WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |

«АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 УДК 51(09) ББК 22.1г Р64 Розенфельд Б. А. Р64 Аполлоний ...»

-- [ Страница 24 ] --

Математики средневекового Востока решали многие задачи, равносильные кубическим уравнениям, с помощью пересечения конических сечений. Сабит ибн Корра решил задачу о трисекции угла с помощью пересечения окружности и равносторонней гиперболы.

Аль-Хазин (ум. ок. 970), не знавший о решении Архимеда задачи, сводящейся к уравнению (13.3), дал новое решение этой задачи с помощью пересечения конических сечений.

Ибн аль-Хайсам решил задачу о построении правильного семиугольника с помощью пересечения параболы и равносторонней гиперболы.

Омар Хайям в Книге о доказательствах задач алгебры и алмукабалы [23] дал полную классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни. Для каждого из 19 кубических уравнений этого типа, не сводящихся к линейным и квадратным уравнениям, Хайям указал решение с помощью пересечения окружностей, равносторонних гипербол с горизонтальными и вертикальными осями или асимптотами и парабол с горизонтальными или вертикальными осями.

Математики средневекового Востока применяли конические сечения для решения алгебраических уравнений четвертой степени. АльКухи решал с помощью пересечения двух гипербол задачу о построении равностороннего пятиугольника, вписанного в квадрат, сводящуюся к уравнению x4 +32a4 =4ax3 +52a2 x2 +16a3 x.

Ибн аль-Хайсам в своей знаменитой Книге оптики находил точки сферических, цилиндрических и конических зеркал, в которых луч, выходящий из данной точки A, отражается в данную точку B. Эти задачи также равносильны уравнениям четвертой степени. Ибн альХайсам решал их с помощью пересечения двух гипербол.

При решении уравнений четвертой степени применялись конические сечения более общего вида, чем при решении кубических уравнений.

Аль-Каши в своей книге Ключ арифметики сообщал, что написал книгу о классификации уравнений четвертой степени и для каждого уравнения указал способ его решения с помощью пересечения конических сечений общего вида. Эта книга аль-Каши до нас не дошла.

При доказательстве предложения V52 Конических сечений Аполлоний решал задачу об определении двух средних пропорциональных между двумя данными величинами, выражаемую пропорциями (2.2).

Эта задача равносильна кубическому уравнению.

Выше мы упоминали, что задача проведения нормалей к параболе в предложении V51 равносильна кубическому уравнению, а задача проведения нормалей к эллипсу и гиперболе в предложении V52 равносильна уравнению четвертой степени.

Математик V в. н. э. Марин в своих комментариях к геометрическому трактату Евклида Данные вместе со Вставками Аполлония упомянул сочинение Аполлония Общий трактат (Katholouo pragmateia) [25, т. 1, с. 68—70]. Название этого трактата показывает, что методы решения геометрических задач в этом трактате были более общими, чем во Вставках.

Возможно, что в этом трактате Аполлоний описал, каким образом он пришел к пропорциям, из которых в предложениях I11 —I13 он вывел уравнения параболы, гиперболы и эллипса, и как он пришел к пропорциям, равносильным алгебраическим уравнениям эволют конических сечений, приведенным им в предложениях V52 и V53 Конических сечений.

КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Термин контактная геометрия применяется в нескольких значениях.

Мы будем понимать под этим термином, как в работе [19], геометрию окружностей и сфер, основанную Софусом Ли (1842—1899) [49].

Ф. Клейн называл эту геометрию высшей геометрией окружностей и сфер.

В отличие от аффинной, проективной и конформной геометрий, изучающих преобразования плоскостей, переводящие точки этих плоскостей в точки, а прямые в прямые или окружности в окружности, контактная геометрия изучает такие преобразования плоскости, при которых точки могут перейти в точки, окружности или прямые, окружности могут перейти в окружности, точки или прямые, а прямые — в прямые, окружности или точки, причем сохраняется касание окружностей и прямых и принадлежность точек прямым и окружностям.

Такие преобразования называются контактными преобразованиями.

В контактной геометрии точки рассматриваются как окружности нулевого радиуса, а прямые — как окружности бесконечного радиуса, принадлежность точки прямой или окружности рассматривается как частный случай касания.

