WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 26 |

«АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 УДК 51(09) ББК 22.1г Р64 Розенфельд Б. А. Р64 Аполлоний ...»

-- [ Страница 7 ] --

Конус называется прямым, если его ось перпендикулярна плоскости основания, и наклонным, если ось наклонена к этой плоскости.

Тем самым Аполлоний определил прямой и наклонный круговые конусы.

Далее рассматриваются плоские кривые линии. В том случае, когда в плоской кривой линии проведены параллельные хорды и середины этих хорд лежат на одной прямой, эта прямая называется диаметром кривой линии. Конец диаметра называется вершиной плоской кривой линии.

В том случае, когда точки двух плоских кривых линий соединяются параллельными прямолинейными отрезками, и прямая линия, содержащая один из этих отрезков, является диаметром обеих кривых линий, отрезок этой прямой линии между двумя кривыми линиями называется поперечным диаметром этих кривых линий, а если середины параллельных отрезков лежат на одной прямой линии, эта прямая линия называется восставленным диаметром пары кривых линий. Концы поперечного диаметра пары кривых линий называются вершинами этих линий.

Аполлоний называет половины параллельных хорд между кривой линией и ее диаметром приложенными по порядку. В средневековых латинских переводах Конических сечений это выражение переводилось ordinatim applicatae, откуда произошел термин ординаты, которым мы будем переводить выражение Аполлония приложенные по порядку.

Два диаметра называются сопряженными, если один из них параллелен ординатам, проведенным к другому.

В том случае, когда диаметр плоской кривой линии или пары кривых линий перпендикулярен параллельным хордам, этот диаметр называется осью кривой линии или пары кривых линий. Оси кривых линий и пар кривых линий являются их осями симметрии.

В дальнейшем Аполлоний рассматривает диаметры, вершины, ординаты и оси параболы, эллипса и гиперболы, а также поперечные и восставленные диаметры пары противоположных гипербол.

Термин диаметр первоначально применялся только к окружности круга.

Предшественники Аполлония называли диаметрами конического сечения то, что Аполлоний называл осями. Об этом изменении терминологии Аполлоний писал в предисловии к I книге. По-видимому, этим объясняется то, что Аполлоний называл вершинами концы любого диаметра, хотя его предшественники называли так только концы осей.

Современные математики применяют термины диаметр и ось для конических сечений в том же смысле, что и Аполлоний, словом вершина называют не любую точку конического сечения, как это делал Аполлоний, а только концы осей сечения.

В предложении I1 Конических сечений Аполлоний доказывал, что прямая, соединяющая вершину конической поверхности с любой ее точкой, целиком лежит на этой поверхности, т. е. является ее прямолинейной образующей.

В предложении I2 доказывается, что прямолинейный отрезок, соединяющий две точки одной полости конической поверхности и не лежащий на ее прямолинейной образующей, находится внутри конической поверхности, а продолжения этого отрезка находятся вне этой поверхности.

У Аполлония отсутствует доказательство того, что прямолинейный отрезок, соединяющий две точки различных полостей конической поверхности и не лежащий на ее прямолинейной образующей, находится вне конической поверхности, а продолжения этого отрезка находятся внутри этой поверхности. Это доказательство отсутствует, по-видимому, потому, что такая теорема не доказывается в Началах конических сечений Евклида.

В предложении I3 доказывается, что сечение кругового конуса плоскостью, проходящей через его вершину, является треугольником, откуда следует, что сечение конической поверхности плоскостью, проходящей через ее вершину, является парой пересекающихся прямых.

В предложении I4 доказывается, что сечение кругового конуса плоскостью, параллельной его основанию, является кругом, откуда следует, что сечение конической поверхности плоскостью, параллельной ее основанию, является окружностью.

Предложение I5, важное для теории стереографической проекции, мы рассматривали в главе 4.

В предложении I6 доказывается, что если в наклонном круговом конусе с вершиной A и основанием BC проведен осевой треугольник ABC, проходящий через его ось, и в его основании проведена линия DE, перпендикулярная диаметру BC основания, то если из точки L поверхности конуса, не лежащей на сторонах треугольника ABC, провести параллельно прямой DE прямую LK, пересекающую плоскость ABC в точке K, и если продолжить ее до пересечения с поверхностью конуса в точке M, то отрезок KM равен отрезку LK (рис. 19, а).

