WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 ||

«АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 УДК 51(09) ББК 22.1г Р64 Розенфельд Б. А. Р64 Аполлоний ...»

-- [ Страница 26 ] --

Во введении к этой книге, адресованном Протарху, Гипсикл писал, что его отец и Василид из Тира изучали в Александрии трактат Аполлония о сравнении вписанных в одну и ту же сферу додекаэдра и икосаэдра. Они пришли к мнению, что это не было правильно изложено Аполлонием и они сами написали исправленный текст... Позднее и мне самому попалась в руки другая изданная Аполлонием книга, содержащая некоторое доказательство, касающееся вышеизложенного, и я сам с большим воодушевлением занялся исследованием этой задачи. Теперь с изданной Аполлонием книгой можно, по-видимому, всем ознакомиться, так как она находится в обращении, как кажется, в позднейшей более тщательно написанной редакции; сам же я, написавши в виде комментария все, что мне показалось нужным, решил обратиться к тебе [9, т. 3, с. 142].

Сочинение Гипсикла содержит восемь предложений, важнейшим из которых является предложение 3: Один и тот же круг охватывает и пятиугольник додекаэдра, и треугольник икосаэдра, вписанных в ту же самую сферу [9, т. 3, с. 144]. По поводу этого предложения Гипсикл писал: Это излагается Аристеем в книге, озаглавленной,,О сравнении пяти тел“ и Аполлонием во втором издании,,Сравнения додекаэдра с икосаэдром“, где доказывается, что как поверхность додекаэдра к поверхности икосаэдра, так и сам додекаэдр будет относиться к икосаэдру вследствие того, что одна и та же прямая будет перпендикуляром, опущенным из центра сферы как на пятиугольник додекаэдра, так и на треугольник икосаэдра [9, т. 3, с. 143].

Переводчик сочинения Гипсикла И. Н. Веселовский в примечаниях к этому переводу [9, т. 3, с. 327], отмечал, что в этом сочинении для квадрата AB и прямоугольника со сторонами AB и применяются те же выражения apo AB и hypo AB,, что и в Конических сечениях Аполлония.

Сочинение Аполлония Сравнение додекаэдра с икосаэдром Утверждение Аполлония, приведенное Гипсиклом, означает, что отношение площадей поверхностей этих многогранников, вписанных в одну и ту же сферу, равно отношению их объемов.

Предложение 8 Гипсикла гласит: Как ребро куба к ребру икосаэдра, так и тело додекаэдра к телу икосаэдра [9, т. 3, с. 149].

В этом предложении Гипсикл указал, чему равны отношения объемов и площадей поверхностей додекаэдра и икосаэдра. Так как ребра куба и икосаэдра, вписанных в ту же сферу, равны (15.2) и (15.5), то отношение объемов и площадей, рассматривавшихся Аполлонием, равно Аристей, упомянутый Гипсиклом, был старшим современником Евклида, написавшим одну из первых книг о конических сечениях. Сочинение Аристея Сравнение пяти тел, так же как его трактат о конических сечениях, не сохранились. Судя по названию, в этом сочинении рассматривались все пять правильных многогранников и, по-видимому, доказывалось, что для каждой пары двойственных правильных многогранников, вписанных в одну их граней, равны. Для тетраэдра, который двойственен сам себе, это утверждение тривиально. То, что Аристей доказал это для додекаэдра и икосаэдра, засвидетельствовано Гипсиклом. Для куба и октаэдра, вписанных в сферу радиуса R, радиусы кругов, описанных около квадратных граней куба и треРис. Доказательство Аполлония в трактате о додекаэдре и икосаэдре основано на двух фактах:

1) для любого правильного многогранника, вписанного в сферу радиуса R, радиус r круга, описанного около его грани, и перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на эту грань (рис. 88), связаны соотношением 2) следствие из предложения XII7 Начал Евклида [9, т. 3, с. 78], в силу которого объем любой пирамиды равен трети произведения площади ее основания на высоту. Так как Аристей доказал, что радиусы r для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в сферу радиуса R, равны, из соотношения (15.6) следует, что для этих многогранников перпендикуляры h также равны. Если мы обозначим площадь пятиугольной грани додекаэдра, вписанного в сферу радиуса R, буквой P, P= 10(5 5), а площадь треугольной грани икосаэдра, вписанного в ту же сферу, буквой T, T =, то площадь поверхности додекаэдра будет равна 12P, площадь поверхности икосаэдра — 20T.