Софус Ли показал, что контактные преобразования плоскости образуют группу, зависящую от 10 параметров, изоморфную группе проективных преобразований четырехмерного пространства, переводящих в себя гиперповерхность второго порядка Точки гиперповерхности (14.1) изображают окружности контактной геометрии. При этом окружности (8.29) ставится в соответствие точка гиперповерхности (14.1) с координатами Точке с координатами x0, y0 ставится в соответствие точка гиперповерхности (14.1) с координатами (14.2) при r=0. Прямой ux+ +vy+w=0 ставится в соответствие точка гиперповерхности (14.1) с координатами При этом всякие две окружности контактной геометрии, касающиеся друг друга, изображаются двумя точками гиперповерхности, координаты которых удовлетворяют условию Условие (14.4) означает, что эти две точки лежат на одной прямолинейной образующей гиперповерхности (14.1).

Подгруппа группы контактных преобразований, переводящая точки в точки, является группой круговых преобразований плоскости.

Подгруппа группы контактных преобразований, переводящая прямые в прямые, называется группой преобразований Лагерра по имени Эдмонда Лагерра (1834—1886), впервые рассмотревшего эти преобразования в работе [48].

Согласно описанию Паппа, не дошедшее до нас сочинение Аполлония Касания состояло из двух книг. В этом сочинении решалась задача: провести окружность, касающуюся трех объектов, которые могут быть окружностями, прямыми и точками. Эта задача решалась:



1) для трех точек, 2) для двух точек и прямой, 3) для точки и двух прямых, 4) для трех прямых, 5) для двух точек и окружности, 6) для точки и двух окружностей, 7) для двух прямых и окружности, 8) для прямой и двух окружностей, 9) для точки, прямой и окружности, 10) для трех окружностей.

Во II книге решались задачи 7) и 10) и рассматривалось много частных случаев этих задач. Остальные восемь задач решались в I книге.

Все 10 задач этого сочинения Аполлония можно сформулировать единообразно: провести окружность, касающуюся трех окружностей контактной геометрии.

Многие задачи сочинения Касания сохранились в арабском переводе в книге Ибрахима ибн Синана Избранные задачи. Некоторые из них переведены на английский язык (в статье [44]) и на русский язык (в статье [12]).

В переводе ибн Синана отсутствует изложение задачи 6), в которой требовалось провести окружность, касающуюся двух окружностей с центрами A и B и проходящую через точку C (рис. 80, а). По-видимому, Аполлоний решал эту задачу следующим образом. Он производил инверсию относительно какой-нибудь окружности с центром C. При этой инверсии точка C переходит в бесконечно удаленную точку, а окружности с центрами A и B — в окружности с центрами K и L. Далее проводилась прямая MN, касающаяся этих двух окружностей в точках M и N (рис. 80, б). Затем та же бесконечно удаленная точка переходила в точку C, окружности с центрами K и L переходили переходила в окружность CDE, касающуюся Как видно из перевода ибн Синана, Аполлоний начал рассмотрение задачи 10) с того Рис. 80 Аполлоний проводил окружность ABC, и искомая окружность имела тот же центр, что (рис. 82), Аполлоний сводил к задаче 6) о проведении окружности, которая проходит через двух окружностей. Искомая окружность имеет Заметим, что Ф. Виет в своей реконструкции Касаний Аполлония также сводил задачу о проведении окружности, касающейся трех через данную точку окружности, касающейся А. В. Хабелашвили [22] предложил элементарное решение задачи о проведении окружности, касающейся трех данных окружностей, которым, по его мнению, должен был В работе [22] указаны решения этой задачи многими математиками от Паппа до Я. Штейнера, А. Ф. Мебиуса, Ж. Лиувилля и А. Кэли, решавших эту задачу с помощью применения инверсии относительно окружности. Хабелашвили считал, что во всех без исключений решениях задачи Аполлония авторы используют геометрические факты, свойства геометрических фигур или же геометрические понятия, неизвестные математикам в эпоху Аполлония [22, с. 9].

Реконструкция решения этой задачи Аполлония, предложенная в работе [22], состоит в следующем. Пусть на плоскости заданы три окружности O1, O2 и O3 и требуется провести окружность O, касающуюся этих окружностей внешним образом. Построим на данных кругах, как на основаниях, три прямых конуса AO1, BO2, CO3 с одинаковыми углами при вершинах [A, B и C], а четвертый круговой прямой конус DO с таким же углом при вершине, произвольным радиусом основания и высотой, параллельной высотам построенных конусов, направим вершиной D вниз к плоскости и, сохраняя параллельность высот, будем перемещать его до тех пор, пока он не коснется одновременно всех трех конусов внешним образом. Коническая поверхность DO пересечет плоскость по искомой окружности O [22, с. 10] (рис. 83).

