WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 93 |

«ТРУДЫ XI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ Ярославль 2013 УДК 51; 51:372.8; 51(091) Печатается по решению редакционноББК 22.1 я434 издательского совета ЯГПУ им. К. Д. ...»

-- [ Страница 10 ] --

В 1847 г. Дж. Буль (George Boole, 1815-1854) издал брошюру “Математический анализ логики” (“The Mathematical Analysis of Logic”), где он показал аналогию алгебраических преобразований и логического рассуждения2. Возникла заманчивая идея: используя алгебру логики записать все возможные истинные утверждения по известным правилам. То есть поиск математических фактов сведётся к поиску всех возможных истинных формул логики. (Значит, алгебра логики потенциально могла дать абсолютное знание!) Много исследователей (например, Дж. Пеано (Giuseppe Peano, 1858-1932), М. Фреше (Maurice Ren Frchet, (1878-1973), Б. Рассел (Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell, 1872-1970), А. Уайтхед (Alfred North Whitehead, 1861Г. Фреге (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848-1925) и др.) исследовали алгебру логики, они заменяли словесное рассуждение преобразованиями логических формул. Однако позже было доказано, что создание последовательного непротиворечивого языка невозможно: в любом человеческом или формальном языке можно сконструировать противоречивые утверждения.

Одновременно математики исследовали системы аксиом, используемые со времен Евклида.

Возникновение новых математических теорий требовало создания новых систем аксиом. Не всегда начальный набор таких аксиом был удачен; часто позднее список аксиом пополнялся и (или) изменялся. В этот период математики исследовали вопрос: сколько аксиом достаточно для того, чтобы создать эффективную математическую теорию? Возможно, впервые этот вопрос поставил К. Гаусс (Johann Carl Friedrich Gau, 1777-1855): он отказался от пятого постулата Евклида или аксиомы о параллельных и обнаружил, что созданная без этого постулата геометрия непротиворечива. Независимо от Гаусса такое же исследование было выполнено Лобачевским и Я. Бойяи (Jnos Bolyai, 1802-1860).

Открытие неевклидовой геометрии стимулировало интерес к минимизации систем аксиом.

Изменение “классических” аксиом, и также отказ от некоторых из них привели к различным абстрактным теориям, внешне имеющим очень мало общего с действительностью3. Пересматривая труды своих предшественников, математики XIX в. переписывали известную в то время математику с использованием языка математической логики с минимальным количеством аксиом4.

Отметим, что эта цель не была достигнута: до сих пор математика черпает идеи не столько из развития уже известных теорий с помощью дедуктивных рассуждений, сколько из необходимости решения всё большего количества возникающих в нынешнем мире прикладных задач; об этом свидетельствует бурное развитие и появление новых математических дисциплин в XX в.

Одновременно в работе “Формальная логика” (Formal Logic, 1847) А. де Морган (Augustus De Morgan, 1806-1871) описал понятие универсума и символы для логических операторов, записал известные “законы де Моргана”. Позже он ввёл общее понятие математического отношения и операций над отношениями.

Впервые “чисто абстрактные”, не связанные с действительность задачи в математике возникли, повидимому, в странах мусульманского Востока: там начали рассматривать алгебраические уравнения произвольных степеней, эти уравнения никак не были связаны с действительностью, в то время как, например, “образец для подражания”, использованный арабоязычными учёными – “Арифметика” Диофанта – в своих алгебраических выражениях не выходил за рамки трёхмерной геометрии.

Отметим здесь “Эрлангенскую программу” (1872) Ф. Клейна (Felix Christian Klein, 1849-1925), где была сделана попытка объединить широко разросшееся дерево геометрических теорий с помощью алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны; т.е. разделы геометрии характеризуются применяемыми в них группами преобразований, а объекты изучения - инварианты этих преобразований; классифицировать геометрические теории на основе проективной геометрии и теории групп было предложено и Гильбертом (“Grundlagen der Geometrie”, 1899).

Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логики развития математического знания Утверждение “математика=логика” стало символом университетской (профессорской) математики второй половины XIX в. Однако исследование и попытки развития известных математических теорий с помощью математической логики до сих пор не дали практических результатов.

