WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«Проекция Меркатора, логарифм и мореплавание A. В. Боровик О. М. Худавердян Для нетерпеливого и грамотного читателя сразу оговоримся, что основное математическое ...»

-- [ Страница 1 ] --

Наш семинар:

математические сюжеты

Проекция Меркатора, логарифм и мореплавание

A. В. Боровик О. М. Худавердян

Для нетерпеливого и грамотного читателя сразу оговоримся, что

основное математическое содержание этого этюда сводится к классическому предложению:

цилиндр униформизующая поверхность для логарифма.

Тем не менее думается, что содержание нашей заметки интерпретация проекции Меркатора как логарифма в комплексной области в той или иной степени должно входить в любой курс комплексного анализа но почему-то мы там этого не нашли.1) 1. Историческое предисловие Если корабль должен из точки А приплыть в точку Б, как ему проложить маршрут? Конечно, наикратчайшее расстояние это дуга большого круга. Но чтобы проложить такой маршрут, нужно уметь определять местоположение корабля в любой точке пути. А представьте, что на корабле есть только компас и скорость корабля точному измерению не подается.

Тогда можно выбрать маршрут траекторию, которая проходит через точки А и Б и составляет постоянный угол с меридианами локсодрому.

Если этот угол известен, то с помощью компаса курс фиксируется. При 1) Наш систематический (и все еще продолжающийся) поиск в литературе привел пока что только к одной современной книге, касающейся нашей главной темы. Эта книга популярная история тригонометрии, написанная Эли Маором [13]. Тем не менее интерпретация проекции Меркатора как логарифма в комплексной области приводилась в старых учебниках комплексного анализа [3].

Математическое просвещение, сер. 3, вып. 14, 2010(1–26) ©2008, text:

A. V. Borovik and H. Khudaverdyan 2 A. В. Боровик, О. М. Худавердян Рис. 1. Локсодрома этом, даже если скорость корабля не контролируется что и было в парусную эпоху, то он все равно не сбивается с курса! (Мы пренебрегаем сносом течением). Мы видим как жизненно важна локсодрома и определение угла, который составляет локсодрома с меридианами.

Конечно, меридианы и параллели локсодромы. Если точки А и Б имеют одинаковую долготу (широту), то надо держать курс на Север или на Юг (на Восток или на Запад). Как же быть если точки А и Б имеют разную долготу и разную широту?

А что если б можно было построить карту Земли в которой все локсодромы, не только меридианы и широты, были бы прямыми линиями?

Рис. 2. Корабельный компас в кардановой подвеске Проекция Меркатора, логарифм и мореплавание Рис. 3. Линия постоянного курса Имея такую карту, капитан корабля с линейкой в руках одним движением карандаша, соединив точки А и Б отрезком прямой, определял бы угол и соответственно фиксировал бы курс корабля.

Сразу же отметим, что многие карты мира, которые мы знаем с детства, этим свойством обладают. Это заслуга Меркатора.

Давайте попробуем повторить изобретение Меркатора. Мы, вооруженные знанием некоторых формул математики ХХ века, построим за Меркатора, то что он сделал в ХVI веке (видимо, не применяя математики, а только следуя интуитивному пониманию, какие преобразования карты сохраняют углы). И сделав это, он на самом деле заложил основание этих формул.

Почти как у Мандельштама:

Быть может, прежде губ уже родился шепот И в бездревесности кружилися листы...

2. Локсодромы на сфере – логарифмические спирали – прямые линии. Вычислительный эксперимент 2.1. Сферические координаты Пусть, стандартные сферические координаты на сфере x2 + y 2 + z 2 = R2, тогда x = R sin cos, y = R sin sin, z = R cos (рис. 4).

Если (t) = ((t), (t)) кривая на сфере, то касательный вектор (xt, yt, zt ) к ней в точке (, ) равен R(cos · cos · t sin · sin · t, cos · sin · t + sin · cos · t, sin · t ), 4 A. В. Боровик, О. М. Худавердян Z а касательный вектор к меридиану = t, = const в той же точке равен Поэтому косинус угла наклона (t) кривой к меридиану сразу находится из формулы для скалярного произведения и равен Кривая ((t), (t)) локсодрома, если Это дифференциальное уравнение локсодромы. Перейдя к параметру t =, = () мы видим, что В случае когда cos = 0, t 0, локсодрома параллель = 0.

Функция tg напоминает нам о стереографической проекции. И это верное наблюдение.

