WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«Введение Интерпретация содержания II книги “Начал” ЕВКЛИДА давно является предметом историко-научных дискуссий. Некоторые предложения этой книги могут быть истолкованы ...»

-- [ Страница 1 ] --

Вторая книга “Начал” Евклида:

её математическое содержание и структура

А. И. ЩЕТНИКОВ

Введение

Интерпретация содержания II книги “Начал” ЕВКЛИДА давно является предметом историко-научных дискуссий. Некоторые предложения этой книги могут быть истолкованы

как геометрические иллюстрации к формулам сокращённого умножения или к приёмам

решения квадратных уравнений. По этой причине они были отнесены ГЕОРГОМ ЦЕЙТЕНОМ [9] и ПОЛЕМ ТАННЕРИ [19] к так называемой геометрической алгебре древних. Для работ историков математики этого направления характерна тенденция не только переводить рассуждения древнегреческих математиков с языка геометрических чертежей на язык алгебраических формул с целью “улучшения понимания”, но также и вычитывать в древнегреческой математике некий изначальный алгебраический подтекст (cм. Б. Л.

ВАН ДЕР ВАРДЕН [3]; О. НЕЙГЕНБАУЭР [7]; в отечественной литературе этот подход наиболее ярко представлен в лекциях И. Г. БАШМАКОВОЙ [1], а также в “античных” главах “Истории математики” [6]).

Альтернативный подход к интерпретации II книги “Начал” развивается на протяжении последних тридцати лет, — особенно после того, как САБЕТАЙ УНГУРУ в полемической статье “О необходимости переписать историю греческой математики” [20] призвал историков математики отказаться от иллюзии понимания, возникающей за счёт перелицовывания античных математических текстов на современный лад, и начать понимать эти тексты через освоение тех мыслительных средств, с помощью которых греческие математики получали свои результаты. В настоящей статье я намереваюсь дать общий обзор II книги “Начал” ЕВКЛИДА.

Этот обзор производится “сверху вниз”: в основном я буду рассматривать, как сложные геометрические теоремы разлагаются в процессе их доказательства на более простые элементы. Если же для некоторых элементарных предложений II книги не найдётся сложных теорем, в доказательстве которых они используются, то тем самым я буду ставить вопрос о реконструкции исходных теорем, в ходе доказательства которых эти простые элементы были выделены.

В качестве примера такого подхода см. мою статью [11], где реконструируются рабочие средства арифметико-геометрического характера, с помощью которых ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ мог установить теоремы, изложенные в его книге “О многоугольных числах”. Заметим здесь, что значительная часть этих средств оказывается связанной с теоремами II книги “Начал” Евклида, анализу которых посвящена настоящая статья.

–2– Блок первый: обобщение теоремы Пифагора После того, как ПИФАГОРОМ или его учениками была доказана теорема о том, что в прямоугольном треугольнике квадрат на гипотенузе равновелик вместе взятым квадратам на катетах, естественно было попытаться обобщить эту теорему на случай непрямоугольных треугольников. Ясно, что квадрат стороны, лежащей против тупого угла, будет больше суммы квадратов двух других сторон, а квадрат стороны, лежащей против острого угла, будет меньше суммы квадратов двух других сторон. Возникает вопрос, на сколько он будет больше или меньше этой суммы.

Пусть роль гипотенузы играет сторона, лежащая против тупого угла (рис. 1). Достроим тупоугольный треугольник ABC до прямоугольного треугольника ABD. Квадрат на AB равен квадратам на AD, DB. Разрежем квадрат на DB на четыре части так, как это показано на чертеже. Теперь квадрат на AB равен квадратам на AD, DC, CB и двум прямоугольникам между CD и CB. Но квадраты на AD, DC дают в сумме квадрат на AC.

Получается, что квадрат на AB равен квадратам на AC, CB и двум прямоугольникам между CD и CB.

A A D B B C C D Рис. 1 Рис. Пусть теперь роль гипотенузы играет сторона, лежащая против острого угла (рис. 2).

