WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Введение Интерпретация содержания II книги “Начал” ЕВКЛИДА давно является предметом историко-научных дискуссий. Некоторые предложения этой книги могут быть истолкованы ...»

-- [ Страница 3 ] --

Первая реконструкция представлена на рис. 15. Левый вариант чертежа принадлежит ГЕОРГУ ЦЕЙТЕНУ [9], правый — ДЭВИДУ ФАУЛЕРУ [12]. Вычитая из диагонали D сторону S, мы получаем пару отрезков S S'. Вычитая S' из S, мы вновь получаем пару отрезков S' D'. Легко видеть, что S' и D' снова являются стороной и диагональю меньшего квадрата. Последовательное взаимное вычитание исходных величин будет постоянно приводить к одной и той же ситуации, поэтому оно никогда не закончится.

Поэтому приходится сделать вывод о том, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы друг с другом.

Вторая реконструкция, принадлежащая Б. Л. ВАН ДЕР ВАРДЕНУ [3] и представленная на рис. 16, основывается на 6 предложении “Начал” ЕВКЛИДА. 5 Двухфутовый квадрат со стороной D и однофутовый квадрат со стороной S наложены здесь друг на друга.

Их разность образует однофутовый гномон. Развернув гномон в прямоугольник, мы получим соотношение дающее геометрическую пропорцию Но если D соизмеримо с S, то и (D + S) соизмеримо с S. Тем самым, начав последовательное вычитание отрезков (D + S) и S, мы на первом же шаге получим пару отрезков S и S', имеющих то же самое отношение, что и исходные. А отсюда можно заключить, что отрезки (D + S) и S {и тем самым D и S} несоизмеримы.

Первая реконструкция устроена весьма естественно. Проблема состоит в том, что она очень сильно усложняется для N 2 (См. построения для случая N = 3, приводимые М. Я. ВЫГОДСКИМ [4]). Вторая же реконструкция выглядит более искусственной. Зато она допускает несложное обобщение на случай произвольного неквадратного N. Что касается реконструкции, предлагаемой в настоящем разделе, то она отличается от рассмотренных выше большей “непосредственностью”.

Возьмём двухфутовый и однофутовый квадраты и наложим их друг на друга (рис.

17). Получившуюся разность сторон обозначим 1. Вычтем 1 из стороны однофутового квадрата, вложив ещё один однофутовый квадрат в противоположный угол двухфутового квадрата. Новую разность обозначим 2. Два однофутовых квадрата в сумме дают двухфутовый квадрат; поэтому их перекрытие равно недопокрытию двухфутовоД. ФАУЛЕР [13] рассматривает обобщения этой реконструкции для отношения M: N.

го квадрата. Тем самым квадрат на 2 равен двум квадратам на 1. Дальнейшее взаимное вычитание 1 и 2 будет воспроизводить исходную ситуацию, и поэтому оно никогда не будет завершено. Тем самым приходится заключить, что стороны двухфутового и однофутового квадратов несоизмеримы по длине.

Применённый приём находится в весьма близком родстве с формулировками предложений 9 и 10 второй книги “Начал”. 9. Если прямая рассечена на равные и на неравные отрезки, то квадраты на неравных отрезках всей прямой вдвое больше квадрата на половине вместе с квадратом на отрезке между сечениями.

10. Если прямая линия рассечена пополам, и к ней по прямой приложена какаялибо другая прямая, то квадрат на всей прямой вместе с приставленной и квадрат на приставленной вдвое больше квадрата на половине и квадрата на половине вместе с приставленной.

Пользуясь предложением 9, мы прикладываем новый меньший квадрат к уже построенному (рис. 18). Пользуясь предложением 10, мы откладываем 1 внутрь меньшего квадрата (рис. 19). Родство между предложениями 9 и 10 может быть подчёркнуто с помощью схемы, изображённой на рис. 20. Оба варианта одной схемы выглядят одинаково (как и в случае предложений 5 и 6), — а каждое из предложений получается соответствующим Приведённые ЕВКЛИДОМ доказательства этих двух предложений основаны на теореме Пифагора.

Скорее всего, они являются вторичными по отношению к первоначальным демонстрациям, основанным исключительно на рассмотрении квадратных частей, упоминаемых в формулировках.

ГЕОРГ ЦЕЙТЕН [9] высказал гипотезу о том, что 9 и 10 предложения использовались при доказательстве соотношения между так называемыми сторонними и диагональными числами (см. [2], [10]). Соотношение между этими числами ЦЕЙТЕН обсуждал алгебраически; и его связь с процедурой антифайресиса оставалась не совсем ясной. Думается, что наши геометрические построения позволяют сделать эту связь гораздо более прозрачной.