При стереографической проекции сферы на плоскость z = 0 каждая точка сферы переходит в точку x = u, y = v, z = 0 такую, что эти две точки лежат на одной прямой с Северным полюсом, точкой (0, 0, 1).

Следовательно, точка с декартовыми координатами (x, y, z) на сфере переходит в такую точку с декартовыми координатами (u, v) на плоскости, что Стереографическая проекция (4) устанавливает взаимно однозначное соответствие между сферой (без северного полюса) и точками плоскости z = 0. Если r, полярные координаты на плоскости z = 0, r = u2 + v = arctg, то получаем, что (то же самое видно на рис. 6).

При стереографической проекции точка с сферическими координатами (, ) на сфере переходит в точку с плоскости z = 0 с полярными Рис. 6. Стереографическая проекция: формула (5) координатами (R tg, ). Значит, образом локсодромы (3) в стереографической проекции будет кривая на плоскости z = 0, задаваемая уравнением Это логарифмическая спираль (рис. 7). Немного позже мы объясним это явление качественно, используя азы конформной геометрии.

Заметим, что логарифмическая спираль характеризуется тем, что пересекает все выходящие из начала координат радиальные линии под постоянным углом. Насекомые летят на свечку по логарифмической спирали у них есть инстинкт лететь под постоянным углом к источнику света.

Рис. 8. Полет насекомого по прямой и по спирали. Источник: Христо Бояджиев [1].

В природе источник света солнце или луна, и их метод навигации обеспечивает насекомым полет по прямой линии локсодроме их насекомого мира (рис. 8).

Интересно, что причина на то инструментальная, точно как зависимость мореплавателя от компаса. У насекомых глаза фасеточные и состоят из многих узко направленных омматидиев, индивидуальных световых рецепторов (рис. 9). Луч света стимулирует небольшую группу омматидиев (их оптические оси расходятся под углами 1 –6, см. [14]), тем самым задавая угол на источник света. Когда лучи параллельны и насекомые хотят лететь по прямой линии, они летят по такой линии, чтобы все время активировалась одна группа омматидиев [1, 7].

Рис. 10. Паутина. Паук сначала натягивает радиальные нити, а потом разматывает спираль, от центра к краю. Невольно кажется, что его проект основан на принципе постоянства углов между спиральными и радиальными нитями. Обратите внимание, что спираль много плотнее в центре, как и положено логарифмической спирали. Источник: [25] А теперь ровно один шаг до проекции Меркатора. Рассмотрим отобZ ражение W = log комплексной плоскости Z = u + iv в комплексную плоскость W = s + it: если Z = u + iv = ei, то Очевидно, что это отображение переводит образ локсодромы (6) в прямую.

Композиция стереографической проекции и функции W = log отображает локсодрому = k log tg на сфере в прямую t = ks. В частности меридианы = 0 переходят в прямые t = 0 и параллели = переходят в отрезки прямых s = log tg 0.

Конечно, для того чтобы функция W = Log Z была бы определена на всей комплексной плоскости, нужно, например, отождествить в образе точки ±it, то есть нужно полагать, что функция (7) принимает значения на цилиндре.

Рис. 11. Локсодрома на сфере, логарифмическая спираль на плоскости и винтовая линия на цилиндре Подытожим наши вычисления. Мы показали, что отображение (8) отображает сферу с выколотыми полюсами на полосу с отождествленными краями (цилиндрическую поверхность); при этом все локсодромы, в том числе и меридианы, и параллели вереходят в прямые линии (винтовые линии). Это и есть карта Земли по Меркатору (без Арктики и Антарктики).

Теперь попробуем уяснить смысл этих вычислений.

3. Проекция Меркатора как конформное отображение.

3.1. Конформость проекции Меркатора В предыдущем разделе мы прямыми вычислениями, решив соответствующее дифференциальное уравнение, нашли локсодромы на сфере и увидели, что при стереографической проекции они превращаются в логарифмические спирали. Затем мы показали, что функция Log z, отображая сферу на прямоугольную полосу плоскости (более точно сферу без полюсов на цилиндрическую поверхность). Обсудим это явление качественно.

При проекции Меркатора сохраняются углы локсодром с меридианами, значит и сохраняются углы между локсодромами. Отсюда следует, что проекция Меркатора это конформное отображение: отображение сохраняет угол между любыми двумя векторами касательными к данной точке сферы.