В случае, когда окружность O должна касаться трех данных окружностей внутренним образом, конус DO направляется вершиной вверх.

В случае, когда окружность O должна касаться одних из данных окружностей внешним образом, а других — внутренним образом, конусы на данных кругах строятся так, чтобы их касания с конусом DO были одного рода с касаниями соответствующих кругов. В общем случае задача имеет восемь решений.

Далее на основе этого стереометрического решения задачи Аполлония, Хабелашвили излагает планиметрическое решение с помощью циркуля и линейки. Для этого рассматривается эллипс, по которому плоскость ABC пересекается с конусом DO. По углу 2 при вершине конуса и углу между плоскостями ABC и по формуле (6.26) определяется отношение полуосей эллипса. Большая ось эллипса перпендикулярна линии пересечения плоскостей ABC и. Так как конус DO касается конусов AO1, BO2 и CO3 по их прямолинейным образующим, конус DO проходит через вершины A, B и C этих конусов, поэтому через точки A, B и C проходит и эллипс, по которому поверхность конуса DO пересекается с плоскостью ABC.

Планиметрическое решение Хабелашвили задачи Аполлония гораздо сложнее решения задачи Аполлония с помощью инверсии, которая, как мы видели в главе 10, была известна Аполлонию за несколько столетий до Штейнера, Хабелашвили состоит в следующем. Если мы поставим в соответствие всякой окружности (10.1) на плоскости точку пространства с координатами x=x0, y=y0, z=r, мы отобразим многообразие всех окружностей плоскости на полупространство, ограниченное плоскостью z=0. Для того чтобы отобразить многообразие окружностей на все пространство, следует различать ориентацию окружностей и ставить в соответствие всякой окружности, ориентированной в положительном направлении, т. е.

против часовой стрелки, точку с положительной координатой z, а всякой окружности, ориентированной в отрицательном направлении, — точку с отрицательной координатой z.

Это изображение точек пространства окружностями было предложено Евграфом Степановичем Если две окружности обладают общими касательными, то число этих касательных не более чеРис. касательных попарно равны. В случае ориентированных окружностей рассматриваются только такие их общие касательные, на которых ориентации окружностей определяют одно и то же направление (рис. 84, а, б). В этом случае расстояние между точками касания d называется касательным расстоянием между ориентированными окружностями. Если две ориентированные окружности изображаются точками пространства с координатами x1, y1, z1 и x2, y2, z2, то касательное расстояние d между ориентированными окружностями выражается через координаты точек по формуле Формула (14.5) отличается от формулы (11.8) только обозначениями координат. Поэтому пространство, в котором расстояние d между точками определяется по формуле (14.5), является псевдоевклидовым пространством.



Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |
 

Похожие работы:

«Алигьери Данте Божественная комедия Поэма великого итальянского поэта Данте Алигьери (1265-1321) Божественная Комедия - бессмертный памятник XIV века, который является величайшим вкладом итальянского народа в сокровищницу мировой литературы. В нем автор решает богословские, исторические и научные проблемы. Предисловие (К. ДЕРЖАВИН) Божественная Комедия возникла в тревожные ранние годы XIV века из бурливших напряженной политической борьбой глубин национальной жизни Италии. Для будущих близких и...»

«Чтобы собрать Библиотеку Российской Империи, нужно было вооружиться авторитетными источниками, которые бы давали возможность объективно выбрать лучшее. Нужна целая библиотека справочников по книговедению, чтобы сделать правильный отбор. И такая коллекция у нас есть! Это — библиотека Наследие библиографа. В нее вошли известные справочные издания XIX–XX веков по книговедению. Здесь представлены знаковые издания, отражающие развитие библиографической науки в дореволюционный период. Сегодня в...»

«М.С. 3 И Н И Чi © 1999 г. ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ОПЕРАТИВНОГО ШТАБА А. РОЗЕНБЕРГА ПО ВЫВОЗУ КУЛЬТУРНЫХ ЦЕННОСТЕЙ ИЗ СССР Российская и зарубежная общественность знает о преступлениях нацистов в период Второй мировой войны - убийстве миллионов людей в оккупированной Европе, разрушении экономики, использовании тактики выжженной земли, особенно в СССР. Другая же сторона преступлений фашистов до последнего времени недостаточно освещена в литературе - это расхищение национальных сокровищ искусства и истории на...»