С другой стороны, каждый правильный многогранник можно разбить на пирамиды, основаниями которых являются грани многогранника, а вершинами — центр сферы. Объем каждой такой пирамиды додекаэдра равен Ph/3, а объем каждой такой пирамиды икосаэдра равен Th/3. Поэтому объем додекаэдра равен 4Ph, а объем икосаэдра равен 20Th/3. Отношение как площадей поверхностей, так и объемов этих многогранников равно Подобным образом аналогичную теорему можно доказать для тетраэдра, куба и октаэдра, вписанных в одну и ту же сферу (длина ребра тетраэдра так же относится к длине ребра октаэдра, как объём куба к объёму октаэдра и как плозадь поверхности куба к площади поверхности октаэдра). Если площадь грани куба равна Q, а площадь грани октаэдра равна T, то площади поверхностей этих многогранников равны 6Q и 8T, а их объемы равны 2Qh и 8Th/3, и По-видимому, Аристей доказал, что отношение площадей поверхностей куба и октаэдра равно отношению их объемов, вычисляя эти объемы более простым способом, например, считая, что объем куба равен кубу его ребра, объем октаэдра равен трети произведения квадрата его ребра на диаметр сферы. Несомненно, что решение этой задачи навело Аполлония на аналогичную задачу о додекаэдре и икосаэдре.

Заметим, что теоремы, аналогичные теореме Аристея о кубе и октаэдре и теореме Аполлония о додекаэдре и икосаэдре, имеют место для двойственных правильных многогранников в пространстве любого числа измерений.



Правильные многогранники являются многогранниками с максимальным числом движений, которые переводят их в себя. Число таких движений в случае тетраэдра равно 24, в случае куба и октаэдра — 48, а в случае додекаэдра и икосаэдра — 120. Эти движения образуют конечные группы.

Другой рассматривавшийся Аполлонием геометрический образ, допускающий группу движений, переводящих этот образ в себя, изучался им в сочинении Винтовые линии. Согласно сообщению Прокла, в этом трактате описывались винтовые линии на поверхности кругового цилиндра (рис. 89). Эти линии определяются параметрическими уравнениями Они переводятся в себя винтовыми движениями, состоящими из поворотов вокруг оси цилиндра и параллельных переносов вдоль этой оси. Рис.

ЧИСЛА И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ

Во II книге Математического собрания Паппа приводятся его комментарии к трактату Аполлония, в котором решалась та же задача, что и в Исчислении песчинок Архимеда [4, с. 358—367]. В этом сочинении Архимед предложил систему названий больших чисел, с помощью которых можно выразить число песчинок, заполняющих шар, ограниченный сферой неподвижных звезд. Архимед называл числа от 1 до 108, кроме последнего, первыми числами, число 108 он называл единицей вторых чисел; числа от 108 до 108·2 =1016, кроме последнего, он называл вторыми числами, число 1016 он называл единицей третьих чисел; числа от 1016 до 108·3 =1024, кроме последнего, Архимед называл третьими числами и т. д.

Комментарии Паппа сохранились не полностью, а только с предложения 14 до предложения 26. Название тракта неизвестно.

Историки математики считают, что этот трактат Аполлония был написан при жизни Архимеда и являлся ответом на не дошедшую до нас книгу Архимеда, адресованную Зевксиппу, которая упоминается в Исчислении песчинок. В этой книге была изложена первая попытка Архимеда разработать систему названий больших чисел. Система названий больших чисел Аполлония была близка к системе Исчисления песчинок, но она была основана не на числе 108, а на мириаде, равной 104. По-видимому, Исчисление песчинок было написано после трактата Аполлония, и в нем Архимед использовал некоторые идеи трактата Аполлония.

Судя по комментариям Паппа, трактат Аполлония содержал много вычислений с большими числами.

Возможно, что в не дошедшем до нас трактате Аполлония были изложены также сведения по астрономии, которой он занимался в молодые годы.

Комментарии Паппа к X книге Начал Евклида, содержащие сведения о сочинении Аполлония О неупорядоченных иррациональностях, сохранились только в арабском переводе Абу ‘Османа Са‘ида ад-Димашки (X в.). Этот перевод исследовался Г. Юнге и В. Томсоном [47].

Раздел перевода ад-Димашки, относящийся к трактату Аполлония, издан во французском переводе Ф. Вепке [58, с. 685—695].

