WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 |

«АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 УДК 51(09) ББК 22.1г Р64 Розенфельд Б. А. Р64 Аполлоний ...»

-- [ Страница 25 ] --

Изотропные прямые этого пространства изображают параболические пучки окружностей, состоящие из окружностей, касающихся друг друга (рис. 85).

Движения псевдоевклидова пространства определяют преобразования в многообразии окружностей, переводящие точки в окружности.

Эти преобразования совпадают с преобразованиями Лагерра.

Вершины конусов, рассматривавшихся Хабелашвили, изображают окружности, по которым поверхности этих конусов пересекаются с плоскостью z=0. Реконструкция Хабелашвили основана на том, что прямолинейные образующие этих конусов изображают параболические пучки Если A, B и C — три точки псевдоевклидова пространства, изображающие окружности или точки плоскости, то каждая из этих точек является вершиной конической поверхности, состоящей из изотропных прямых. Две из этих поверхностей пересекаются по линии, которая имеет с третьей конической поверхностью одну или несколько общих точек, изображающих окружности, которые являются решениями соответственных задач Аполлония.

Конформная и контактная интерпретации Задача Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных окружностей, кроме интерпретации, связанной с преобразованиями Лагерра, допускает также интерпретации, связанные с круговыми и контактными преобразованиями.

Многообразие окружностей конформной плоскости, если считать за расстояние между окружностями вещественный или мнимый угол между ними, изометрично области проективного пространства, являющейся внешней областью овальной поверхности второго порядка если координаты точек этой области нормированы условием а расстояния d между точками с координатами (X1, Y1, Z1, U1 ) и (X2, Y2, Z2, U2 ) определяются по формуле Внешняя область поверхности (14.6), между точками которой определено расстояние d по формуле (14.8), называется псевдоэллиптическим пространством.

Окружность (8.29) изображается в псевдоэллиптическом пространстве точкой с координатами Прямые линии псевдоэллиптического пространства, не пересекающие поверхность (14.6), называются эллиптическими прямыми и изображают эллиптические пучки окружностей, эти линии замкнуты и имеют конечную длину, длины отрезков этих линий вещественны.

Прямые линии псевдоэллиптического пространства, пересекающие поверхность (14.6), называются гиперболическими прямыми и изображают гиперболические пучки окружностей, длины отрезков этих линий чисто мнимы, эти прямые бесконечны.

Прямые линии псевдоэллиптического пространства, касающиеся поверхности (14.6), называются изотропными прямыми. Они изображают параболические пучки окружностей, длины отрезков этих линий равны нулю.

Если A, B и C — три точки псевдоэллиптического пространства, изображающие три окружности или прямые, то изотропные прямые, выходящие из этих точек, образуют три конические поверхности, касающиеся поверхности (14.6). Две из этих конических поверхностей пересекаются по линии, эта линия имеет с третьей конической поверхностью одну или несколько общих точек, изображающих окружности, являющиеся решениями соответствующих задач Аполлония.

Аналогично, если A, B и C — три точки гиперповерхности (14.1), изображающие три окружности контактной геометрии, каждая из этих точек является вершиной конической поверхности, состоящей из прямолинейных образующих гиперповерхности (14.1). Эти конические поверхности являются пересечениями гиперповерхности (14.1) с касательными гиперплоскостями к ней в точках A, B и C. Две из этих конических поверхностей также пересекаются по линии, эта линия имеет с третьей конической поверхностью одну или несколько общих точек, изображающих окружности, являющиеся решениями всех 10 задач сочинения Аполлония Касания.

Заметим, что П. Ферма обобщил результаты сочинения Аполлония Касания на пространство и доказал, что для четырех сфер можно построить такую сферу, которая касается каждой из них. Построения Ферма допускают интерпретации в конформном пространстве, в геометрии пространственных преобразований Лагерра и в пространственной контактной геометрии. Эти интерпретации аналогичны интерпретациям построений Аполлония.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Правильные многогранники в философии Платона Сочинение Аполлония Сравнение додекаэдра с икосаэдром посвящено теории правильных многогранников.

