WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Введение Интерпретация содержания II книги “Начал” ЕВКЛИДА давно является предметом историко-научных дискуссий. Некоторые предложения этой книги могут быть истолкованы ...»

-- [ Страница 2 ] --

Эти задачи были известны ещё в древнем Вавилоне (см. [3], [7]). Их стандартное решение основывается на том, что два неизвестных заменяются одним (в первой задаче — полуразностью искомых чисел, во второй задаче — их полусуммой), а затем применяется формула, превращающая произведение разности и суммы двух величин в разность квадратов этих величин:

Сегодня эту формулу доказывают алгебраически — раскрытием скобок. Но в древних математических культурах, где не имелось развитой операторной алгебраической символики, она могла доказываться лишь геометрически.

Явный параллелизм геометрических и алгебраических задач приводит к дискуссии о том, какая постановка задач была первичной в древнегреческой математике (cм. статью С. УНГУРУ [20], c. 94–95, где сопоставляются подходы Б. Л. ВАН ДЕР ВАРДЕНА [3], считавшего предложения 5 и 6 заготовками для решения “алгебраических” задач на приложение площадей, и А. САБО [18], настаивавшего на том, что эти два предложения служили полуфабрикатами для 14 и 11 предложений, имеющих чисто геометрический характер.). Однако никаких свидетельств и доводов, придающих окончательный перевес одной из двух возможных точек зрения, не имеется. Так что мы вполне можем считать обе задачи — геометрическую и арифметическую — автономными, хотя и изоморфными друг другу. (Связь предложений 5 и 6 с теорией конических сечений [17] вряд ли была исходной для их формулирования. Возможную связь этих предложений с доказательствами несоизмеримости квадратных корней обсуждалась в работах [3], [13];

об этом речь пойдёт ниже.) Блок третий: Феодорово доказательство несоизмеримости N : ЕВКЛИД формулирует предложение 8 второй книги Начал следующим образом:

8. Если прямая линия как-либо рассечена, то учетверённый прямоугольник, заключённый между всей прямой и одним из отрезков, вместе с квадратом на оставшемся отрезке равен квадрату, надстроенному на всей прямой и упомянутом отрезке, как на одной прямой.

На рис. 12 прямая линия AB рассечена в точке C и продолжена на BD = CB. Квадрат на AD состоит из четырёх квадратов на CB, четырёх прямоугольников между AC и CB, и одного квадрата на AC. Объединив квадраты и прямоугольники в пары, получим четыре прямоугольника между AB и CB, что доказывает теорему. Ещё один вариант её доказательства приведён на рис. 13. Формулировку здесь придётся несколько усложнить, — зато демонстрация окажется более простой.

Предложение 8 не используется ЕВКЛИДОМ ни в одном из последующих предложений “Начал”. Однако оно вряд ли служило простым упражнением на перекладывание частей чертежа. Поэтому естественно задаться вопросом, зачем оно было кем-то сформулировано и доказано.

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим фрагмент 147d–148b диалога ПЛАТОНА “Теэтет”. В диалоге участвуют СОКРАТ, юноша ТЕЭТЕТ и известный геометр ФЕОДОР КИРЕНСКИЙ. Интересующий нас отрывок начинается с реплики ТЕЭТЕТА:

Вот ФЕОДОР начертил нам нечто о сторонах квадратов ( ) и показал, что стороны трехфутового и пятифутового квадратов по длине несоизмеримы со стороной однофутового квадрата. Так, перебирая квадраты один за другим, он дошел до семнадцатифутового. Тут его что-то остановило.

Из этой реплики следует, что метод ФЕОДОРА не давал единого доказательства для всех неквадратных чисел сразу (квадраты приходилось “перебирать”), и он наталкивался на какое-то препятствие при N = 17. Реконструкция этого метода, предложенная ЖАНОМ ИТАРОМ ([16], c. 33–39) основана на теоретической арифметике чётных и нечётных чисел (теории делимости на 2), соответствуя характеру античной арифметики времён ПЛАТОНА. 2 Замечательно, что восстановленный ИТАРОМ метод впервые не работает именно для N = 17.

ФЕОДОР сразу же начинает свою демонстрацию со случая N = 3, потому что доказательство для N = 2 (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата) было получено ранее пифагорейцами. Это доказательство изложено в Приложении к X книге Начал ЕВКЛИДА; его детали упоминаются АРИСТОТЕЛЕМ в “Первой аналитике” (41a27–33).