Математическая логика лишь объясняет, как работает математика, но не может предложить новые факты в практикующей математике.

Математики-теоретики и их задачи. Итак, в конце XVIII в. и в начале XIX в. количество математиков-профессоров высшей школы стало больше, чем количество математиков-практиков, то есть математиков, решающих прикладные задачи и развивающих их методы решения. Многие профессора-математики никогда не решали прикладных задач: они только преподавали. Впрочем, некоторые профессора математики совмещали теоретические и практические исследования, применяя свои знания и в решении некоторых прикладных задач..

Многие математики-профессора занимались научными исследованиями потому, что это было необходимым условием для пребывания в должности профессора. У большинства из них не было научных контактов с инженерами и учеными в других областях естественных наук, которые могли бы предложить им новые нерешенные проблемы, требующие математического вмешательства. Многие профессора математики начали изобретать собственные, порой совершенно оторванные от действительности, объекты для исследования. Основными направлениями работы многих университетских профессоров было и упрощение доказательств, расширение и обобщение уже известных результатов, исследования по логике и основаниям математики. Новые дисциплины – математическая логика и теория множеств – были весьма популярны в среде молодых ученых.



Эти новые области математического знания не требовали длительной подготовки для понимания сути проблемы и для её решения.

Иногда у теорий, созданных профессорами-теоретиками, не было никакой связи с практическими приложениями, но, имея в основании факты практической математики, эти новые теории были последовательными и эффективными. Как средневековый художник, рисующий воображаемых монстров в бестиариях, так и математики-теоретики изобретали новые математические объекты для исследования. Но человеческий разум не может изобрести ничего вне связи с реальностью. Поэтому у средневековых монстров были копыта, рога, ослиные уши, страшные морды и т.д., эти части тела монстров были немного искажены и имели экзотическую окраску, но они были узнаваемы. Так же и во всех областях изобретённой теоретиками “абстрактной” математики можно увидеть следы реальных практических задач, решавшихся математическими методами.

Многие новые направления в математике теперь были понятны лишь небольшому количеству “посвящённых” исследователей.

В это же время бурно развивались и другие области знания. Биология, статистика, демография, страхование требовали новых исследований и новых математических методов решения их задач.

Быстро росло количество ученых во всех областях математического знания. Теперь традиционного общения между учеными (письма, публикации в научных журналах, книгах, редкие личные встречи) было недостаточно.

Потребность в обмене мнениями о направлении развития науки привела к созданию научных организаций и проведению первых научных конгрессов для ученых различных специальностей.

Ф. Клейн (Felix Christian Klein,1849-1925) и Г. Кантор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845-1918) стали инициаторами созыва международного конгресса математиков в конце XIX в.

Первый такой конгресс прошёл в Цюрихе с 9-11 августа 1897 г. Среди организаторов и участников были наиболее выдающиеся математики того времени; в Конгрессе участвовали 208 математиков из 16 стран, включая 12 участников из России и 7 из США.

Видимо, Кантор предполагал использовать этот конгресс для распространения теоретикомножественного метода обоснования математики; в выступлениях Кантора, Ж. Адамара (Jacques Salomon Hadamard, 1865-1963) и А. Гурвица (Adolf Hurwitz, 1859-1919) были предъявлены различные варианты плодотворного применения теории множеств в анализе.

Заключительное сообщение Конгресса было сделано Клейном; и оно было посвящено проблемам реформы математического образования.

38 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Задачи методики как важная причина преобразования оснований математики.

Желание преобразовать и усовершенствовать обучение математике было основной заботой математиков-преподавателей. В математическом образовании существовало множество проблем, но главная из них: обучение студентов должно быть быстрым и эффективным. Это требовало создания специальных учебников и задачников, соответствующих нужному уровню математического знания.

Вообще говоря, следуя естественному пути развития, математика могла бы стать конструктивной (решающей задачи) наукой и математическое образование для инженеров могло быть направлено только на изучение способов решения прикладных задач. Обученные таким методом способные студенты со временем могли стать математиками-практиками, развивающими новые методы решения новых задач.

Однако, как уже говорилось выше, в XIX в. ученые стремились преобразовать математику в гармоничную систему аксиом и теорем с абсолютно ясными правилами логических выводов.

