WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 26 |

«АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 УДК 51(09) ББК 22.1г Р64 Розенфельд Б. А. Р64 Аполлоний ...»

-- [ Страница 5 ] --

Николай Коперник (1473—1543) заменил геоцентрическую систему Птолемея гелиоцентрической системой, в которой планеты движутся по деферентам и эпициклам.

Иоганнес Кеплер (1571—1630) доказал, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Исаак Ньютон (1643—1727) на основе анализа законов Кеплера доказал, что законы механики на Земле и в космосе одни и те же.

В дальнейшем было доказано, что Солнце является не центром Вселенной, а одной из звезд.

При изображении звездного неба на картах и астрономических инструментах, а также при черчении географических карт часто применяется стереографическая проекция, т. е. проецирование сферы на плоскость из одного из полюсов сферы на касательную плоскость в другом полюсе или на плоскость, параллельную этой плоскости.

Стереографическая проекция обладает двумя замечательными свойствами: 1) окружности на сфере изображаются на плоскости окружностями или прямыми, 2) углы между кривыми на сфере изображаются на плоскости равными углами.

Тот факт, что окружности, не проходящие через центр проекции, изображаются на плоскости окружностями, следует из предложения I5 Конических сечений Аполлония. В этом круговых сечений, параллельных его основанию, имеется второе семейство круговых сечений. Этот факт можно доказать следующим образом. Наклонный круговой конус с вершиной A обладает плоскостью симметрии, пересекающей окружность основания конуса в точках B и C (рис. 10).

Треугольник ABC проходит через прямую, соединяющую вершину A конуса с центром O его основания, и, так как прямая AO является осью конуса, треугольник ABC называется осевым треугольником конуса.

Если мы пересечем конус плоскостью, перпендикулярной биссектрисе угла BAC, то эта плоскость пересечет поверхность конуса по эллипсу, и конус можно рассматривать как прямой эллиптический конус. Эллипс, ограничивающий основание этого конуса, обладает двумя осями симметрии — прямой, по которой его плоскость пересекается с плоскостью ABC, и перпендикулярной ей прямой. Поэтому наклонный круговой конус обладает двумя плоскостями симметрии — плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку A и вторую ось симметрии эллипса. Отражения круговых сечений наклонного кругового конуса, параллельных его основанию, от второй плоскости его симметрии являются круговыми сечениями второго семейства.

Если DE — диаметр кругового сечения наклонного кругового конуса, лежащий в его осевой плоскости ABC, то отражение HK этого диаметра от второй плоскости симметрии конуса является диаметром одного из круговых сечений второго семейства, причем угол ADE равен углу AKH, а угол AED равен углу AHK.

Если окружность круга с диаметром HK, непараллельного плоскости проекции, проецируется из полюса A сферы на касательную плоскость в ее противоположном полюсе, то лучи, проецирующие точки окружности, являются прямолинейными образующими наклонного кругового конуса (рис. 11). Поверхность конуса пересекается с плоскостью проекции по окружности кругового сечения этого конуса, принадлежащего второму семейству, так как диаметр BC этой окружности составляет с прямыми AB и AC углы, равные углам AKH и AHK.

Если точка X на сфере проецируется в точку X на плоскости, то две кривые на сфере, выходящие из точки X, изображаются на плоскости двумя кривыми, выходящими из точки X (рис. 12). За угол между двумя пересекающимися кривыми принимается угол между касательными к ним в точке их пересечения. Пусть касательные к кривым, выходящим из точки X, — прямые XU и XV, пересекающие плоскость, проведенную параллельно плоскости проекции через центр проекции A, в точках U и V. Тогда отрезки XU и XV равны AU и AV как отрезки касательных, проведенных к сфере, между точкой их пересечения и точками касания. Поэтому треугольники XUV и AUV равны, и угол UXV равен углу UAV. Касательные X U и X V к кривым, выходящим из точки X, параллельны прямым AU и AV. Поэтому угол U X V равен углу UXV.

Аполлоний не только доказал теорему, из которой вытекает, что при стереографической проекции сферы на плоскость окружности на сфере, не проходящие через центр проекции, изображаются окружностями на плоскости, но и пользовался самой стереографической проекцией. Это видно из сообщения римского архитектора I в. н. э.

Витрувия, который в своем сочинении Десять книг об архитектуре описывал инструмент, называемый пауком или арахной (arachne), о котором он писал, что его изобрел астроном Евдокс, а иные говорят — Аполлоний [8, с. 326]. Одной из составных частей арахны является барабан, на котором, по словам Витрувия, нарисовано небо с зодиакальным кругом. Комментатор Витрувия Д. Барбаро описывал проекцию, применяемую в этом инструменте, следующим образом.

Мы воображаем, что глаз наш находится в точке полюса, противоположного нашему, и смотрим в направлении другого полюса [8, с. 339]. Отсюда ясно, что эта проекция является стереографической, и арахна не могла быть изобретена Евдоксом, который жил в IV в.

до н. э., когда стереографическая проекция еще не была известна.

Барабан арахны с изображением эклиптики и наиболее ярких неподвижных звезд мог вращаться с помощью гидравлического привода.

Перед барабаном находилась неподвижная паутина паука, состоящая из проволок.

Эклиптика (зодиакальный круг) — большая окружность небесной сферы, по которой совершается видимое годичное движение Солнца.

За сутки Солнце проходит дугу эклиптики немного меньше 1. Эклиптика делится на 12 знаков зодиака, каждый из которых Солнце проходит в течение месяца. Знаки зодиака соответствуют зодиакальным созвездиям. Эклиптика пересекается с небесным экватором в начале знаков Овна и Весов, в которых Солнце находится в дни весеннего и осеннего равноденствий. Дальше всего от небесного экватора эклиптика отходит в начале знаков Рака и Козерога, в которых Солнце находится в дни летнего и зимнего солнцестояний. Точки эклиптики, наиболее удаленные от небесного экватора, при суточном вращении небесной сферы описывают окружности, называемые тропиками Рака и Козерога.