В X книге Начал Евклида [9, т. 2, с. 101—256] была изложена созданная Теэтетом теория квадратичных иррациональностей. Если a и b — рациональные линии, т. е. прямолинейные отрезки, длины которых равны произведениям длины единичного отрезка на рациональные числа, то к иррациональностям, рассматриваемым в X книге Начал Евклида, относятся медиаль ab, биномиаль a+ b, вычет a b, бимедиаль ab и их различные комбинации. Приведенные в XIII книге Начал выражения (15.1), (15.2) и (15.3) ребер тетраэдра, куба и октаэдра, вписанных в сферу радиуса R, являются медиалями, выражение (15.4) ребра додекаэдра — вычет, и выражение (15.5) ребра икосаэдра является меньшей иррациональностью.

Согласно комментариям Паппа, в трактате Аполлония теория квадратичных иррациональностей Теэтета—Евклида дополнялась рассмотрением новых иррациональностей. Аполлоний определял триномиаль a+ b+ c, квадриномиаль a+ b+ c+ d и аналогичные полиномиали, состоящие из произвольного числа слагаемых. Если медиаль ab является средней пропорциональной между линиями a и b, то Аполлоний рассматривал также две средние пропорциональные между линиями a и b, удовлетворяющие условию (2.2), три средние пропорциональные, удовлетворяющие условию четыре средние пропорциональные, удовлетворяющие условию и т. д. Средняя пропорциональная x, удовлетворяющая условиям (2.2), (16.1) и (16.2), равна, соответственно, a2b, a3b и a4b. Таким образом, Аполлоний наряду с квадратичными иррациональностями рассматривал также кубические иррациональности и иррациональности высших степеней.

Под упорядоченными иррациональностями Аполлоний понимал иррациональности, перечисленные Евклидом, а неупорядоченными иррациональностями Аполлоний называл рассматриваемые им новые иррациональности.

Аполлоний указывал, что множество таких иррациональностей бесконечно.

Трактат Аполлония Быстрое получение результатов был посвящен приближенному вычислению отношения длины окружности к диаметру, которое рассматривалось Архимедом в Измерении круга [4, с. 266— 271]. Греческое название трактата Аполлония буквально означает быстрое разрешение от бремени. Переводчик сочинений Архимеда И. Н. Веселовский рекомендовал переводить это название Быстросчет [4, с. 598].

В трактате Аполлония задача приближенного вычисления числа решалась более быстро, чем у Архимеда.

ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ АПОЛЛОНИЯ

Ок. 250 до н. э. Родился в Перге в Малой Азии.

Ок. 235—225 до н. э. Учился в Эфесе у Евдема Пергамского.

Ок. 225—215 до н. э. Учился в Александрии у учеников Евклида.

Разработал теорию движения Солнца, Луны и планет по деферентам и эпициклам.

Ок. 215—195 до н. э. Писал Конические сечения в Александрии.

Посетил Евдема Пергамского в Пергаме и послал ему I—III книги Конических сечений. После смерти Евдема Пергамского послал остальные книги Конических сечений его ученику Атталу.

Ок. 170 до н. э. Умер.

БИБЛИОГРАФИЯ

нические сечения с комментариями Синана / Историко-математические университета. — Т. 3 (15). — 1928. — [12] Л ю т е р И. О. К истории задачи [2] А р и с т о т е л ь. Метафизика / Пер. касающейся трех данных окружностей под ред. А. Ф. Асмуса / СочинеИсторико-математические иссления. — Т. 1. — М.: Мысль, 1975. — дования. — Сер. 2. — Вып. 1 (36). — Пер. Н. В. Брагинской / Сочинев древности / Пер. Е. В. Гохман. — значений в работах Аполлония / / Комм. Г. Е. Куртика, М. М. РоИсторико-математические исследова- жанской и Г. П. Матвиевской. — М.:

ния. — Вып. 35. — 1994. — С. 214—219. Наука, Физматлит, 1998.

Древнего Египта, Вавилона и Гре- [17] Р о з е н ф е л ь д Б. А. Неевклидоции / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: вы пространства. — М.: Наука, 1969.

Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1883. [19] Р о з е н ф е л ь д Б. А. МетричеВ и т р у в и й М. П. Десять книг ский метод в проективно-дифференоб архитектуре / Комм. Д. Барбаро / циальной геометрии и ее конформПер. А. И. Венедиктова, В. П. Зубова ных и контактных аналогах / Матеи Ф. А. Петровского. — М.: Изд-во матический сборник. — № 22 (62). — [9] Е в к л и д. Начала: В 3-х т. / Пер. [20] Р о з е н ф е л ь д Б. А., С к о и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского п е ц З. А. Квадратичные кремои И. Н. Веселовского. — М.—Л.: Го- новы преобразования на плоскости [10] История математики с древнейших Академии наук СССР. — Т. 83. — [23] Х а й а м ‘ О м а р. Трактаты / Пер.