Правильные многогранники были открыты пифагорейцами и играли важную роль в философии Платона (425—347 гг. до н. э.), вследствие чего эти многогранники часто называют платоновыми телами.

Грани правильных многогранников являются правильными многоугольниками, с каждой вершиной правильного многогранника также связан правильный многоугольник, называемый вершинной фигурой. Вершинами этого многоугольника являются середины ребер, выходящих из вершины многогранника.

Имеются пять правильных многогранников: тетраэдр (треугольная пирамида), гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников состоят из греческих числительных, означающих, соответственно, 4, 6, 8, 12 и 20, и слова hedra — грань, или основание.

Тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, куб — 6 граней и 8 вершин, октаэдр — 8 граней и 6 вершин, додекаэдр — 12 граней и 20 вершин, икосаэдр — 20 граней и 12 вершин.

Гранями этих многогранников являются, соответственно, треугольники, квадраты, треугольники, пятиугольники, треугольники. Вершинными фигурами этих многогранников являются, соответственно, треугольники, треугольники, квадраты, треугольники, пятиугольники (рис. 86, а—д).

В диалоге Тимей Платон вложил в уста пифагорейца Тимея следующие слова: Теперь должно сказать, каковы же те четыре рожденных тела, прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны, разрушаясь, друг в друга перерождаться. Если нам удастся попасть в точку, у нас в руках будет истина о рождении земли и огня, а равно и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции...



Начнем с первого вида, состоящего из самых малых частей:

его первоначало — треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и повторить такое действие трижды, притом так, чтобы числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним. Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство делить всю описанную треугольников, соединившихся по восемь в равносторонний треугольник и образующих каждый раз из четырех плоских углов по одному объемному;

когда таких объемных углов шесть, второе тело получает завершенность.

Третий вид образуется из сложения ста двадцати [восьми] исходных треугольников и двенадцати объемных углов, каждый из которых охвачен пятью равносторонними треугольными плоскостями, так что все тело имеет двадцать граней, являющих собой равносторонние треугольники.

На этом порождении и кончилась задача первого из первоначал. Но равнобедренный треугольник породил природу четвертого [вида], и притом так, что четыре треугольника, прямые углы которых встречались в одном центре, образовывали квадрат; а из сложения шести квадратов возникало восемь объемных углов, каждый из которых гармонично охватывается тремя плоскими прямыми углами. Составившееся таким образом тело имело очертания куба, наделенного шестью квадратными плоскими гранями. В запасе оставалось еще пятое многогранное построение; его Бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал его и украшал...

из всех четырех родов наиболее неподвижна и пригодна к образованию тел именно земля, а потому ей необходимо иметь самые устойчивые основания. Между тем не только из наших исходных треугольников равносторонний, если взять его как основание, по природе устойчивее неравностороннего, но и образующийся из сложения двух равно[бедренных] треугольников квадрат с необходимостью более устойчив, нежели равносторонний треугольник, причем соотношения это сохраняет силу как для частей, так и для целого. Значит, мы не нарушим правдоподобия, если назначим этот удел земле, а равно и в том случае, если наименее подвижный из всех остальных видов отведем воде, наиболее подвижный — огню, а средний — воздуху; далее, наименьшее тело — огню, наибольшее — воде, а среднее — воздуху, и, наконец, самое остроугольное тело — огню, следующее за ним — воздуху, а третье — воде. Но из всех вышеназванных тел наиболее подвижно по природе своей и по необходимости то, у которого наименьшее число оснований, ибо оно со всех сторон имеет наиболее режущие грани и колющие углы, а к тому же оно и самое легкое, коль скоро в его состав входит наименьшее число исходных частей. То тело, которое обладает такими же свойствами, но второго порядка, и место займет второе, а то, которое обладает третьим порядком этих свойств, — третье. Пусть же образ пирамиды, рожденный объемным, и будет, в согласии со справедливым рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня; вторым по рождению мы назовем воздух, третьим же — воду. Но при этом мы должны представить себе, что все эти [тела] до такой степени малы, что единичное [тело] каждого из перечисленных родов по причине своей малости для нас невидимо, и лишь складывающиеся из их множеств массы бросаются нам в глаза [14, с. 495—499].