Опустим из A перпендикуляр AD на CB. Квадрат на AC равен сумме квадратов на AD, CD. Тем самым квадраты на AC, СB равны квадратам на AD, CD, СB. Но квадраты на CD и CB, наложенные друг на друга, равны квадрату на DB и двум прямоугольникам между CD и СB. Получилось, что квадраты на AC, СB равны квадратам на AD, DB и двум прямоугольникам между CD и CB. Но квадраты на AD, DB дают в сумме квадрат на AB. Тем самым квадраты на AC, СB равны квадрату на AB и двум прямоугольникам между CD и CB.

–3– Рис. 3 Рис. Во II книге “Начал” доказанные теоремы содержатся в предложениях 12 и 13 (их оригинальные формулировки приведены ниже). При этом вспомогательные построения с разрезанием квадрата вынесены в отдельные предложения 4 и 7 (я ещё раз изобразил их схематически на рис. 3 и 4). По этой причине на чертежах к предложениям 12 и вспомогательные построения не приводятся.

4. Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды прямоугольником, заключённым между отрезками.

7. Если прямая линия как-либо рассечена, то вместе взятые квадрат на всей и квадрат на одном из отрезков равны дважды взятому прямоугольнику, заключенному между всей прямой и упомянутым отрезком, и квадрату на другом отрезке.

12. В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

13. В остроугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей острый угол, меньше квадратов на заключающих острый угол сторонах на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при остром угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром внутрь отрезком при остром угле.

Если угодно, в можно видеть аналог формул сокращённого умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, О том, как предложения 4 и 7 применялись при доказательстве теорем “арифметики фигурных чисел”, см. мою статью [11]. Здесь же я хочу отметить, что эти предложения значимы и вне арифметико-алгебраического контекста — а именно, как фрагменты рассмотренных выше геометрических доказательств предложений 12 и 13.

Блок второй: квадрирование прямоугольника, Одна из важных задач геометрии пифагорейцев состояла в преобразовании произвольного многоугольника в равновеликий квадрат (cм. [8]). Ряд предложений I книги “Начал” позволяет превратить всякий многоугольник в равновеликий прямоугольник. Что касается квадрирования прямоугольника, то первоначальное решение этой задачи могло основываться на следующих фактах: (1) высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, является средним геометрическим между отрезками гипотенузы (это следует из подобия треугольников), а потому квадрат высоты равен прямоугольнику, сторонами которого являются отрезки гипотенузы; (2) вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Тем самым квадрирование прямоугольника ABCD осуществлялось так (рис. 5): сторона AB продолжалась на отрезок BE = BC; получившийся отрезок AE делился пополам в точке O; на AE как на диаметре строился полукруг AFE; к AE восстанавливался перпендикуляр BF до пересечения с этим полукругом в F. Отрезок BF является стороной квадрата, равновеликого прямоугольнику ABCD.

Представленное решение основывается на понятии подобия и тем самым на общей теории пропорций. Чтобы избежать сложностей, связанных с применением этой теории к несоизмеримым величинам, это решение можно заменить другим, основывающемся только на равновеликости фигур. На стороне OE строится квадрат OH, и отрезки BC и DC продолжаются до пересечения со сторонами этого квадрата в K и I (рис. 6). Прямоугольник AJ равен прямоугольнику BH; поэтому прямоугольник AC равен гномону OEHICJ. Тем самым прямоугольник AC равен разности квадратов OH и IJ. Задача свелась к построению квадрата, равного разности двух квадратов; оно же выполняется с помощью теоремы Пифагора.

G I H G I H

Это же построение может быть выполнено несколько иначе (рис. 7). Отрезок BE = BC откладывается внутрь AB, а затем AE делится пополам в точке O. Прямоугольник AJ равен прямоугольнику EI; поэтому прямоугольник AC равен гномону OBHIKJ и тем самым равен разности квадратов OH и IJ.

Во II книге “Начал” рассмотренная задача решается в предложении 14. Вспомогательные построения, произведённые на рис. 6 и 7 ниже прямой AB, описываются в предложениях 5 и 6:

5. Если прямая линия рассечена на равные и неравные отрезки, то прямоугольник, заключённый между неравными отрезками всей прямой, вместе с квадратом на отрезке между сечениями равен квадрату на половине.

6. Если прямая линия рассечена пополам, и к ней по прямой приложена какая-либо другая прямая, то прямоугольник, заключённый между всей прямой с приложенной и самой приложенной, вместе с квадратом на половине равен квадрату на прямой, составленной из половины, и приложенной.