На паутине паука проволоками изображены три окружности небесной сферы, переходящие в себя при ее суточном вращении, — небесный экватор и тропики Рака и Козерога, дуги неподвижных окружностей небесной сферы — горизонта и кругов высоты (альмукантаратов), точки которых имеют равные высоты над горизонтом, а также часовые линии. Экватор и тропики изображаются концентрическими окружностями, самая маленькая из которых изображает тропик Рака, а самая большая — тропик Козерога. Окружность, изображающая эклиптику, касается обеих окружностей, изображающих тропики. Здесь Аполлоний впервые встретился с задачей об окружности, касающейся нескольких окружностей. Этой задаче Аполлоний впоследствии посвятил свое сочинение Касания.

Окружность, изображающая горизонт, пересекает окружность, изображающую небесный экватор, в двух ее диаметрально противоположных точках. Окружности, изображающие круги высоты, расположены выше окружности, изображающей горизонт. Здесь Аполлоний впервые встретился с пучком окружностей. Такой пучок окружностей Аполлоний рассмотрел впоследствии в сочинении Плоские геометрические места. В настоящее время окружности этого пучка называют окружностями Аполлония. Пучок окружностей, изображающий круги высоты, содержит две окружности нулевого радиуса, т. е. две точки, одна из которых изображает точку зенита, а другая — точку надира.

Ниже окружности, изображающей горизонт, расположены часовые линии, позволяющие определять точное время.

При пользовании арахной ночью измеряют высоту над горизонтом одной из изображенных на ней звезд, при пользовании арахной днем определяют высоту Солнца. Далее поворачивают барабан таким образом, чтобы изображение звезды или точки эклиптики, соответствующей дню наблюдения Солнца, попало бы под изображение круга высоты, равной измеренной высоте. В этом случае получается точное изображение всего звездного неба в момент измерения высоты определяются координаты всех звезд и точек звездного неба в горизонтальной системе координат. В частности, определяются координаты гороскопа—точки пересечения эклиптики с восточной частью небесный экватор перпендикулярен горизонту, на земном полюсе небесный экватор совпадает с горизонтом, а в местности, ются в натуральную величину, в местности с широтой угол между изображениями небесного экватора и горизонта на барабане инструмента Аполлония также был равен 90. Инструмент Аполлония с его массивным барабаном изготовлялся для одной определенной местности наблюдения.

Аналогичный инструмент был описан Клавдием Птолемеем в Планисферии, где он назывался гороскопическим инструментом.

Впоследствии этот инструмент получил название астролябии (astrolabon), что означает ухватывающий звезды. Термин astrolabon применялся в Алмагесте Птолемея как название армиллярной сферы — инструмента, состоящего из нескольких колец, с помощью которого определялись координаты звезд.

Окончательный вид астролябии, основанной на стереографической проекции, был создан александрийским астрономом IV в. н. э. Теоном, который называл его малый астролабон. Теон заменил проволочную паутину паука неподвижным металлическим диском, называемым тимпаном, на котором были выгравированы окружности и дуги паутины паука. Он заменил барабан узким металлическим колесом, которое могло вращаться вокруг центра инструмента и на котором были расположены кольцо, изображающее эклиптику, и острия, концы которых изображали яркие звезды. Это колесо, также называвшееся пауком, располагалось над тимпаном, и через него можно было видеть окружности и дуги, изображенные на тимпане.

Этот инструмент был очень популярен на средневековом Востоке, где он назывался астурлаб, и в средневековой Европе, где его называли astrolabium. Тимпаны средневековых астролябий изготовлялись для определенной широты местности наблюдения. Обычно к каждой астролябии были приложены 10—20 тимпанов для разных широт.

На рис. 13 изображены паук (а) и тимпан (б) средневековой восточной астролябии.

Действия со средневековыми астролябиями, по существу, не отличались от действий с инструментом Аполлония. Средневековые астролябии были небольшими переносными инструментами. Как правило, они представляли собой цилиндры диаметром 15—20 см и высотой 3—5 см. Верхнее основание цилиндра, на котором был расположен паук, называлось лицевой стороной астролябии. Внутри цилиндра помещались тимпаны для различных широт. Нижнее основание цилиндра называлось спинкой астролябии. Инструмент для измерения высот звезд и Солнца, который в случае инструмента Аполлония был отделен от него, на средневековых астролябиях помещался на их спинках. Он состоял из алидады — линейки с двумя диоптрами, вращающейся вокруг центра астролябии, и из градусной шкалы на ободе астролябии. Для измерения высоты светила астролябия подвешивалась в вертикальном положении, и ее алидада направлялась на светило.

О стереографической проекции и истории ее применения в астрономических инструментах см. [16, с. 485; 18, с. 116—125].

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические сечения Менехма, Аристея и Евклида Конические сечения впервые появились в работах греческого математика IV в. до н. э. Менехма, который с их помощью решил задачу удвоения куба, о которой мы говорили в главе 1.

В VII книге Математического собрания Папп писал: Аполлоний дополнил четыре книги Евклида о конических сечениях и добавил к ним четыре другие, образуя восемь книг,,Конических сечений“. Аристей, который написал пять книг,,Телесных геометрических мест“, посвященных коническим сечениям, и [другие] предшественники Аполлония называли первую из трех конических кривых сечением остроугольного конуса, вторую — [сечением] прямоугольного [конуса], а третью — [сечением] тупоугольного [конуса] [50, с. 503; 51, с. 114—115].



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 26 |