Итак, в первой половине XIX в. у математиков-преподавателей были следующие основные цели:

1. Формализация и объединение всех (и особенно новых) отраслей математического знания на базе некого общего обоснования математики. Поиск методов унификации математического знания.

2. Адаптация математического знания для преподавания в массовых образовательных учреждениях.

3. Создание системы аксиом, определений и правил действия с логическими рассуждениями, позволяющих выполнять эти задачи.

В качестве модели для решения этой методической проблемы была выбрана античная математика. И, как и древнегреческая наука, математика XIX в. встретила серьёзные логические проблемы. Как известно, античная математика избегала понятия “бесконечности”, опасаясь связанных с ней парадоксов. Но математический анализ основан на понятии “бесконечно малой величины”, следовательно, реформаторов математики ожидали большие сложности.

Как уже было сказано, разработка основных понятий и принципов математического анализа была задачей профессоров.

Главное внимание здесь было направлено на понятие непрерывности и предела. Наибольший вклад в обоснование анализа бесконечно малых величин, как известно, внесли именно математикипреподаватели: Б. Больцано (Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano, 1781-1848), Г. Гейне (Heinrich Eduard Heine, 1821-1881); О. Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857), К. Вейерштрасс.

(Среди них только Коши был, кроме того, и математиком-практиком, решавшим прикладные задачи).

Требования методического обоснования математического знания привели к созданию специальной терминологии и структуры учебного плана в математическом анализе.

Но после упорядочивания оснований математического анализа возник вопрос: а что же такое число1 ? Этот вопрос был решён Вейерштрассом, Р. Дедекиндом (Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916) и Кантором. Самый простой, основанный на способе позиционной записи чисел, подход к определению числа дал Вейерштрасс (один из величайших математиков-педагогов в истории). Несколько сложнее для восприятия теория сечений Дедекинда, и очень сложна для понимания и практического применения основанная на теоретико-множественном подходе точка зрения Кантора2. Теоретико-множественный подход к обоснованию математики таил в себе множество сложностей: были обнаружены парадоксы теории множеств, что стимулировало развитие формальной логики в решении проблем обоснования всей математики.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 93 |
 



Похожие работы:

«1 Новости образования Последний звонок прозвенит для более чем 50 тысяч школьников Москвы 24.05.2013 РИА Новости http://www.ria.ru/moscow/20130524/939132880.html...»

«ЗНАЙ И ЛЮБИ СВОЙ КРАЙ Библиографический указатель Смоленск 2012 УДК 016:9(С 127) ББК 91.9:63 З - 70 Составитель: И. А. Реброва В подготовке календаря участвовали: В. М. Аникеев, Г. И. Артамонова, В. И. Бухтеев, Д. В. Валуев, В. М. Калыгина, Г. В. Ковалева, Л. М. Козикова, Н. Н. Кравклис, Т. В. Кудрявцева, И. Е. Малащенкова, Т. Л. Насонова, М. И. Рабинович, С. М. Романенко, А. Т. Смирнова, Л. Л. Степченков Ответственный за выпуск: О. Е. Мальцева З-70 Знай и люби свой край: библиогр. указ. /...»

«март Лучшие Дистрибьюторы Лучшие Дистрибьюторы по неменеджерскому объему! по групповому объему! 1. ШВЕДОВА АННА 1. ШВЕДОВА АННА 2. МЕЛЬТОН ТАТЬЯНА И АЛЕКСАНДР 2. МЕЛЬНИЧЕНКО ЛАРИСА 3. МЕЛЬНИЧЕНКО ЛАРИСА 3. МЕЛЬТОН ТАТЬЯНА И АЛЕКСАНДР 4. ЗАЛИНЯН ВЛАДИМИР 4. АЛТУНИНА АННА 5. БАБУШКИНЫ КСЕНИЯ И ЕВГЕНИЙ 5....»