Стихиями (stoicheia) греки называли четыре элемента, из которых состоит подлунный мир, — огонь, воздух, воду и землю. В названиях сочинений Евклида это слово принято переводить начала. Под пропорцией Платон имел в виду соотношение (2.2), в которое входит четыре величины a, x, y, b. В приведенном нами рассуждении обосновывалось, что атомы огня имеют форму тетраэдра, атомы воздуха — октаэдра, атомы воды — икосаэдра, атомы земли — куба, а мир в целом имеет форму додекаэдра. Слова о том, что Бог разрисовывал и украшал пятый многогранник, означают, что, по мнению Тимея, на 12 гранях мира, имеющего форму додекаэдра, были изображения 12 знаков зодиака.

Поэтому средневековые математики называли тетраэдр телом огня, октаэдр — телом воздуха, икосаэдр — телом воды, куб — телом земли, а додекаэдр — телом неба. Последнее название было связано также с тем, что форма додекаэдра приписывалась атомам эфира, из которого, по мнению средневековых ученых, состоят небесные сферы и планеты.

Платон заимствовал учение об атомах элементов у древних атомистов, которые считали атомы неделимыми, что и означает слово atomos.

Платон никогда не употреблял слово атом, так как считал атомы делимыми и полагал, что грани атомов можно представить в виде комбинации треугольников. На рис. 87, а—г изображены подразделения Платона граней правильных Изучению правильных многогранников посвящена XIII книга Начал Евклида. Эта теория была создана любимым учеником Платона Теэтетом.

выражения L длин ребер правильных многогранников через радиус R сферы, в которую они вписаны:

правильного многогранника центр описанного около нее круга и считать полученные точки вершинаРис. 87 ми нового многогранника, мы получим правильный многогранник, двойственный исходному. Тетраэдр двойственен сам себе, куб и октаэдр двойственны друг другу, додекаэдр и икосаэдр также двойственны друг другу. Вершины одного из двух двойственных многогранников соответствуют плоскостям граней другого по принципу двойственности проективной геометрии.

Во многих рукописях Начал Евклида к 13 книгам этого труда были добавлены еще две книги, написанные другими авторами.

XIV книга была написана Гипсиклом, жившим во II в. до н. э.



Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 |
 

Похожие работы:

«Сирил Паркинсон. Законы Паркинсона Посвящается Энн ЗАКОН ПАРКИНСОНА (Пер. - Н.Трауберг) ОТ АВТОРА Подросткам, учителям и авторам пособий по истории государственных учреждений и политике кажется, что мир сравнительно разумен. Они думают, что люди свободно выбирают своих представителей из тех, к кому питают особое доверие. Они полагают, что самые умные и самые дельные из этих избранных становятся министрами. Они воображают, как заправилы промышленности, свободно выбранные акционерами, облекают...»

«STRAHLEN AUS DER ASCHE GESCHICHTE EINER WIEDERGEBURT Scherz Bern-Stuttgart-Wien 1959 Роберт Юнг ЛУЧИ ИЗ ПЕПЛА ИСТОРИЯ ОДНОГО ВОЗРОЖДЕНИЯ Перевод с немецкого Л. Черной Редактор Н. А. Захарченко ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1962 ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА Лучи из пепла — книга о трагедии Хиросимы. Она принадлежит перу видного западногерманского публи­ циста Роберта Юнга, который уже известен советскому читателю как автор Ярче тысячи солнц. Свою новую книгу Юнг сам считает наиболее важной из...»

«В.В.Голубев 180 В.В.Голубев: Статьи о Востоке и об искусстве В.В.ГОЛУБЕВ: СТАТЬИ О ВОСТОКЕ И ОБ ИСКУССТВЕ Имя Виктора Викторовича Голубева (1878 1945), историка искусства и археолога, талантливого исследователя древностей, практически неизвестно в истории отечественной науки и культуры. Начав свой жизненный путь в Петербурге, он жил в Париже и скончался в Ханое. После окончания Петербургского, а затем Гейдельбергского университетов он обосновался в Европе, совершая оттуда путешествия по странам...»

