WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 26 |

«АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 УДК 51(09) ББК 22.1г Р64 Розенфельд Б. А. Р64 Аполлоний ...»

-- [ Страница 6 ] --

Аристей был старшим современником Евклида, его сочинение называлось Телесные геометрические места (Topoi stereoi). Античные математики называли плоскими геометрическими местами прямые и окружности, которые проводятся с помощью линейки и циркуля, а телесными геометрическими местами — конические сечения, возникающие при пересечении поверхности кругового конуса с плоскостью.

Сочинения Менехма, Аристея и Евклида о конических сечениях до нас не дошли. Те же названия конических сечений применял и Архимед. Под сечением прямоугольного конуса имелась в виду парабола, под сечением остроугольного конуса — эллипс, под сечением тупоугольного конуса — одна из двух ветвей гиперболы. Предшественники Аполлония определяли конические сечения как сечения поверхностей прямых круговых конусов плоскостями, перпендикулярными к одной из их прямолинейных образующих.

В главе 2 мы упоминали также, что в Началах Евклида конус определялся как тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

На рис. 14, а—в изображены сечения прямых круговых конусов с вершинами A и диаметрами оснований BC плоскостями, перпендикулярными прямолинейным образующим AC этих конусов, пересекающими их в точках G. Плоскости конических сечений пересекают плоскости ABC по прямым GK, которые являются осями симметрии конических сечений. Из произвольных точек L сечений опустим перпендикуляры LK на их оси симметрии. Обозначим отрезки AG, GK и KL, соответственно, r, x и y. Эти три отрезка являются взаимно перпендикулярными ребрами прямоугольных параллелепипедов. Поэтому во всех трех случаях Отложим на прямых AC отрезки AM, равные AL. В случае параболы отрезок GM равен отрезку GK =x, поэтому AM =r+x и r2 +x2 +y2 =(r+x)2 =r2 +2rx+x2, т. е.

Уравнение (5.1) является уравнением параболы в системе прямоугольных координат, осями которой служат ось симметрии параболы и касательная в ее вершине (рис. 15, а).

Менехм решил задачу об удвоении куба, равносильную уравнению (1.1), с помощью пересечения двух парабол x2 =ay и y2 =2ax (рис. 16). Решение x уравнения совпадает с абсциссой точки Обозначим на рис. 14, а—в углы между осями конусов и их прямолинейными образующими через. В случае параболы =45, в случае эллипса 45, в случае гиперболы 45 90.

Обозначим отрезки GH прямых GK между линиями AC и AB (рис. 14, б) и между линией AC и продолжением линии AB (рис. 14, в) через 2a. В современной геометрии эти отрезки называются большой осью эллипса и вещественной осью гиперболы.

а в случае гиперболы — в виде Полагая в формулах (5.1)—(5.3) r tg =p, мы можем переписать эти формулы в виде Величина x — корень уравнения (2.2) — также является абсциссой точки пересечения двух парабол x2 =ay и y2 =bx.

Уравнение (5.5) является уравнением эллипса в системе прямоугольных координат, осями которой являются ось симметрии эллипса, содержащая его большую ось, и касательная к эллипсу в левом конце большой оси (рис. 15, б). Уравнение (5.6) является уравнением гиперболы в системе прямоугольных координат, осями которой являются ось симметрии гиперболы, содержащая ее вещественную ось, и касательная к гиперболе в правом конце вещественной оси (рис. 15, в).

На рис. 16 изображено решение Менехма задачи об удвоении куба с помощью пересечения двух парабол.

Под гиперболой Менехм, Евклид и Архимед имели в виду одну ветвь гиперболы. Архимед и, по-видимому, Евклид называли асимптоты гиперболы прямыми, ближайшими к сечению тупоугольного конуса, и середину O оси GH гиперболы — точкой пересечения этих прямых. Точка O оси GH эллипса является центром симметрии эллипса.

В случае, когда малая полуось эллипса и мнимая полуось гиперболы равны b, параметр p равен b2 /a.

Поэтому уравнения (5.5) и (5.6) можно переписать в виде уравнений Эти уравнения называются уравнениями эллипса и гиперболы с двумя абсциссами и могут быть записаны в виде где в обоих случаях x1 =x, в случае эллипса x2 =2ax, а в случае гиперболы x2 =2a+x.