«Легенды моего народа – великих оджибвеев Под редакцией Сельвина Дьюдни Перевод с английского С. Педченко, 2006 Введение Более предприимчивый читатель должно быть проигнорировал эти страницы и уже приступил с некоторым удивлением и возможно трепетом к птенцам громовых птиц с их глазами мерцающими так же ярко, как вспышки молний. С него достаточно того, что я расчистил перевозы вдоль пути по незнакомому миру Моррисо, которые приблизят его ко всем важным элементам ландшафта. Другие, однако, станут...»

«К истории коммунистического режима в СССР А.А. Болонкин Зaписки советского политзaключeнного (A.Bolonkin, Memoirs of Soviet Political Prisoner) 1991 Нью-Йорк Второе издание Lulu 1999 3 Об авторе Д.т.н. Б. Кругляк Александр Болонкин - ученый и правозащитник В этой небольшой заметке я хочу коротко рассказать об удивительном человеке Александре Александровиче Болонкине, его сложной и трудной судьбе как ученого и защитника прав обездоленных. Родился он на Урале в г. Пермь и уже в детстве и юности...»

«И.Болл Дети Падших. Как История стала Мифом. Книга о том, кем и как были созданы все мировые религии. Предназначена для внимательного читателя. Отредактировано в ноябре 2013 г. Так же размещена здесь - www.iisusbog.com/fallen0.htm Содержание: Предисловие Библия и Фантазии историков Немного об истории с точки зрения Библии Шумерские нефилимы Сколько же они жили? Проблемы Шумерского Списка царей Энмеркар упомянут в Библии. Аратта История Нина.и Семирамиды Лугальбанда и Думузид Первые итоги...»

«После добродетели Академический Проект Деловая книга 2000 УДК 17 ББК 87 M 15 Alasdair Macintyre AFTER VITTUE A STUDY OF MORAL THEORY Norte Dame University Press Noter Dame, Indiana Макинтайр А. M 15 После добродетели: Исследования теории морали/ Пер. с англ. В. В. Целищева — М.: Академический Проект; Екатеринбург: Деловая книга, 2000.— 384с. ISBN 5-8291-0084-3 (Академ, проект) ISBN 5-88687-067-9 (Деловая книга) В работе представлена оригинальная концепция исторического развития как самой...»

«К РАЗРАБОТКЕ КОНЦЕПЦИИ МУЗЕЙНО-МЕМОРИАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА КОВАЛЕВСКИЙ ЛЕС ПАМЯТНАЯ ЗАПИСКА Санкт-Петербург 2010 2 1. ОБОСНОВАНИЕ КОНЦЕПЦИИ 1.1. Историческое значение места С Ковалевским лесом связан один из самых значимых периодов в истории советского террора – красный террор, положивший начало тридцатипятилетней эпохе насилия и убийств. Начиная с осени 1918 это место служило местом казни заложников и осужденных контрреволюционеров. Здесь, примерно в 900 метрах от Рябовского шоссе, сохранился...»

«© 1995 г., э о, № з Н. JI. П у ш к а р е в а СЕМЬЯ, ЖЕНЩИНА, СЕКСУАЛЬНАЯ ЭТИКА В ПРАВОСЛАВИИ И КАТОЛИЦИЗМЕ: ПЕРСПЕКТИВЫ СРАВНИТЕЛЬНОГО ПОДХОДА История семьи, внутрисемейных отношений, история женщин в эпоху средневековья и раннего Нового времени неотделимы от проблем религиозной антропологии. Интерес к этим сюжетам, ставший традиционным в западноевропейской (особенно — французской) исторической науке, давно повернувшейся лицом к человеку, возник в России недавно. Причин тому много. Есть среди...»

«ВЕК ГЕНЕТИКИ: ЭВОЛЮЦИЯ ИДЕЙ И ПОНЯТИЙ Научно-исторические очерки Санкт-Петербург Борей Арт 2000 Golubovsky M. D. The Century of Genetics: Evolution of ideas and concepts Scientific-Historical Essays Saint-Petersburg Borey Art 2000 УДК 5.75 ББК 28.04 Голубовский М. Д. Век генетики: эволюция идей и понятий. — СПб.: Борей Арт, 2000. — с. 262. ISBN 5-7187-0304-3 На основе нетрадиционных подходов в истории науки проанализирован ряд парадоксов в драматической вековой истории генетики, начиная с...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.