Возьмём два квадрата, один из которых в два раза больше другого по площади. Предположим, что стороны этих квадратов соизмеримы между собой; пусть их наибольшая общая мера укладывается b раз в стороне двухфутового квадрата и a раз в стороне однофутового квадрата. Числа a и b не могут быть оба чётными (тогда общая мера не будет наибольшей). Имеет место соотношение b2 = 2a2, и тем самым b2 b будут чётными. Положив b = 2c, получим 2с2 = а2, но тогда a2 a будут чётными, что противоречит исходному требованию.

Аналогичные рассуждения можно проделать и для прочих чётных неквадратных N.

При этом N может либо быть чётно-нечётным (то есть таким чётным числом, половинки которого суть нечётные числа), 3 либо допускать двойное деление пополам (и быть либо нечётно-чётным, либо чётно-чётным).

Пусть N = 2M, где M нечётно. Тогда b2 = 2Ma2, и тем самым b2 b будут чётными.

Положив b = 2c, получим 2с2 = Mа2, но тогда Ma2 a2 a будут чётными. ПолучиПЛАТОН в своих диалогах неоднократно определял арифметику как «учение о чётных и нечётных числах, рассматриваемых безотносительно к их величине» (см., к примеру, “Горгий” 451bc). Фрагмент этого учения содержится в предложениях 21–36 IX книги “Начал”, где излагаются теоремы о суммах и произведениях чётных и нечётных чисел, а затем доказывается теорема о совершенных числах.

См. схолии к 7–10 определениям VII книги “Начал”: “Пифагорейцы делили числа на чётные и нечётные; чётные же — на чётно-чётные, чётно-нечётные и нечётно-чётные. Чётно-чётным они называли число, которое делится пополам вплоть до единицы, чётно-нечётным — то, которое сразу же после первой дихотомии оказывается далее неделимым, например 10, разделенное на 5 и 5, а нечётно-чётным — то, которое допускает большее число делений, например 12”. Ср. НИКОМАХ ГЕРАЗСКИЙ, “Введение в арифметику” (книга I, глава 7); ОЛИМПИОДОР, “Комментарий к Горгию” (4. 8). У самого ЕВКЛИДА этим же терминам придано несколько иное значение.

лось, что оба числа b и a будут чётными, что противоречит требованию, чтобы соответствующая этим числам общая мера была наибольшей.

Пусть теперь N = 4N'. Тогда b2 = 4N'a2, и тем самым b2 b будут чётными. Положив b = 2c, получим с2 = N'а2. Тем самым вопрос свёлся к исследованию соизмеримости сторон N'-футового и однофутового квадратов. Если N' делится на 4, то будет сделано ещё одно понижение N' = 4N'', и т. д. до тех пор, пока делимость на 4 не прекратится;

если N' является чётно-нечётным, мы приходим к случаю, уже рассмотренному выше.

Остаётся случай, когда одно из чисел в последовательности N, N', N'', и т. д. является нечётным.

Доказательство для этого последнего случая основано на следующей теореме: всякое нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на четыре гетеромекных числа, и тем самым на восемь треугольных чисел (рис. 14). Возьмём два квадрата, один из которых в N раз больше другого (где N — нечётное неквадратное число). Предположим, что их стороны соизмеримы; пусть их наибольшая общая мера укладывается b раз в стороне трёхфутового квадрата и a раз в стороне однофутового квадрата. Числа a a2 b2 b имеют одинаковую чётность. Но a и b не могут быть оба чётными: ведь тогда соответствующая общая мера сторон не будет наибольшей. Поэтому a и b должны быть оба нечётными. Но тогда можно положить a2 = 8 + 1, b2 = 8' + 1 (где и ' — некоторые треугольные числа), что даёт соотношение Если N = 3, то тогда (1) принимает вид Гетеромекными назывались прямоугольные числа, стороны которых разнятся на единицу. Поскольку гетеромекное число образуется произведением чётного и нечётного сомножителей, само оно является чётным. Его половинки могут быть представлены в виде треугольных чисел, получаемых суммированием последовательных натуральных чисел, начиная с единицы. Указанную теорему упоминают ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ в Арифметике (книга IV, задача 38) и ЯМВЛИХ во Введении в Никомахову арифметику (90. 18–19) Но последнее соотношение абсурдно, поскольку в нём чётное число равно нечётному.

Поэтому мы заключаем, что стороны однофутового и трёхфутового квадратов несоизмеримы между собой.