В случае эллипса уравнение (5.9) можно получить из уравнения (2.1) окружности радиуса a сжатием ее к горизонтальному диаметру в отношении b/a. Гипербола при a=b называется равносторонней гиперболой и определяется тем же уравнением (2.1). В случае произвольной гиперболы уравнение (5.9) может быть получено из уравнения (2.1) равносторонней гиперболы сжатием к ее вещественной оси или растяжением от этой оси в отношении b/a.

Предшественники Аполлония обычно определяли эллипс и гиперболу уравнениями с двумя абсциссами.

Папп в комментариях к сочинению Евклида Геометрические места на поверхностях писал: Пусть прямая AB задана по положению, пусть дана точка C в той же плоскости. Проведем прямую DC, опустим перпендикуляр DE [на прямую AB] и рассмотрим отношение прямой CD к прямой DE. Я утверждаю, что точка D находится на коническом сечении, которое является параболой, если это отношение равной величины к равной, эллипсом, если это отношение меньшей величины к большей, и гиперболой, если это отношение большей величины к меньшей [50, с. 801; 51, с. 368—369]. Эти слова Паппа означают, что конические сечения являются геометрическими местами точек, отношения расстояний от которых до данной точки и до данной прямой постоянны. По-видимому, эти слова являются комментариями к некоторым теоремам о конических сечениях, скорее всего, к предложению о том, что парабола является геометрическим местом точек, равноотстоящих от некоторой точки и от некоторой прямой.

В современной геометрии точка C и прямая AB называются фокусом и директрисой конического сечения, а отношение CD/DE расстояний точек сечения от фокуса к их расстояниям от директрисы называется эксцентриситетом конического сечения и обозначается e.



Эксцентриситет e эллипса связан с коэффициентами a и p уравнения (5.5) соотношением Эксцентриситет e гиперболы связан с коэффициентами a и p уравнения (5.6) соотношением Поэтому уравнения (5.4), (5.5) и (5.6) можно переписать в виде единого уравнения В случае окружности e=0, в случае эллипса 0e1, в случае параболы e=1, в случае гиперболы e1.

Архимед называл конические сечения теми же терминами, что и другие предшественники Аполлония, но в русских переводах сочинений Архимеда их заменяли современными терминами.

Архимед в предложении I4 сочинения О коноидах и сфероидах, рассматривая эллипс с большой и малой полуосями a и b как результат сжатия окружности радиуса a к ее диаметру (рис. 17, а), доказал, что площадь фигуры, ограниченной этим эллипсом, равна ab. В Квадратуре сечения прямоугольного конуса Архимед вычислил площадь сегмента параболы, ограниченного хордой BC (рис. 17, б), и нашел, что эта площадь равна 4/3 площади треугольника ABC, вершина A которого является точкой касания прямой параллельной хорде BC. В современной терминологии точка A называется концом диаметра параболы, пересекающего хорду BC в ее середине.

Архимед рассматривал также поверхности, образуемые вращением эллипса, параболы и гиперболы вокруг осей их симметрии (рис. 18, а—в).

Первую из этих поверхностей Архимед называл сфероидом, т. е. похожим на сферу, вторую и третью — коноидами, т. е. похожими на конус, причем поверхность вращения сечения прямоугольного конуса называл прямоугольным коноидом, а поверхность вращения сечения тупоугольного конуса — тупоугольным коноидом.

Современные математики называют сфероиды Архимеда эллипсоидами вращения, прямоугольные коноиды — параболоидами вращения, а тупоугольные коноиды — полостями двуполостных гиперболоидов вращеРис. ния. Архимед различал вытянутые и сплющенные сфероиды.

В сочинении О коноидах и сфероидах Архимед вычислил объемы некоторых сегментов коноидов и сфероидов. В частности, он нашел, что объем сегмента сфероида, ограниченного его поверхностью и плоскостью, перпендикулярной оси вращения, которая делит эту ось пополам, равен удвоенному объему прямого кругового конуса, вписанного в этот сегмент. Это равносильно тому, что для сфероидов, полученных вращением эллипса с полуосями a и b, объем тела, ограниченного вытянутым сфероидом, равен 4ab2 /3, а объем тела, ограниченного сплющенным сфероидом, равен 4a2 b/3.