В предложении I7 рассматриваются сечения конической поверхности плоскостями общего вида. Пусть коническая поверхность с вершиной A и с основанием BC пересекается плоскостью, высекающей из плоскости основания конуса прямую DE. Проведем диаметр основания BC перпендикулярно прямой DE и построим осевой треугольник ABC конуса, ограниченного конической поверхностью и ее основанием.

Пусть плоскость конического сечения пересекает прямую AB в точке G, а прямую BC в точке I. Тогда прямая GI делит каждую из хорд конического сечения, параллельных прямой DE, на две равные части, т. е. диаметр этого конического сечения расположен на прямой GI, а хорды, параллельные линии DE, являются ординатами, проведенными к этому диаметру. На рис. 19, б—г изображены случаи, когда коническое сечение является параболой, эллипсом или гиперболой.

Доказательство этого утверждения вытекает из предложения I6.

Заметим, что если провести через точку G плоскость, параллельную основанию конуса, она пересечет плоскость конического сечения по прямой, параллельной DE. Эта прямая является касательной к коническому сечению в точке G. Конические сечения, которые рассматриваются в предложении I7 и в последующих предложениях Аполлония, высекаются из конических поверхностей произвольными плоскостями, а не только плоскостями, перпендикулярными прямолинейным образующим этих поверхностей. Поэтому названия конических сечений, которыми пользовались предшественники Аполлония, теряют смысл, и Аполлоний заменил эти названия новыми.



В отличие от предшественников Аполлония, которые рассматривали только плоские сечения прямых круговых конусов, конические сечения, которые рассматривал Аполлоний, высекаются также из наклонных круговых конусов, и, помимо сечений одной полости конической поверхности, он рассматривал сечения обеих полостей этой поверхности.

В предложении I8 Аполлоний находит условия того, что конические сечения могут быть неопределенно продолжены, т. е., выражаясь языком современной геометрии, простираются в бесконечность.

В предложении I9 определяются условия, когда конические сечения не являются окружностями. Предложение I10 устанавливает, что конические сечения являются выпуклыми линиями. Здесь впервые появляются понятия внешних и внутренних точек конических сечений.

Предложения об этих точках аналогичны предложениям о внутренних и внешних точках кругов в III книге Начал Евклида. Внутренние и внешние точки кругов являются такими точками, расстояния которых до центра круга меньше или больше радиуса круга. Это метрическое определение неприменимо для конических сечений. Аполлоний не дает определения внутренних и внешних точек конических сечений, но, по существу, переносит это понятие с кругов на конические сечения с помощью проецирования из вершины конической поверхности.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В главе 5 мы условились, что если L — произвольная точка конического сечения, то прямолинейный отрезок LK, проведенный параллельно прямой DE от точки L до диаметра GI конического сечения, мы называем ординатой точки L. Линию GK от вершины конического сечения до точки K Аполлоний называл отсеченной от вершины. В средневековых латинских переводах Конических сечений это выражение переводилось ex verticis abscissa, откуда произошел термин абсцисса, которым мы будем переводить выражение Аполлония отсеченная от вершины.

Роль оси абсцисс у Аполлония играет произвольный диаметр конического сечения, роль оси ординат — касательная к сечению в конце этого диаметра (рис. 20, а—в).

Уравнения конических сечений у Аполлония, как и уравнения Евклида и Архимеда, выражены словесно в терминах геометрической алгебры, в которых роль произведений двух линий играют прямоугольники, стороны которых равны этим линиям, а роль произведений линий на себя играют квадраты, построенные на этих линиях.

Так как эти выражения у Аполлония встречаются очень часто, он применял их в сокращенном виде и называл прямоугольник со сторонами AB и B под AB (hypo AB), прямоугольник со сторонами AB и под AB, Рис. (hypo AB, ), а квадрат, построенный на линии AB, — над AB (apo AB).

Евклид и Архимед связывали с каждым коническим сечением одну или две системы прямоугольных координат, Аполлоний связывал с каждым коническим сечением бесконечное множество систем координат, определяемых диаметрами этого сечения, эти системы координат могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.

В современной аналитической геометрии, основанной П. Ферма и Р. Декартом, системы координат не связаны ни с какими геометрическими образами. Хотя современная аналитическая геометрия существенно отличается от аналитической геометрии Аполлония, мы постоянно применяем термины абсцисса, ордината, происходящие от выражений Аполлония.