Аналогичные абсурдные соотношения получаются и для N = 5, 7, 11, 13, 15. В случае же N = 17 соотношение (1) принимает вид Но никакого противоречия здесь не содержится, так как треугольные числа могут быть и чётными, и нечётными.

Реконструкция Ж ИТАРА существенно углубляет наши представления о ранней греческой математике. Но всё же она выглядит “слишком алгебраической”, будучи основанной на преобразовании не чертежа, но формулы (1). Схожи с ней в этом отношении и другие варианты этой реконструкции, предложенные впоследствии В. КНОРРОМ [15] и Р. Л. МАККЭЙБОМ [16].

Ниже я модифицирую реконструкцию ИТАРА на основе предложения 8, сделав её “более геометрической”. Все частичные доказательства для конкретных N будут вестись на чертеже, изображённом на рис. 12.

Вновь рассмотрим случай N = 3, начиная с того пункта рассуждения, где мы пришли к выводу, что оба числа a и b должны быть нечётными. Если так, их разность будет чётным числом. Пусть квадрат на AD равен трём квадратам на AC. Тогда их разностьгномон будет в два раза больше квадрата на AC. Но эта разность делится на четыре одинаковых продолговатых числа (поскольку общая мера сторон укладывается в отрезке CD чётное число раз). Получается, что нечётный квадрат на AC равен удвоенному продолговатому числу, что абсурдно. Тем самым следует заключить, что стороны исходных квадратов несоизмеримы.

Покажем теперь на той же самой схеме, как строится рассуждение при исследовании 17-футового квадрата. Оба искомых числа a и b опять должны быть нечётными; гномон будет в 16 раз больше меньшего квадрата. Гномон имеет чётную ширину CD и делится на четыре одинаковых продолговатых числа со сторонами AB и CB. Эти стороны имеют противоположную чётность, поскольку их разность AC является нечётной. Поэтому продолговатые числа будут чётными, и тем самым гномон будет делиться на восемь равных частей. Получается, что удвоенный меньший квадрат (чётное число) равен одной восьмой части гномона. Но ничто не запрещает этой части также быть чётной.

Противоречия не возникает. Стало быть, для числа 17 “метод чётных и нечётных” не работает.

Несоизмеримость двух величин доказывалась греческими математиками с помощью двух основных групп методов. Методы первой группы основывались на специальных (чётные и нечётные числа) или общих теориях делимости. В методах второй группы использовалась процедура поиска наибольшей общей меры двух величин путём их последовательного взаимного вычитания.

Пусть даны две величины А B. Будем вычитать мерку B из величины A до тех пор, пока не получится остаток C B. Будем затем вычитать мерку C из величины B до тех пор, пока не получится остаток D C. Если на каком-нибудь шаге мерка будет отнята без остатка, то эта последняя мерка будет наибольшей общей мерой двух исходных величин. Но возможны и такие ситуации, когда шаги последовательного вычитания будут повторяться, не прекращаясь. А именно (“Начала” X, 2), Если для двух неравных величин при постоянном взаимном вычитании меньшей из большей остаток никогда не будет измерять своего предшествующего, то величины будут несоизмеримы.

Историками математики были предложены две основные реконструкции антифайретического доказательства несоизмеримости сторон A и B двух квадратов, один из которых в два раза больше другого по площади (или, что то же самое, о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 


Похожие работы:

«1 Кондрашова Людмила Ивановна, доктор экономических наук, Институт Дальнего Востока РАН( Kondrashova L.) - Добрый день, Людмила Ивановна! Спасибо, что согласились побеседовать. - Добрый день! - В детстве все мы мечтаем кем-то стать. Наши детские мечты подчас очень точно отражают эпоху, в которой мы растём и взрослеем. Ваше детство и отрочество пришлось на очень тяжёлые для нашей страны годы. Расскажите, пожалуйста, как Вы и Ваша семья их пережили, о чём мечталось Вам тогда? Сбылись ли мечты? -...»

«Институт изучения и исследования культуры ИРИ 1371 (1993) Культурный центр Посольства ИРИ в Туркменистане Ашгабат 2003 Мерв-наме 2 МЕРВ-НАМЕ (Книга о Мерве) Перевод с персидского: к.ф.н. Г.Курбанова Институт изучения и исследования культуры ИРИ 1371 (1993) МЕРВ-НАМЕ (Книга о Мерве) Издатель: Культурный центр Посольства ИРИ в Туркменистане Техредактор и облошка : Г. Азмун Издание первое-2003год Культурный центр Посольства ИРИ в Туркменистане Ашгабат, ул. Магтумкули 100. Tel:39-07-80, 39-07-82...»