«А.Р. Корсунский История Испании IX-XIII веков А.Р. Корсунский (Социально-экономические отношения и политический строй Астуро-Леонского и Леоно-Кастильского королевства) (Социально-экономические отношения и политический строй Астуро-Леонского и ЛеоноКастильского королевства) Рецензенты: Кафедра всеобщей истории Горьковского государственного университета; профессор Курбатов Г. Л. Рекомендовано Министерством высшего›и среднего специального образования СССР для.использования в учебном процессе...»

«ДЖАЛАЛ АД-ДИН МУХАММАД РУМИ МАСНАВИ-ЙИ МА‘НАВИ (ПОЭМА О СКРЫТОМ СМЫСЛЕ) ВТОРОЙ ДАФТАР Санкт-Петербург УДК ББК ЭИздание осуществлено при поддержке Культурного представительства при посольстве Исламской Республики Иран в Москве Утверждено к печати Ученым советом Института истории, археологии и этнографии Дагестанского Научного Центра РАН О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р — М. М. Гасанов Р е д а к ц и о н н ы й с о в е т: Г. Ансари (бывший посол ИР Иран в РФ), академик Г. Г. Гамзатов,...»

«АУКЦИОН № 6 РЕДКИЕ АНТИКВАРНЫЕ КНИГИ, РУКОПИСИ И АВТОГРАФЫ 27 сентября 2012 года, 19:00 Москва, Никитский пер., д. 4а, стр. 1 · 1 МОСКВА, 27 СЕНТЯБРЯ 2012 Предаукционный показ с 18 по 26 сентября 2012 года (с 10:00 до 20:00, кроме понедельника) по адресу: Москва, Никитский пер., д. 4а, стр. 1 (м. Охотный ряд) Справки, заказ печатных каталогов, телефонные и заочные ставки по тел.: (495) 926 4114, (985) 969 7745 или по электронной почте: knigoved@yandex.ru Интернет каталог www.vnikitskom.ru или...»

«Правила комнат Правила кампании Во время прохождения каждой главы с вами будут про- Если вы играете кампанию в Mice and Mystics, слеисходить различные особые события. Они наполняют дуйте этим специальным правилам. игру захватывающим повествованием. Ниже описаны группы особых событий и применимые к ним правила. См. также раздел Прохождение кампании с.19 Книги правил. Особая находка: Некоторые плитки комнат позволяют игрокам отыскать некий особый предмет в Мипс (Meeps): Карта способколоде...»

«Великий последний шанс: АСТ, АСТ Москва; Москва; 2005 ISBN 5-17-037195-0, 5-9713-2122-6 Аннотация Новая книга Михаила Веллера в простой и эмоциональной форме дает анализ российской действительности. Скандальные выводы перерастают в неожиданно обнадеживающие прогнозы. Михаил Иосифович Веллер Великий последний шанс ЭЛЕКТРОШОК ДЛЯ ПРОРОКА Сегодня Россия обречена. Гибель огромного организма, милосердно быстрая в историческом времени, успокоительно постепенна во времени современников. Те же города,...»

«ЗАПАДНАЯ БЕЛОРУССИЯ И ЗАПАДНАЯ УКРАИНА в 1 9 3 9 - 1 9 4 1 гг. люди, события, документы Санкт-Петербург АЛЕТЕЙЯ 2011 pawet.net УДК 94(476+477)1939/41 ББК 63.3(4Беи+4Укр)621 3 300 Ответственные редакторы: доктор исторических наук О. В. П ет ровская кандидат исторических наук Е. Ю. Борисенок Рецензенты: доктор исторических наук Г. Ф. М ат веев доктор исторических наук Е. II. Серапионова Утверждено к печати Ученым советом И нститута славяноведения Российской академии наук 3300 З а п а д н а я Б ел...»

«В книгу вошли основные доклады из числа представленных на научно-практической конференции Амурский тигр в Северо-Восточной Азии: проблемы сохранения в XXI веке (15–18 марта 2010 г., г. Владивосток). В работе форума приняли участие 109 представителей государственных и научных учреждений, неправительственных организаций и экспертов из 13 стран мира. Всего прозвучало 75 докладов. Конференция проведена в рамках целевой программы Дальневосточного отделения Российской академии наук Экология амурского...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.