Архимед доказал также, что объем сегмента прямоугольного коноида, ограниченного его поверхностью и плоскостью, перпендикулярной его оси, в полтора раза больше объема прямого кругового конуса, вписанного в этот сегмент. Архимед нашел, что объем сегмента тупоугольного коноида, ограниченного его поверхностью и плоскостью, перпендикулярной его оси, относится к объему вписанного в него прямого кругового конуса как, где h — высота сегмента, a — вещественная полуось гиперболы, вращение которой образует коноид.

В предложении I8 сочинения О коноидах и сфероидах Архимед рассматривал тело, ограниченное плоскостью эллипса и прямыми, соединяющими точки этого эллипса с некоторой точкой перпендикуляра, восставленного к плоскости эллипса в центре его симметрии. Архимед доказал, что поверхность этого эллиптического конуса является также поверхностью наклонного кругового конуса, который поэтому обладает двумя плоскостями симметрии, проходящими через вершину конуса и оси симметрии эллипса. Симметрии наклонного кругового конуса впоследствии изучались Аполлонием в предложении I В предисловии к I книге Конических сечений, обращенном к Евдему Пергамскому, Аполлоний дал краткий обзор всех восьми книг своего труда. Четыре первые из этих восьми книг посвящены изложению начал [теории]. Первая книга содержит способ получения трех сечений и,,противоположных гипербол“, а также их основные свойства, изложенные более полным и более общим способом, чем у других писавших об этом. Вторая книга — о свойствах диаметров и осей сечений, асимптот и прочего необходимого для обсуждений. Из этой книги ты узнаешь, что я называю диаметрами и осями. Третья книга содержит много замечательных теорем, полезных для построения телесных геометрических мест и для определения возможностей решений. Большая часть самых прекрасных из этих теорем являются новыми. Из этих теорем видно, что решение Евклида задачи о,,геометрическом месте к трем и четырем прямым“ было случайным и не совсем удачным, довести эту задачу до конца было невозможно без моих новых открытий. В четвертой книге рассматривается, сколькими способами конические сечения пересекаются между собой и с окружностью круга. Эта книга содержит также то, что не было известно ни одному из моих предшественников, а именно, во скольких точках две противоположные гиперболы могут пересекаться одним коническим сечением, окружностью круга или двумя противоположными гиперболами. Остальные книги посвящены дальнейшему развитию теории. Одна из них [пятая] более подробно рассматривает минимумы и максимумы, другая [шестая] — равные и подобные конические сечения, следующая [седьмая] рассматривает теоремы, определяющие возможности решений, и последняя [восьмая] содержит решения задач, определенные [теоремами предыдущей книги] [25, т. 1, с. 194—196].

Под тремя сечениями здесь имеются в виду парабола, эллипс и одна ветвь гиперболы, под противоположными гиперболами — обе ветви гиперболы. О геометрических местах к трем и четырем прямым мы будем говорить в главе 6.

В начале I книги Конических сечений Аполлония приводятся восемь первых определений. В первых трех из них определяется коническая поверхность как поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку и точки окружности, плоскость которой не проходит через эту точку. Фиксированная точка называется вершиной конической поверхности, а круг, ограниченный окружностью, — основанием этой поверхности. Прямая, соединяющая вершину с центром основания, называется осью поверхности. Прямые, образующие коническую поверхность, продолжаются в обе стороны.

Тело, ограниченное конической поверхностью и ее основанием, называется конусом. Вершина и основание конической поверхности называются также вершиной и основанием конуса. Отрезок оси конической поверхности между ее вершиной и основанием называется осью конуса.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 26 |
 

Похожие работы:

«Аннотации дисциплин учебного плана направления 030300.62 Психология Дисциплина Аннотация Гуманитарный, социальный Б1 и экономический цикл Б1.Б Базовая часть История как наука. Сущность, формы, функции исторического знания. Методы и источники изучения истории. Методология и теория исторической науки. 4.Отечественная историография. История России – неотъемлемая часть всемирной истории. Киевская Русь. IX –середина XII вв..Этнокультурные и социально-политические процессы становления русской...»

«МЕМОРИАЛ / НОВОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО 2004 УДК 172.4(=35) ББК 67.408(2Рос.Чеч) Б 95 Издательская программа Международного общества Мемориал Редакционная коллегия: Александр Даниэль, Лариса Еремина, Елена Жемкова, Татьяна Касаткина, Марлен Кораллов, Никита Охотин, Ян Рачинский, Арсений Рогинский (председатель) Издание осуществлено при поддержке Управления верховного комиссара ООН по делам беженцев и программы Миграция и право Правозащитного центра Мемориал, интернет СМИ Кавказский узел Редакторы...»