В предложении 14 ЕВКЛИД решает задачу о квадрировании прямоугольника, основываясь на предложении 5. Что касается предложения 6, то оно используется в предложении 11, где ставится и решается задача о делении отрезка в среднем и крайнем отношении. Исходно эта задача могла быть поставлена как составная часть задачи о построении правильного пятиугольника.

На рис. 8 треугольники ABF и CEA подобны; поэтому AC : AE = AF : FB. Но FB = FC и AE = ED = AF, поэтому AC : AF = AF : FC. Если перемножить средние и крайние члены этой пропорции, то будет AF2 = AC FC. О построении такого сечения как раз и идёт речь в предложении 11:

11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключённый между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Поиск решения начинается с предположения о том, что соответствующие квадрат AD и прямоугольник FH построены (рис. 9). Заметим также, что весь прямоугольник BG будет равновелик квадрату AH. Разделим AE пополам в I и преобразуем прямоугольник BG в равный ему гномон LDKIAM (рис. 10). Квадрат LK равен сумме квадрата MI и гномона; но гномон равен прямоугольнику BG и тем самым равен квадрату AH;

поэтому квадрат LK равен сумме квадратов MI и AH. Тем самым его сторона DK равна гипотенузе CI прямоугольного треугольника ACI.

Родство между предложениями 5 и 6 может быть подчёркнуто с помощью схемы, изображённой на рис. 11. Здесь оба варианта одной схемы устроены совершенно одинаково, — а каждое из предложений получается одним из двух возможных положений прямоугольника, преобразуемого в гномон.

Если угодно, в предложениях 5 и 6 можно видеть аналог формул сокращённого умножения для разности квадратов. Впрочем, формула в обоих случаях будет одной и той же, а предложений всё таки два — хотя они несомненно родственны друг другу.

Предложения 5 и 6 допускают ещё одно толкование. А именно, им соответствуют следующие задачи:

• Рассечь данную прямую линию так, чтобы прямоугольник, заключённый между частями, был равен данному квадрату.

• Данную прямую линию продолжить так, чтобы прямоугольник, заключённый между всей прямой с приложенной линией и самой приложенной линией, был равен данному квадрату.

Первая задача называется также задачей о приложении площади с недостатком, а вторая — задачей о приложении площади с избытком. На языке алгебры аналогичные задачи формулируются так:

• Известна сумма двух чисел и их произведение; найти сами числа.

• Известна разность двух чисел и их произведение; найти сами числа.



Pages:     || 2 | 3 | 4 |
 


Похожие работы:

«Белгородская государственная универсальная От составителя научная библиотека На 2012 год в России выпадает немало юбилейных исторических дат: 200-летие победы в Отечественной войне 1812 года, 770 лет победы воинов Отдел абонемента князя Александра Невского над крестоносцами на Чудском озере (18 апреля 1242 г.), 400 лет изгнания польских интервентов из Москвы ополчением Центр чтения под руководством Минина и Пожарского (7 ноября 1612 г.), 150-летний юбилей великого реформатора П. А. Столыпина (2...»

«Р.К. ЛОХНЕР \J ПОСnЕДНИИ ДЖЕНtnЬМЕН воины Сканировал и создал книгу - vmakhankov УДК 94(100)1914/19 ББК 63.3(0)6 Л68 Серия основана в году 1998 R.к. Lochner ТНЕ LASТ GENTLEMAN OF W AR Перевод с английского М. Жуковой Серийное оформление А. Кудрявцева Печатается с разрешения Naval Institute Press и литературного агентства Nova Littera Ltd. Подписано в печать 24.05.04. Формат 84х 1081/. 23,52. Тираж 5000 ЭЮ. Усл. печ. л. Заказ N~ 1583. Оригинал-макет подготовлен !lЗдательством Северо-Запад Пресс...»