Стереографическая проекция сферы на плоскость это тоже конформное отображение2), при котором параллели переходят в концентрические окружности и меридианы переходят в лучи, исходящиеся из центра. Значит каждая локсодрома в стереографической проекции должна пересекать все лучи, исходящие из начала координат, под одним и тем же углом. Это условие как раз и определяет логарифмическую спираль.

Конформное отображение отображает лучи, исходящие из начала координат, в прямые параллельные вещественной прямой и локсодромы, составляющие угол с меридианами в прямые (винтовые линии), составляющие угол с вещественной прямой.

И тут становится незаменимой великая идея Бернхарда Римана: при помощи стереографической проекции отождествить комплексную плоскость C со сферой, добавив к плоскости точку на бесконечности, приравняв ее к северному полюсу сферы; неудивительно, что эта конструкция называется римановой сферой. Идея рассматривать цилиндр как естественную область значений комплексного логарифма Log Z (тем самым избавляясь от всех проблем, порождаемых его многозначностью) тоже восходит к Риману; этот трюк называется униформизацией. Геометрия цилиндра, бесконечного в длину и переодического поперек себя, воплощает в себе фундаментальный принцип переодичности экспоненциальной функции что происходит, конечно, потому что Действительно, метрика сферы в стереографических координатах имеет вид и потому отличается от стандартной Евклидовой метрики du2 + dv 2 на (1 + u2 + v 2 ) плоскости только скалярным множителем. Следовательно, локально это гомотетия и потому сохраняет углы.

где в вычислении прячется великое тождество Эйлера3) Логарифм обратная функция к экспоненте, и переодичность экспоненты делает логарифм многозначной функцией. При униформизации мы приравниваем точки с одинаковыми экспонентами, то есть отождествляем комплексные числа z and z + 2ki для всех целых значений k; но это и означает свернуть плоскость в цилиндр.4) После этих отождествлений проекция Меркатора становится ничем иным, как самим логарифмом Вернемся на секунду к насекомым, тем самым, которые летят под постоянным углом к источнику света. В природе источник света солнце или луна находится на бесконечности, что обеспечивает насекомым полет по прямой линии. Если же свет исходит из обманной свечки в начале координат Z = 0, то чешуекрылые навигаторы оказываются на логарифмической спирали, накручивающейся на свечку [1].5) Взятие логарифма посылает свечку в бесконечность и развертывает спираль в спасительную прямую.

Очевидно, что отображение конформное отображение, так как оно поворачивает каждый вектор z на угол arg a и растягивает его в |a| раз. Но конформность свойство, которому достаточно выполняться в «бесконечно малом» масштабе вокруг Википедия утверждает, что знаменитая формула Эйлера была открыта в 1714 году Роджером Коутсом, причем в логарифмической форме:

Поскольку z Log z отображает комплексную плоскость на цилиндр, одна из конструкций логарифмической линейки для умножения комплексных чисел основана на этом принципе и соответственно имеет форму цилиндра, см. [11] (источник подсказан Рональдом Дорфлером).



Pages:     || 2 | 3 | 4 |
 


Похожие работы:

«Деньги и власть или 17 историй успеха Жизнь, деятельность и деловые секреты величайших в мире сверхбогачей. Психологические портреты Полный справочник испытанных стратегий богачей и сверхбогачей 2004 г. Москва 2 УДК. Полный справочник ББК. испытанных стратегий богачей и сверхбогачей Д. Д– Добротворский И.Л. Деньги и власть или 17 историй успеха. Психологические портреты. Москва, 2004. ISBN. Кому сегодня не известны Ford, Apple Computer, Microsoft? А что мы знаем о людях, их создавших? Чем...»

«Сборник статей History - Myth - Folklore in Jewish and Slavic Cultural Tradition Collection of articles Центр научных работников и преподавателей иудаики в вузах Сэфер Институт славяноведения Российской Академии Наук – – ‚ ‚ ‡‚ ‡‰ Сборник статей Академическая серия Выпуск 24 Москва 2009 Редколлегия: О.В. Белова (ответственный редактор), В.В. Мочалова, В.Я. Петрухин, Л.А. Чулкова Издание осуществлено при финансовой поддержке Американского Еврейского Объединенного Распределительного Комитета...»

«СОБЫТИЯ И ЛЮДИ В ДОКУМЕНТАХ КУРСКИХ АРХИВОВ 110-летию архивной службы Курской области посвящается Сборник статей Выпуск ХI КУРСК 2013 УДК 908 ББК 63.3 (2 Рус – 4 Курск) С 55 С 55 События и люди в документах курских архивов. 110-летию архивной службы Курской области посвящается [Текст] / под ред. В.Л. Богданова. Курск: ООО Центр рекламы Лоцман, 2013. 173 с. Редакционная коллегия:Богданов В.Л. (гл. редактор) – начальник архивного управления Курской обл., Елагина Н.А. – директор ОКУ Госархив...»

«УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, проректор по учебной работе _ С.Н. Туманов 22 июня 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ История политических и правовых учений По направлению подготовки 03090068 – Юриспруденция Разработчик: профессор Тихонова С.В. Саратов - 2012 Учебно–методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры истории государства и права 4 июня 2012 г. Протокол № 12 Заведующий кафедрой истории государства и права О.Ю. Рыбаков Учебно–методический комплекс дисциплины...»

«УТВЕРЖДАЮ Декан факультета географии и геоэкологии Е.Р. Хохлова 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ, 5 курс 020401.65 География очная форма обучения Обсуждено на заседании кафедры Составитель: физической географии и экологии К.г.н., доцент 28 февраля 2012 г. _А.А. Цыганов Протокол № 3 Зав. кафедрой _ О.А. Тихомиров Тверь 2012 2. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цель дисциплины состоит в изучении теоретических и методических основ правовых основ...»

«Станислав Куняев Поэзия. Судьба, Россия Книга 2.Есть еще океан НАШ СОВРЕМЕННИК Москва 2001 ББК 63.3(2)-3(2Рос-Рус) К91 Куняев С.Ю. К91 Поэзия. Судьба. Россия: Кн. 2..Есть еще океан.— М.: Наш современник, 2001.— 512 с, ил. ISBN 5-901483-04-9 (т.2.) ISBN 5-901483-04-9 ББК 63.3(2)-3(2(Рос-Рус) Двухтомник русского поэта Станислава Куняева объемлет более шестидесяти лет сегодняшней истории России. На его страницах читатели встретятся со многими знаменитыми людьми эпохи, вместе с которыми прожил...»

«СБОРНИК ЗАДАНИЙ для государственной итоговой аттестации по истории Украины Рекомендовано Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины 11 класс Киев Центр учебно-методической литературы 2013 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ Вы раскрыли сборник, цель которого – выяснить, насколько основательно изучен курс истории Украины ХХ – начала ХХІ в., и установить уровень личных учебных достижений. Полистав страницы, вы заметите, что в сборнике немного заданий на...»

«К ПРОБЛЕМЕ ПЕРЕВОДА, ОПИСАНИЯ И ДОСТОВЕРНОСТИ ИСТОРИКО-АРХИВНОЙ ДОКУМЕНТНОЙ ИНФОРМАЦИИ В. В. ОЛЕВСКАЯ В статье рассматриваются некоторые проблемы, связанные с переводом и описанием документов, содержащих историко-архивную информацию, в частности ошибки, появляющися из-за недостаточной лингвистической квалификации. Недостоверная информация на уровне документа (документов), закрепленная в справочниках, не только ложно ориентирует исследователей, но может стать источником недостоверных сведений в...»

«ОТ ВОЛКОВЫСКА ДО ХАРБИНА. ТОРГОВО-ПРОМЫШЛЕННАЯ ДИНАСТИЯ СКИДЕЛЬСКИХ (КОНЦ Х1Х – СЕРЕДИНА ХХ В.) В ДОКУМЕНТАХ И МАТЕРИАЛАХ Гродно 2011 УДК 94(476.6) ББК 63.3(4 Беи) Ч-46 Рекомендовано Советом факультета истории и социологии ГрГУ им. Я. Купалы. Рецензенты: Ярмусик Э.С., кандидат исторических наук, доцент; Хилюта В.А., кандидат исторических наук, доцент. Черепица, В.Н. Ч-46 От Волковыска до Харбина. Торгово-промышленная династия Скидельских (конец ХIХ – середина ХХ в.) в документах и материалах :...»

«Морские тайны древних славян ПОЛИГОН Санкт-Петербург 2003 ББК 63.3 (2) Д53 Дмитренко С. Г. Д53 Морские тайны древних славян — СПб.: ООО Издательство Полигон, 2003. — 413, [3] с.: ил. ISBN 5-89173-251-3 Несмотря на то что история России и Европы нам кажется очень хорошо изученной, все-таки в ней остаются белые пятна и возникают вопросы, на которые до сих пор нет однозначных ответов. Рассмотрение истории морских культур народов Северной и Восточной Европы, а также народов Востока могло бы помочь...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.