«Москва ГУМАНИТАРНЫЙ l· _ Ц Е Н ТР/- -ВЛАЛО С 2008 УДК 355.484(470+571)(092) ББК 63.3(2)-68 Р82 Рубцов Ю.В. Р82 Генерал-фельдмарш алы в истории России /Ю.В. Рубцов. — М. : Гуманитар, изд. центр ВЛАДОС, 2008. — 304 с. : ил. ISBN 978-5-691-01538-0. Агентство CIP РГБ. В книге даны ж и зн еоп и сан и я всех генерал-ф ельдм арш алов Российской империи, чьи боевые и нравственны е качества стали легендой, чьи сраж ен ия вош ли в анналы военного искусства, чьи политические победы при вы сочайш ем дворе...»

«Бидермайер и русская живопись первой половины XIX века Специальность: 17.00.04 изобразительное, декоративно-прикладное искусство и архитектура АВТОРЕФРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата искусствоведения Москва, 2011 Работа выполнена на кафедре теории и истории изобразительного искусства Московского государственного академического художественного института имени В.И. Сурикова Научный руководитель: доктор искусствоведения, профессор Киселев Михаил Федорович Официальные...»

«Уважаемый Лидер Орифлэйм! Перед вами – ежекаталожное онлайн-издание Лидера Орифлэйм под названием Ориентир. Как известно, наш бизнес – бизнес информации и коммуникации. И для его успешного функционирования Лидерам ежедневно нужно работать с множеством разносторонней информации, которую впоследствии нужно коммуницировать Консультантам: это и самые продаваемые продукты, способы их успешной рекомендации, и полная информация обо всех акциях и спецпредложениях компании. Немаловажную роль играет...»

«ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ (для аспирантов и преподавателей психологических специальностей) Материалы к учебному курсу1 ВВЕДЕНИЕ В РУБРИКУ Как известно, с 2005/6 учебного года в систему аспирантского образования введен новый учебный курс История и философии науки2. По замыслу инициаторов этого нововведения, такой курс призван способствовать росту профессиональной компетенции аспиранта и повышению продуктивности его научно-исследовательской работы. С этой целью предусматривается, что он должен...»

«ОТ АВТОРА Настоящая книга не претендует на исследовательский характер. Это прежде всего курс лекций, читанных в Библейско-богословском институте святого апостола Андрея в 1997 г. Цель его - дать слушателям самое элементарное представление о библейской археологии, о целенаправленном изучении памятников, связанных со Священным Писанием, прежде всего с Ветхим Заветом, начиная с корней его мифологии и вплоть до исторического, событийного, культурного его контекста. При этом необходимо иметь в виду...»

«ПОЛНОТА ВРЕМЕНИ Зарождение христианства в Римской империи 2009 Когда пришла полнота времени, Бог послал Сына Своего (Единородного), Который родился от жены, подчинился закону, чтобы искупить подзаконных, дабы нам получить усыновление (Гал.4: 4-5). * * * Всё, о чём повествуется в этой книге случилось более двух тысяч лет назад в одной из отдалённых провинций Римской империи, население которой по своим религиозным воззрениям резко и странно отличалось от всех остальных народов. О том далёком...»

«ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 08.00.01 – Экономическая теория по экономическим наукам ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Согласно паспорту специальности 08.00.01 программа кандидатского экзамена состоит из четырех обязательных разделов: общей экономической теории (политическая экономия, микроэкономическая теория, макроэкономическая теория, институциональная и эволюционная экономическая теория), экономическая история, история экономической мысли, и методология экономической науки....»

«Армяноазербайджанский конфликт: ИСТОРИЯ, ПРАВО, ПОСРЕДНИЧЕСТВО 2-е издание, переработанное и дополненное БАКУ – 2008 УДК 327.5 ББК 63.3(5Азе)64 М22 Авторы: Ильгар Махал оглы Маммадов кандидат исторических наук Тофик Фуад оглы Мусаев магистр права Эссекского университета Общая редакция: Вилаят Мухтар оглы Гулиев доктор филологических наук, профессор Рецензенты: Лятиф Гусейн оглы Гусейнов доктор юридических наук, профессор Фарида Джафар кызы Мамедова доктор исторических наук член-корр....»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.