Аполлоний называл полученное им уравнение конического сечения словом symptoma, означающим совпадение, случай.

Обозначим угол между плоскостью конического сечения и плоскостью основания конуса через, а угол между плоскостью осевого треугольника конуса и плоскостью, пересекающей основание конуса по линии BC под прямым углом,. Направим три взаимноорчерез тогональных единичных вектора i,, k следующим образом: i — по прямой BC, j — по прямой DE, k — перпендикулярно плоскости основания конуса, а также единичный вектор h по оси конуса и единичный вектор l по диаметру IG конического сечения (рис. 21).

Векторы и l можно записать в виде h = j sin + k cos, l = = i cos + h sin = i cos +( j sin + k cos ) sin. Поэтому косинус угла, ортогональны также в случае, когда плоскость конического сечения антипараллельна плоскости основания конуса, так как обе эти плоскости перпендикулярны плоскости осевого треугольника, и коническое сечение является окружностью.

Уравнения конических сечений, найденные Аполлонием, выражаются теми же формулами (5.4), (5.5), (5.6), что и у его предшественников, однако геометрический смысл коэффициентов в уравнениях Аполлония отличается от геометрического смысла коэффициентов в уравнениях его предшественников.

Аполлоний называл линию 2p прямой стороной (orthia pleura, в латинских переводах latus rectum), так как эта линия, возможно, уменьшенная или увеличенная на некоторый отрезок, является одной из сторон прямоугольника, равновеликого квадрату ординаты некоторой точки конического сечения. Аполлоний изображал линию 2p отрезком GF, перпендикулярным диаметру GI.

Аполлоний называл линию 2a поперечной стороной (plagia pleura, в латинских переводах latus transversum), так как эта линия, изображаемая на рис. 19, в, г и рис. 20, б, в отрезками GH, является диаметром эллипса или двух противоположных гипербол.

В предложении I11 Аполлоний определяет прямую сторону параболы следующим образом. Проведи линию GF под прямым углом к линии GI и пусть она будет такой, что,,на BC“ относится к,,под BAC“ как GF к GA [25, т. 1, с. 232], т. е. линия GF определяется пропорцией Аполлоний получает уравнение (5.4) параболы следующим образом. Если L — произвольная точка параболы DGE (рис. 22), из точки L проводится прямая LK параллельно прямой DE до диаметра GI параболы.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 26 |
 

Похожие работы:

«ОБ ИЗДАТЕЛЬСКОМ РЕПЕРТУАРЕ ТИПОГРАФИИ Л.А. ГРЕБНЕВА В СТАРОЙ ТУШКЕ О жизни и д е я т е л ь н о с т и Л.А. Гребнева, яркого представителя культурнейших слоев старообрядчества рубежа XIX-XX вв. писалось нема­ 1 ло. Однако и его судьба, и творческое наследие таят в себе еще много не­ познанного. На протяжении почти 20 лет одним из важнейших занятий Л.А. Греб­ нева было книгоиздание для своих одноверцев, старообрядцев федосеевско­ го согласия, сначала нелегально в д. Дергачи Уржумского уезда...»

«ПРОБЛЕМЫ ЗАСЕЛЕНИЯ СЕВЕРО-ЗАПАДА ВОСТОЧНОЙ ЕВРОПЫ В ВЕРХНЕМ И ФИНАЛЬНОМ ПАЛЕОЛИТЕ (КУЛЬТУРНО-ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ) Санкт-Петербург 2013 УДК 902634 (470.1/6/) ББК 63.3 (2)4 В40 Рекомендовано к печати Ученым советом ИИМК РАН Грант РГНФ № 09-01-00573а/Б Грант РГНФ № 13-21-01006а(м) Программа фундаментальных исследований Президиума РАН Историкокультурное наследие и духовные ценности России. Культурно-исторические процессы на рубеже плейстоцена-голоцена на северо-западе Русской равнины Проблемы...»