«3 07 / 2014 12.05–01.06 В РАЗА МОРЕ ЭКОНОМИЧНЕЕ, ИДЕЙ ДЛЯ ПЛЯЖА: ЧЕМ ОБЫЧНАЯ ЗУБНАЯ ПАСТА! коллекция стильных аксессуаров и модных Концентрированная купальников зубная паста +200% 75 мл арт. 1633 160 р....»

«Валентине Николаевне Ярской, первопроходцу социальной работы в постсоветской России НУЖДА И ПОРЯДОК: история социальной работы в России, ХХ в. Сборник научных статей Под редакцией П. В. Романова, Е. Р. Ярской-Смирновой САРАТОВ ЦСПГИ Издательство Научная книга 2005 ББК 60.5 Н88 Издание осуществлено при поддержке Фонда Фольксваген Рецензенты: д-р ист. наук проф. Г. В. Лобачёва д-р социол. наук проф. Т. И. Черняева Нужда и порядок: история социальной работы в Н88 России, XX в.: Сб. науч. ст. / Под...»

«Zh.T. Toshchenko, G.A. Tsvetkova Sociology Labour The Social Forecast and Marketing Center Moscow 2012 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФГНУ Центр социологических исследований РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ СОЦИОЛОГИИ Ж.Т. Тощенко, Г.А. Цветкова СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА Центр социального прогнозирования и маркетинга Москва 2012 УДК 316.3/.4(30) ББК 60.56 Т 648 Рекомендован к изданию Учебно-методическим объединением по...»

«Алтайская краевая универсальная научная библиотека им. В. Я. Шишкова ВРЕМЯ ЧИТАТЬ! Издательские проекты Алтайского края Сборник методических материалов Барнаул 2013 Сборник издан в рамках реализации проекта Время читать! Издательские проекты Алтайского края на средства гранта Губернатора Алтайского края УДК 024 ББК 78.373.8 В 818 Составители: Л. А. Медведева, С. А. Самарина ВРЕМЯ ЧИТАТЬ! Издательские проекты Алтайского края : В 818 сб. метод. материалов / Упр. Алт. края по культуре и арх. делу...»

«Герои моей семьи Война в истории семьи. Рассказы детей. Осмысление жизни и подвига наших предков. В рамках социально-значимого проекта ДОРОГОЙ ГЕРОЕВ Москва 2010 Альманах подготовлен Региональной детской общественной организацией содействия всестороннему развитию личности Юный путешественник в рамках социально-значимого проекта Дорогой героев. На протяжении полугода в организации велась работа по сбору материалов о героях из жизни семей детей, осмыслению военных страниц истории, их значении в...»

«Михаил КАЛИНИН В сердце Пермского края Березники 2008 1 Уважаемые друзья! Книга, которую вы держите сейчас в своих руках – это первое популярное историко-географическое описание Добрянского района. Района, который находится в самом сердце Пермского края. Несмотря на небольшие (по российским меркам, конечно) размеры, район поражает своим природным разнообразием, своими скалами и утесами, реками и озерами, лесами и полями. И если на севере района вполне привычны глазу таежные кедры, то на юге...»

«Психологический аспект истории и перспектив нынешней глобальной цивилизации Санкт-Петербург 2005 г. Страница, зарезервированная для выходных типографских данных © Публикуемые материалы являются достоянием Русской культуры, по какой причине никто не обладает в отношении них персональными авторскими правами. В случае присвоения себе в установленном законом порядке авторских прав юридическим или физическим лицом, совершивший это столкнется с воздаянием за воровство, выражающемся в неприятной...»

«В. Ф. А С М У С ИММАНУИЛ КАНТ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА МОСКВА 1973 Издательство Наука, 1973г. Предисловие Кант — великое имя в истории мировой культу­ ры, в истории не только немецкого народа, но и все­ го человечества. Он был новатором и в области нау­ ки и в области философии. Он не только творец великой космогонической гипотезы, провозгласив­ шей, что наша Вселенная есть развивающаяся Все­ ленная, что наша Земля имеет историю во време­ ни. В философии он был возобновителем и даже зачинателем...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.