Изд-во восточной литературы, 1961. Transl. by E. M. Macierowski / Edited [24] Apollonii Pergaei quae graece extant by R. H. Schmidt. — Faireld, 1987.

J. L. Heiberg. — Vol. 1—2. — Lipsiae: de Porismes d’Euclide etablis pour [25] Apolloniou Konika. Archaion keimelemmes de Pappus. — Paris, 1860.

non — Metaphrasis / Hypo E. S. Sta- [38] C r o n e r t W. Der Epikureer Philomate. — T. 1—4. — Athenai: Technikou Epimeleteriou tes Hellados, 1975.

[26] Apollonius Conics Books V—VII. The Bd. 61. — № 2. — 1900. — S. 942—959.

Arabic translation of the lost Greek [39] D i o c l e s. On Burning Mirrors:

original / Edited with translation The Arabic translation of the lost [27] Apollonii Pergaei Conicorum libri oc- [40] F e r m a t P. Apollonii libri duo de Loto et Sereni Antissensis de Sectione cis planis restituti / Oeuvres de FerCylindri & Coni libri duo / Edidit Ed- mat. — T. 1. — Paris, 1891. — P. 3—51.

Ver Eecke. — Bruges: Brouver, 1923. Inclinationibus Geometria. — Venetiis, [29] Die Kegelschnitte des Apollonius uber- 1607.

modern notation with introductions [44] H o g e n d i j k J. P. Arabic Traces

Books of the Western World.—Vol. 11.— Lost Porisms and Its Arabic Traces Chicago — London — Toronto, 1952. — / Bolletino di Storia delle Scienze iaferro / Edited by D. Densmore and Vorderasien und Indiens. — Prag:

Santa Fe: Green Lion Press, 2001. Cambridge University Press, 1930.

der Kegelschnitte des Apollonius von des foyers / Nouv. Annales de mathePerge / Mit Einleitung und Facsimile heraus gegeben von prof. Dr. Naz- [49] L i e S. Ueber Complexe, insbesonim Terzioglu. — Istanbul: Universite, [35] Apollonii Pergaei de Sectione rationis Dierentialgleichungen: 1. Ordnung / / libri duo, ex arabico manuscripto la- Mathematische Annalen. — Bd. 5. — Collection mathematique / Trad. par

Bruges, 1933. [56] T o o m e r G. J. Introduction / /

Book VII of the Collection / Edit- New York—Berlin—Heidelberg—Loned with translation and commentary don — Paris — Tokyo — Hong Kong:

by A. Jones. — Vol. 1—2. — New York: Springer, 1990. — P. XI—XCV.

[52] S a k a s I. Ho Archimedes excuscitata Apollonii Pergaei de Tackatekausen ton stolon ton Romation tionibus Geometria. — Parisiis, 1600.

di epipedon katoptron (Archimedes [58] W o e p c k e F. Essai d’une restituburnt the Roman Fleet by using plane tion des travaux perdus d’Apollonius mirrors) / Epistemonike ekdosis.

Technikou epimeleteriou tes Hella- des indications tirees d’un manuscrit dos. — T. 35. — 1966. — S. 941—953. arabe / Memoires presentees par [53] S a r t o n G. Introduction to the His- divers savants a l’Academie des tory of Science. — Vol. 1. — Baltimore: sciences de l’Institut de France, sciCarnegie Institution, 1927. ences mathematiques et physique. — Loca plana restituta / Exercitationum Mathematicarum liber III. — Lugduno: den Kegelschnitten im Altertum. — Борис Абрамович Розенфельд.

Корректор Т. Л. Коробкова.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года.

Подписано в печать 5/XII 2003 года.

Формат 6088 116. Объем 11,00 физ. печ. л. = = 10,76 усл. печ. л. = 11,36 уч.-изд. л.

Бумага офсетная № 1. Гарнитура обыкн. нов.

Печать офсетная. Тираж 2000 экз. Заказ 4741.

Книга соответствует гигиеническим требованиям к учебным изданиям для общего и начального профессионального образования (заключение государственной санитарно-эпидемиологической службы Российской Федерации № 77.99.02.953.

Д.002797.04.03 от 18/IV 2003 года).

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 72 85.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрь- ский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.



Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 ||