«МИКРОКЛИМАТ Пдоаередо, Ч9бЪг. и МЕСТНЫЙ КЛИМАТ Допущено Министерством высшего образования СССР : качестве учебного пособия для гидрометеорологических институтов и университетов • С) •Г*4* Б.. Ь IИ ЬИА Р. Д-: i О.i ГИДРОМЕТЕ.-Р Я1(.'1М-ЕСнОГО ИИСИ.ГУ • А гимиз Г И Д РОМ Е Т Е О Р О Л О Г И Ч Е С К О Е ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАД • 1950 АННОТАЦИЯ В книге впервые с большой полнотой приводятся систематизированные современные сведения по микроклимату и местному климату. В ней излагаются физические...»

«Православие и современность. Электронная библиотека Диакон Андрей Кураев Неамериканский миссионер По благословению епископа Саратовского и Вольского Лонгина © Издательство Саратовской епархии, 2005 Содержание Материалы к реферату на тему Религия и наука Наша брань не против науки: клонирование и Церковь Беседа о медицинской этике В защиту компьютера Человек и его компьютер или компьютер и его человек? Разговор в университете Как говорить с молодыми Исповедь сверстнику О пути не монашеском Закон...»

«Москва – 2014 г. МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЛЬТУРЫ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МУЗЕЙ ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЫ 1941–1945 гг. УЧЁНЫЕ ЗАПИСКИ Сборник статей ВЫПУСК 6 (часть I) МОСКВА - 2014 Учёные записки. Сборник статей. Выпуск 6 (часть I) Под общей редакцией В.И. Забаровского Ответственные редакторы: М.М. Михальчев, С.И. Горбунова Ответственный за выпуск: А.Н. Клепиков Редактор: Л.В. Ярушина Технический редактор: М.В. Комиссарова Вёрстка,...»

«Вы отправитесь в увлекательное путешествие по туристским тропам региона, познакомитесь с культурой и бытом казацких поселений, местами боевой славы, посетите древние монастыри, побываете в природных парках, узнаете об особенностях национальной рыбалки и охоты и даже сможете оказаться в аномальных зонах. Путеводитель призван помочь как гостям, так и жителям нашего региона быстро и правильно сориентироваться на местности, грамотно спланировать досуг. И конечно, в книге содержатся необходимые...»

«РОССИЙСКАЯ ИМПЕРИЯ ПРОТИВ НАРКОТИКОВ Калачев Б. Ф. кандидат юридических наук, консультант Регионального представительства Управления ООН по наркотикам и преступности (UNODC) в России и Беларуси, заслуженный сотрудник органов внутренних дел Российской Федерации. E-mail: kalachev@duma.gov.ru Проблема наркотиков принимала глобальные масштабы параллельно мировой колониальной политике. Опираясь на архивные и иные сведения, автор показывает противостояние Российской империи геополитическому напору...»

«СБОРНИК научных статей студентов, магистрантов, аспирантов Под общей редакцией доктора исторических наук, профессора В. Г. Шадурского Основан в 2008 году Выпуск 9 В 3 томах Том 3 МИНСК ИЗДАТЕЛЬСТВО ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРТИ 2012 УДК 082 ББК 94 C23 Редакционная коллегия: Л. М. Гайдукевич, Д. Г. Решетников, А. В. Русакович, В. Г. Шадурский Составитель С. В. Анцух Ответственный секретарь Е. В. Харит ISSN 2224-0845 © Идея проекта. Научный студенческий совет факультета международных отношений БГУ, 2008 ©...»

«Повседневность террора Деятельность националистических формирований в западных регионах СССР Книга 1. Западная Украина, февраль — июнь 1945 года Москва 2009 УДК 94 (477 “1945” (=411.16)) ББК 63.3 (4 Укр) 61-454 П 42 Составители: Д.С. Валиева О.В. Драницина А.Р. Дюков М.М. Минц Сопр. статья О. Росов П 42 Повседневность террора: Деятельность националистических формирований в западных регионах СССР. Кн. 1. Западная Украина, февраль — июнь 1945 года / Фонд Историческая память; Сост. А. Дюков и др.;...»

«К.Э. ЦИОЛКОВСКИЙ: ФИЛОСОФИЯ КОСМИЗМА Алексеева В.И. ФУК Государственный музей истории космонавтики им. К.Э. Циолковского (г. Калуга) Неисследованный потенциал философии русского космизма, складывавшейся в XIX – начале XX в., привлекает внимание исследователей и в настоящее время. Одним из космистов первого ранга является К.Э. Циолковский, разработавший логически стройную систему взглядов на устройство мира, природу, человека и общество. В научной работе проанализирован монистический подход...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.