«Пояснительная записка. Рабочая программа учебного курса Социальная и экономическая география мира для 10-11 классов составлена на основе следующих документов: - Приказ министерства образования РФ от 9 марта 2004 года № 1312 ( ОБ утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для общеобразовательных учреждений РФ, реализующих программы общего образования) в редакции Министерства образования и науки РФ от 20 августа 208 года № 24, от 9 марта 2004 года № 1312, от 30...»

«В. М. Массон ВВЕДЕНИЕ: ДОУРАРТСКИЕ ДРЕВНОСТИ КАВКАЗА – ПУТИ ПОЗНАНИЯ И ПРОБЛЕМЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ В XIX и начале XX веков стремительно развертывалось познание ранее почти забытой эпохи в истории человечества – эпохи древневосточных обществ. Одним из звеньев в этой цепи познания стало открытие урартской цивилизации. Часть Закавказья в VIII–VII вв. до н. э. была включена в состав этого древневосточного государства, и урартские древности, первоначально надписи, а затем и другие виды памятников были...»

«Усман ибн 'Аффан Третий праведный халиф Москва | Умма | 2012 УДК 28-3(092) ББК 86.38 С16 Сокращённый перевод с арабского: Карима (Екатерина) Сорокоумова Ответственный редактор Кабир Кузнецов ас-Салляби, 'Али Мухаммад С16 'Усман ибн 'Аффан. Третий праведный халиф / Пер. с араб., прим., комм. Е. Сорокоумовой. — М. : Умма, 2012. — 568 с. — Часть текста парал. рус, ар. — (История Халифата). ISBN 978-5-94824-146-3 (История Халифата) ISBN 978-5-94824-158-6 Третья книга из серии История Халифата...»

«Книга IV РУССКО ОРДЫНСКАЯ ИМПЕРИЯ И БИБЛИЯ Глава 1 ИСТОРИЯ РУКОПИСЕЙ И ИЗДАНИЙ БИБЛИИ ЧТО ТАКОЕ БИБЛЕЙСКИЙ КАНОН? ПОЧЕМУ В СРЕДНИЕ ВЕКА ЦЕРКОВЬ ЗАПРЕЩАЛА МИРЯНАМ ЧИТАТЬ БИБЛИЮ? Скалигеровская хронология библейских книг и рукописей и их датировка весьма зыбки и недостаточно обоснованны. По сути дела, они зиждутся на авторитете хронологов и теологов эпохи Реформации, охватившей в XVI—XVII веках Западную Европу, когда вопрос о библейской хронологии и истории стал острым оружием в борьбе...»

«Один из первых, кто стоял у истоков создания и развития радиопромышленности страны 1 Есть город, в котором стоит хоть раз пройтись по улицам и паркам, по холмам, возвышающимся над могучей рекой, осмотреть его старинные и новые здания, полюбоваться величественной панорамой, открывающейся с глади седого Днепра, увидеть золотом расшитые священные купола древних соборов и церквей, чтобы на всю жизнь сохранить чарующее впечатление необыкновенной красоты и неповторимое своеобразие. Это столица...»

«REPRESENTATIONS OF THE OTTOMANS IN THE RUSSIAN ORIENTALIST DISCOURSE IN THE FIRST HALF OF 19TH CENTURY Marina KASUMOVA 1 ABSTRACT The paper analyzes the main factors of European origin Orientalist discourse and the corresponding practices, current trends in the study of Eastern societies, study the process of formation and transformation in the Russian discourse representations of images of the East and the Ottoman Empire by means of concepts Asian luxury, Oriental eloquence and Eastern wisdom....»

«Последнее слово Бога: постигая Откровение Рэй С. Стеэдмен в соавторстве с Джеймсом Д. Денни Обложка : Рэй Стэдмен начинает свой комментарий следующими словами: Откровение Иоанна Богослова – самая страшная книга в Библии. И в то же время это одна из самых утешающих, ободряющих и радующих книг Библии. C характерной для него и скрупулёзностью доктор Стедмен проводит своих читателей через муки и радости последнего слова Бога. Книга Откровения долго оставалась загадкой для рядового читателя....»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.