантора.

Но вскоре были обнаружены первые парадоксы в теории множеств. Причиной этого были “вольные” действия с понятием бесконечного множества. В основаниях математики парадокс Рассела (также известный как антиномия Рассела, 1901 г.), показал, что наивная теория множеств, созданная Г. Кантором, содержит противоречия. Тот же самый парадокс был обнаружен за год до этого Э. Цермело (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-1953), но не был опубликован, В 1908 г. Э. Гуссерлем (Edmund Gustav Albrecht Husserl, 1859-1938) и другими преподавателями Гёттингенского университета были предложены два способа избежать подобных парадоксов. Это были теория типов Рассела и аксиоматика теории множеств Цермело, позднее преобразованную в систему Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Также исследовался вопрос о методах получения новых математических фактов, то есть о методах доказательства новых теорем и развития (обобщения и расширения) существующих теорий.

Вопросы о путях обоснования математики вызывали много споров. Многие учёные высказывали собственные соображения относительно принципов развития математики.

Прежде всего, предполагалось развитие формального направления развития математики. Как уже говорилась, эти идеи организации математического знания ориентировалась на античный вариант логически выстроенной геометрии (при этом математики конца XIX в. не обращали внимания на некоторые логические противоречия в основаниях греческой науки). Предполагалось, что математика может развиваться на основе искусственно созданного языка: преобразовывая Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логики развития математического знания выражения этого языка по определённым правилам, казалось возможным получить абсолютно все математические факты. Были предприняты попытка формального обоснования математики с помощью специального языка с безупречной логикой. В основу этих попыток легли работы И. Канта (Immanuel Kant, 1724-1804). В этой работе участвовали Л. Кутюра (Louis Couturat, 1868-1914) и А. Лаланд (Andr Lalande, 1867-1963), а также Д. Гильберт и Б. Рассел. Именно такой подход к методам обоснования и развития математики продвигался Д. Гильбертом. Позднее его ученики Дж. Нейман (Neumann Jnos Lajos, 1903-1957), П. Бернайс (Paul Isaac Bernays, 1888-1977) и В. Аккерман (Wilhelm Friedrich Ackermann, 1896-1962) занимались вопросами формализации математической логики. Работа над языком логики активизировалась после Всемирного философского конгресса в 1904 г. Но вскоре стало известно, что невозможно создать безупречный язык логики, у которого нет никаких внутренних противоречий1.

В работе над идеальным языком для математики ученые встретились с рядом трудностей, которые были связаны с возможностью или невозможностью конструирования с помощью специального языка некоторых истинных или ложных логических выражений. Возникли сомнения в возможности создания такого универсального математического логического языка. Как известно, эти сомнения были разрешены К. Гёделем (Kurt Friedrich Gdel, 1906-1978) в публикации 1931 г.

о его теореме о неполноте.

Кроме того, предполагалось развивать математику как конструктивную (решающую задачи явно) науку. Многие математики-практики интересовались именно таким способом развития математики; в частности Л. Кронекер поддерживал конструктивное направление в развитии математики. Позже конструктивное направление развития математики продвигалось усилиями А.А. Маркова (младшего, 1903-1979), Э. Бишопом (Errett Albert Bishop, 1928-1983) и др.

Было и ещё одно предполагаемее направление развития математики: интуитиционизм. Это – система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как собрания “интуитивно убедительных” мыслительных конструкций. Здесь основной критерий истинности математического суждения – интуитивная убеждённость в возможности выполнения умственного эксперимента, связанного с этим суждением.



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«Предисловие к житиям святых Аристакеса, Вртанеса, Григориса Отрока, Юсика, Данниила и Нерсеса Великого. В основу житий и мученичеств свв. Аристакеса, Вртанеса, Григориса Отрока, Юсика, Данниила и Нерсеса Великого, легла История Армении армянского летописца IV века Фавста Византийца, описавшего в своем труде историю Армянского государства, периода, охватывавшего около 50-ти лет, начиная с царствования Хосрова II Котака (343-352 гг.), сына св. царя-мученика Трдата III Великого († 342, память...»

«А.Р. Корсунский История Испании IX-XIII веков А.Р. Корсунский (Социально-экономические отношения и политический строй Астуро-Леонского и Леоно-Кастильского королевства) (Социально-экономические отношения и политический строй Астуро-Леонского и ЛеоноКастильского королевства) Рецензенты: Кафедра всеобщей истории Горьковского государственного университета; профессор Курбатов Г. Л. Рекомендовано Министерством высшего›и среднего специального образования СССР для.использования в учебном процессе...»