расположением квадратов (на правой схеме закрашенные квадраты лежат двойным слоем).

Блок пятый: параллелизм предложений (5, 6) и (9, 10) Поставив вопрос о том, чем обусловлен сильный параллелизм между формулировками предложений в парах (5, 9) (“Если прямая рассечена на равные и на неравные отрезки...”) и (6, 10) (“Если прямая линия рассечена пополам, и к ней по прямой приложена какая-либо другая прямая...”), рассмотрим задачи о нахождении двух чисел по следующим данным:

сумма чисел и их произведение разность чисел и их произведение сумма чисел и сумма их квадратов разность чисел и сумма их квадратов Все четыре задачи решаются одинаковой подстановкой. Пусть A — полусумма искомых чисел, B — их полуразность. Тогда большее из чисел представляется в виде A + B, а меньшее в виде A – B.

В задачах правого столбца полусумма A известна, и нужно определить полуразность B; в задачах левого столбца полуразность B известна, и нужно определить полусумму A. Если решение задачи ведётся на геометрическом чертеже, то в задачах правого столбца отрезок, представляющий сумму чисел, оказывается разделённым на неравные (сами числа) и равные части; во задачах левого столбца отрезок, представляющий большее число, оказывается составленным из меньшего числа и удвоенной полуразности, — что и даёт соответствующие формулировки.

В задачах первой строки произведение двух искомых чисел представляется в виде A – B2. Это преобразование осуществляется на основе предложения 5 для данной суммы и предложения 6 для данной разности. В задачах второй строки сумма квадратов двух искомых чисел представляется в виде 2A2 + 2B2. Это преобразование осуществляется на основе предложения 9 для данной суммы и предложения 10 для данной разности.

Задачи второй строки могут быть истолкованы также геометрически, как задачи об определении катетов прямоугольного треугольника, у которого известна гипотенуза (точнее, её квадрат) и сумма либо разность катетов. Пусть дана сумма либо разность катетов AB и гипотенуза d. Разделим AB пополам в точке С, восстановим перпендикуляр CD = AC = BC и проведём прямые AD и BD. Затем проведём окружность с центром A и радиусом d, пересекающую BD в точке Е. Опустим из E на AB перпендикуляр с основанием F. Нетрудно видеть, что прямоугольный треугольник AEF — искомый (рис.

21; левый вариант — дана сумма катетов, правый вариант — дана разность катетов).

Получившиеся чертежи идентичны тем схемам, на которых ЕВКЛИД доказывает предложения 9 и 10 (надо только опустить из Е перпендикуляр на CD). Однако чисто геометрические задачи в данной их постановке совсем не требуют последующего анализа соотношений между квадратами — ведь они уже решены. Поэтому вопрос о полном устройстве всего комплекса связанных с этими предложениями проблем (геометрическая задача на построение, алгебраическая задача на отыскание двух чисел по их сумме-разности и сумме квадратов, антифайретическое исследование несоизмеримости сторон квадратов и, наконец, алгоритм построения сторонних и диагональных чисел) остаётся на мой взгляд открытым.

В четырёх предыдущих блоках были рассмотрены все предложения II книги Начал с по 14. Нам осталось рассмотреть три первых предложения:

1. Если имеются две прямые, и одна из них рассечена на сколько угодно отрезков, то прямоугольник, заключённый между этими двумя прямыми, равен прямоугольникам, заключённым между нерассечённой прямой и каждым из отрезков.

2. Если прямая линия как-либо рассечена, то прямоугольники, заключённые между целой линией и каждым из отрезков, равны вместе квадрату на целой линии.

3. Если прямая линия как-либо рассечена, то прямоугольник. заключенный между всей прямой и одним из отрезков, равен прямоугольнику, заключённому между отрезками, и квадрату на первом упомянутом отрезке.

С точки зрения “геометрической алгебры”, предложение 1 устанавливает в общем виде дистрибутивность умножения по отношению к сложению, а в предложениях 2 и рассматриваются частные случаи этого закона. При таком подходе оказывается непонятным, зачем нужны частные случаи, когда уже сформулирован общий закон. Однако если посмотреть на эту же ситуацию в логике получения доказательств “сверху вниз”, то окажется, что во всём комплексе вспомогательных предложений с 4 по 10 постоянно проделывались действия, описанные в предложениях 2 и 3. И естественно было предпослать два этих предложения, наряду с предложением 1, всем предложениям следующего уровня.