«Слава тебе, Господи, что мы – казаки! Библиографический указатель Выпуск 1 Волгоград, 2013 ББК 91.9:63 С 47 Составитель Урусова Марина Николаевна Редактор Зоткина Вера Юрьевна Ответственный за выпуск Гришина Людмила Вениаминовна Слава Тебе, Господи, что мы – казаки! : краевед. библиогр. С 47 указатель. Вып. 1 / [сост. М. Н. Урусова ; ред. В. Ю. Зоткина] ; ВМУК ЦСГБ, Библиотека-филиал № 17 им. М. А. Шолохова. – Волгоград, 2013. – 82 с. : ил. – Библиогр.: 464 назв. Издание включает справочную...»

«Том 19 ТОЛЕРАНТНОСТЬ: ПРОБЛЕМЫ, ДИСКУССИИ И ВОЗМОЖНОСТИ КОНЦЕПТУАЛИЗАЦИИ Материалы международных научных семинаров 16–17 ноября 2011 года г. Владимир Владимир 2011 [2] УДК 2(06) ББК 86я431 Т52 Редакционная коллегия: канд.филос.наук, доцент Н.М. Маркова (ответственный редактор) д-р филос. наук, профессор Е. И. Аринин д-р филос. наук, профессор А.С. Тимощук И. Е. Викулов (отв. секретарь) Издание осуществлено при финансовой поддержке РГНФ, Проект № 11-33-00109а2 В сборник...»

«2   ПРОГРАММА государственного экзамена итоговой государственной аттестации по ОП магистратуры Теория и история права и государства; история учений о праве и государстве Содержание настоящей программы соответствует профилю магистерской подготовки Теория и история права и государства; история учений о праве и государстве и включает в себя разделы, соответствующие трем отраслям знаний в совокупности образующих профиль подготовки - теория права и государства, история учений о праве и государстве,...»

«Райан В.Ф. Баня в полночь: Исторический обзор магии и гаданий в России: Пер. с англ. М.: Новое литературное обозрение, 2006. 720 с.; ил. Что можно найти в бане, отправившись туда в полночь?1 Книга В.Ф. Райана, подготовленная в лондонском Институте Варбурга2, была опубликована впервые в 1999 г.3 За семь лет, прошедшие после появления английского издания, книга не успела устареть и стать памятником. Она сохранила свой научный интерес и даже актуальность. Впрочем, наука о народной культуре и...»

«УДК 379.8 ТУРИЗМ КАК ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ В ИСТОРИИ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ А. И. Кусерова, аспирантка кафедры экологии и природопользования ГОУВПО МГУ им. Н.П. Огарева E-mail: anna-kuserova@yandex.ru В. П. Ковшов, кандидат географических наук профессор кафедры экологии и природопользования ГОУВПО МГУ им. Н.П. Огарева, E-mail: kovshovs@frontl.ru Рассматривается история исследования туризма как научной дисциплины за рубежом и в России. Представлена периодизация истории изучения туризма. Приведены...»

«Главы из книги диакона Андрея Кураева Почему православные такие?. К чему приковано наше зрение, что мы переживаем острее: могущество нашего врага или силу нашего Господа? Вера в порчу и боязнь ее есть именно привязанность взгляда ко злу. Но если в поле нашего зрения не Бог,— значит, мы сами находимся в состоянии отпадения от Бога. И значит, тем беззащитнее мы пред стихиями падшего мира. Следовательно, чем более человек интересуется порчей и сглазами, чем больше боится их — тем и в самом деле он...»

«Александр Дюков Пакт Молотова-Риббентропа в вопросах и ответах Москва 2009 УДК 94(100)”654” ББК 63.3(0)62 Д 95 Д 95 Дюков А.Р. Пакт Молотова-Риббентропа в вопросах и ответах / Фонд Историческая память. М., 2009. 176 с. Книга, которую Вы держите в руках – научно-популярная работа, в которой даны аргументированные ответы на ключевые вопросы, связанные с пактом Молотова-Риббентропа и бытующими в России и за рубежом представлениями о его последствиях. Правда ли, что советско-германский пакт о...»

«3 I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ История России периода империи насыщена яркими эпохальными страницами народной и государственной жизни, энергичной динамикой событий, противоречивым переплетением разнообразных социальных процессов. Среди них особое место занимает процесс формирования буржуазного общества, который определил исторический вектор общественной эволюции страны в XIX-XX в. Развитие России во второй половине XIX – начале ХХ в. обусловливалось влиянием обширных территорий и сложных...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.