«Гергард Фаст, написано в 1956 году Напечатано и издано в издательстве господина Геезе, Ростгерн, Канада. Перевод И.Гейнце, Германия 2013 год. Предисловие Наконец-то стало возможным эту книгу об истории нашей бывшей Родины в Сибири сдать в печать. Прошло 50 лет с тех пор, как первые меннониты переселились за Урал, и в нынешнем 1957 году будет 50 лет со времени основания самой большой их колонии в городе Славгороде. Теперь уже умерший пресвитер Корнелиус Гардер незадолго до смерти начал сбор...»

«УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки Магистров Д.ф.н., проф. Николаева С.Ю. 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине М2.В.ДВ.1 КНИГА В ИСТОРИИ КУЛЬТУРЫ (II курс магистратуры) Направление 035000 (М) Издательское дело _Редакционная подготовка изданий_ (название специализированной программы подготовки магистров) Обсуждено на заседании кафедры Составитель: 3 07 2012 г. Протокол № 11 К. ф. н., доц. Е.Г. Кирьянова _ Зав. кафедройРедькин В.А. Тверь 2012 1 1. Пояснительная записка...»

«ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К КАНДИДАТСКОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО НАУЧНОЙ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 24.00.01 Теория и история культуры Место культурологии в системе современного гуманитарного знания. 1. Основные определения феномена культуры. 2. Трактовка культуры с позиций эволюционизма и историзма. Неоэволюционизм 3. о сущности культуры. Общее и отличное в понимании культуры в рамках специально-научного 4. культурологического знания. Теоретическая и прикладная составляющие в культурологии. 5. Характерные черты исторических...»

«Томск промышленный Дайджест 2003 г. Уважаемые читатели! Предлагаем вашему вниманию дайджест, представляющий собой подобранные по одной теме фрагменты текстов разных авторов. Дайджест в переводе с латинского означает краткое изложение. Точки зрения авторов при рассмотрении данной темы не всегда совпадают. За столетия своего существования Томск прошел долгий, насыщенный путь развития. Индустриальная сфера города приобрела первенствующую роль. Внедрение в промышленность новых технологий, нового...»

«От автора Родился в 1950 году в ауле Байгул в Татарстане. По образованию инженернефтяник, вся жизнь практически прошла в ОАО Татнефть, но сейчас там не работаю. Был одним из самых сильных инженеров. Некоторое время читал лекции в институте по истории мирового менеджмента, причинах доминирования и упадка цивилизаций. Некоторые его части легли в основу книги. В данное время занимаюсь производственным менеджментом. Не секрет, что главной проблемой общества, обрекающего его на нищету, является его...»

«ПИСЦОВЫЕ И ПЕРЕПИСНЫЕ К Н И Г И ЯРЕНСКОГО УЕЗДА X V I — X V I I вв. К А К ИСТОРИЧЕСКИЙ ИСТОЧНИК А в т о р настоящей статьи ставил перед собой задачу изу­ чить писцовые и переписные книги Яренского уезда, одного из 22 уездов области Поморья. Писцовые и переписные книги вообще изучались разны­ ми историками в дореволюционное и советское время. Мно­ гие историки (С. В. Веселовский, А. Ц. Мерзон и др.) изуча­ ли их в общем плане, ставили вопросы об описаниях земель Русского государства и давали...»

«Патрик Хили ВУЗЫ: БИТВА ЗА ПРОФЕССУРУ1 Сегодня университеты готовы практически на все, чтобы запо лучить именитого профессора, который мгновенно поднимет пре стиж заведения, привлечет крупных инвесторов и даже — ах, ну ко нечно! — немного попреподает. Профессор Найал Фергюсон — один из лучших молодых бри танских историков своего поколения, недавно вспыхнувший талант, способный с таким блеском повествовать о кейнсианской эконо мике и о политике Первой мировой войны, что даже нерадивые сту денты...»

«Путь жизни автобиография Родился 28 марта 1883 г. в Москве. Среднее образование в пятой и первой Московск. классических гимназиях. 1901-1906 юридический факультет Московского Университета. 1906-1909 гг. подготовка к магистрантскому экзамену. Декабрь 1909 г. пробные лекции и звание приват-доцента по кафедре истории Философии Права. 1910 г. чтение первого курса...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.