Система связей между предложениями II книги “Начал” изображена на рис. 22. Квадраты с номерами означают предложения II книги; круги — реконструированные фрагменты теорий несоизмеримости, не входящие во II книгу. Закрашенные односторонние стрелки изображают отношения логического следования; незакрашенные двусторонние стрелки — отношения параллелизма формулировок.

Надо сказать, что порядок изложения II книги свидетельствует о некоторой неряшливости её составителя. Так предложения 4 и 7, которые по смыслу должны идти друг за другом, оказываются разбитыми вставкой предложений 5 и 6. 8 Точно так же тесно примыкающие друг к другу предложения 11 и 14 оказываются разбиты вставкой предложений 12 и 13. В целом остаётся ощущение того, что вся II книга скомпилирована из нескольких математических трактатов. Однако каково было полное содержание этих трактатов, и какой дополнительной обработке был подвергнут собранный материал, сказать сложно.

Д. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ (подстрочные примечания в [5], т. 1, с. 68–70) указывает, что в исходном тексте, из которого предложения 7 и 8 попали в “Начала”, они шли сразу за предложением 4, о чём свидетельствует фраза “вычертим ту же фигуру” в предложении 7 и “вычертим дважды ту же фигуру” в предложении 8: здесь имеется в виду фигура предложения 4.

1. БАШМАКОВА И. Г. Лекции по истории математики в древней Греции // Иcторико-математические исследования. Вып. 11. 1958. С. 225–438.

2. БАШМАКОВА И. Г. Об одной интерпретации Г. Г. Цейтена // Иcторико-математические исследования. Вып. 4(39). 1999. с. 9–12.

3. ВАН ДЕР ВАРДЕН Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959.

4. ВЫГОДСКИЙ М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М.: Наука, 1967.

5. ЕВКЛИД, Начала. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского. В 3 т. М.: Изд-во АН СССР, 1948–51.

6. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. В 3 т. Под ред. А. П.

Юшкевича. М.: Наука, 1970.

7. НЕЙГЕНБАУЭР О. Точные науки в древности. М.: УРСС, 2002.

8. РОДИН А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003.

9. ЦЕЙТЕН Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.–Л.: ОНТИ, 1938.

10. ЩЕТНИКОВ А. И. Атомы Платона, алгоритм Теона и понятие “семенного логоса” // Математическое образование. 1999. №1(8). C. 84–94.

11. ЩЕТНИКОВ А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского “О многоугольных числах” чисто алгебраической? // Иcторико-математические исследования. Вып. 8(43).

2003. С. 267–277.

12. FOWLER D. H. Ratio in early Greek mathematics // Bull. AMS. 1979. N. S., V.1. P. 807–846.

13. FOWLER D. H. Book II of Euclid’s Elements and a pre-Eudoxan theory of ratio // Archive for History of Exact Sciences. 1980–82. V.22. P. 5–36; V.26. P. 193–209.

14. ITARD J. Lex livres arithmetiqes d`Euclide. Paris: Hermann, 1961.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 


Похожие работы:

«МОСКВА ВЕЧЕ 2007 Немировский А.И. Н50 Нить Ариадны. В лабиринтах археологии /А.И. Немировский. — М.: Вече, 2007. - 432 с. ISBN 978-5-9533-1906-5 Эта книга —об античной археологии, удивительной науке, которая вновь и вновь побуждает человечество переписывать многие страницы древней истории. Повество­ вание об увлекательных поисках и поразительных открытиях ученых захватывающе и динамично, как исторический детектив, ведь автор прекрасно знает предмет, которому посвятил десятки лет своей долгой и...»

«VII International congress ON REPRODUCTIVE MEDICINE VII МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНГРЕСС ПО РЕПРОДУКТИВНОЙ МЕДИЦИНЕ Сборник тезисов М., 2013 – 497 с. ФГБУ Научный центр акушерства, гинекологии и перинатологии имени академика В.И. Кулакова Министерство здравоохранения Российской Федерации Общество по репродуктивной медицине и хирургии Российская ассоциация эндометриоза Кафедра репродуктивной медицины и хирургии Московского Государственного медико-стоматологического университета Конгресс-оператор МЕДИ...»

«Утверждаю Декан педагогического факультета Т.В. Бабушкина 2010 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине СД.Ф.02.02 Сакральные тексты: Библиистика (Священное Писание Нового Завета) Для студентов 1,2 курса очной формы обучения 1,2 курса заочной формы обучения (5 лет) 1 курса заочной формы обучения (3 года) 031900.62 Теология Обсуждено на заседании кафедры Составитель: доц. А.А. Злобин 31.08. 2010 г. Протокол № 1 Зав. кафедрой _ С.Е. Горшкова Тверь 2010 1 I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1. Цель...»

«ДРЕВНИЙ, ДРЕВНИЙ АЗЕРБАЙДЖАН Сейран Велиев 1|2|3|4|5|6| Стр.| ОГЛАВЛЕНИЕ Фамиль Мехти. Предисловие От автора Наши предки – каспии Таинственный Баку Почему Апшерон называется Апшероном? Геродот и Баку Бакинская Атлантида Тайны Девичьей башни Зороастрийцы жители Баку? Римляне в Баку Где находился древний Баку? Нардаран. Что за названием? Башни Апшерона Дворец загадок Птолемей о Каспийском море и Прикаспийских странах Ошибки Птолемея Птолемей и проблемы Арала Птолемей о Кавказской Албании Птолемей...»

«ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена История и философия науки по специальности 08.00.01 Экономическая теория Кафедра философии, культурологии и этнологии Дисциплина: История и философия науки Руководитель дисциплины: д-р филос. наук, профессор Л.А. Волова Контактный телефон руководителя дисциплины: +7 879 3 400 158 E-mail руководителя дисциплины: filosofpglu@mail.ru Пятигорск, 2012 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Настоящая Программа-минимум кандидатского экзамена История и философия науки ориентирована на...»

«Т.А. Круглова В.К. Яцунский и И.Д. Ковальченко: истоки научного сотрудничества Многие выдающиеся ученые, осознавая ответственность пе­ ред будущим науки, заботятся о подготовке достойной смены. Успех в этом деле зависит от разнообразных факторов, среди которых следует назвать творческую одаренность ученика. Если говорить об академике И.Д. Ковальченко (1923—1995), то он был, без сомнения, талантливым студентом. Иван Дмит­ риевич поступил на исторический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1947...»

«Энтони Баззард и Чарльз Хантинг Издатель А. Долбин 2003 Перевод с английского Долбин А. В. Долбина В. В. Обложка и верстка Долбин А. В. Баззард Э. Ф., Хантинг Ч. Ф. Учение о Троице. Самообман христианства / Пер. с англ. — Ров но: Издатель А. Долбин, 2003, — 355 с. — Библиогр. 163 назв. Эта книга посвящена исследованию фундаментальной доктрины христианства, учения о статусе Христа и Единого Бога Израиля. Авто ры поставили перед собой цель объективно рассмотреть библейские и исторические...»

«ГЛАВА ПЕРВАЯ Описывай, не мудрствуя лукаво, Всё то, чему свидетель в жизни будешь А.С. Пушкин 1 Как потревоженный муравейник мечутся в тревожной растерянности мирные донские станицы и хутора. От Хопра и Бузулука, от Медведицы и Иловли, от Чира и Донца, от Белой Калитвы и Быстрой до Сала и Маныча и дальше, до низовьев Тихого Дона испуганно всколыхнулась вековая, безмятежная донская тишь. Со времён Булавина ещё не переживали такого жуткого времени ничем и никем не тревожимые донские курени. Ни...»

«ИНСТИТУТ УРУСВАТИ — ФОРПОСТ РУССКОЙ НАУКИ В АЗИИ Перешагнуть порог, чтобы оказаться в Центральной Азии Строка, вынесенная в название предисловия к публикации матери алов об Институте Урусвати, взята из статьи Ю.Н.Рериха. Долина Кулу в Индии, где и расположен (сейчас сохранилось только здание) Институт Гималайских исследований Урусвати, действительно явля ется порогом, за которым лежит путь в Тибет, Гоби, Монголию и бескрайнюю Сибирь. Эта долина, овеянная легендами и жизнью ее древних героев —...»

«Кирюшин Юрий Федорович Биобиблиографический указатель Барнаул 2010 КРАТКИЙ ОЧЕРК ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Юрий Федорович Кирюшин родился 13 января 1946 г. в Новосибирской области в Бердске (в так называемом старом Бердске, сейчас затопленном водохранилищем). В 1953 г. Юрий Федорович начал учиться в школе поселка Шлюз, но 11-й класс он уже заканчивал в школе № 125 в Академгородке г. Новосибирска. Свою трудовую деятельность Юрий Федорович начал еще школьником в качестве сезонного рабочего Сибирского...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.