WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«Дипломная работа на тему: Топология слоений Лиувилля интегрируемого случая Матвеева-Дуллина Выполнил: студент 5 курса Москвин Андрей Юрьевич Группа 503 Научный ...»

-- [ Страница 1 ] --

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ПРИЛОЖЕНИЙ

Дипломная работа на тему:

Топология слоений Лиувилля интегрируемого случая

Матвеева-Дуллина

Выполнил: студент 5 курса

Москвин Андрей Юрьевич Группа 503 Научный руководитель: профессор МГУ Фоменко Анатолий Тимофеевич Москва, 2007 §1. Введение В работах [1], [2], [3] А.Т. Фоменко, Х. Цишангом, А.В. Болсиновым, А.А. Ошемковым была развита теория о топологической классификации интегрируемых случаев с двумя степенями свободы. Был построен инвариант, который помогает классифицировать интегрируемые случаи с двумя степенями свободы с точностью до лиуиллевой эквивалентности. В [12] В.С. Матвеевым и Х.Р. Дуллиным найден новый интегрируемый случай.

В данной работе для случая Матвеева-Дуллина найдено множество критических точек и множество критических значений отображения момента, топология изоэнергетических поверхностей, особые точки векторного поля и их тип, количество критических окружностей в прообразе кривых бифуркационной диаграммы. На компьютере посчитаны индексы критических окружностей, и сделан вывод о типе грубых молекулах интегрируемого случая.

§2. Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях 2.1. Основные понятия симплектической геометрии. Ознакомиться с доказательствами утверждений из этого раздела можно в любой книге по симплектической геометрии. Допустим в [8].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Скобкой Пуассона на многообразии M n называется отображение {·, ·} : C (M n ) C (M n ) C (M n ) со свойствами:

1) {f + µg, h} = {f, h} + µ{g, h},, µ R линейность, 2) {f, g} = {g, f } кососимметричность, 3) {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 тождество Якоби.

Многообразие, снабженное скобкой Пуассона, будем называть пуассоновым.

Таким образом, все гладкие функции на пуассоновом многообразии со структурой скобки образуют алгебру Ли. Скобка Пуассона относительно каждой из переменных является оператором дифференцирования в пространстве функций C (M n ). Поэтому в локальных координатах она принимает упрощенный вид:

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. В любых локальных координатах (x1, x2,..., xn ) скобка Пуассона-Ли может быть заf g писана в виде: {f, g} = xi xj {xi, xj }.

Нетрудно проверить, функции ij = {xi, xj }, определяемые в локальных координатах на многообразии, образуют кососимметрический тензор типа (2, 0). Этот тензор называется тензором Пуассона. И, фактически, определить скобку Пуассона означает определить тензор Пуассона. Только следует понимать, что не всякий кососимметрический тензор типа (2, 0) может быть тензором Пуассона некоторой скобки. Этому препятствует тождество Якоби. Кососимметрический тензор типа (2, 0) на многообразии является тензором Пуассона некоторой скобки тогда и только тогда, когда qr iq ri ij + rj + qj = 0. (1) xj xj xj ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Симплектической структурой на гладком многообразии M называется дифференциальная 2-форма, удовлетворяющая двум условиям:

1) замкнута, т.е. d = 2) не вырождена в каждой точке многообразия, т.е. в любых локальных координатах det(x) = 0, где (x) = (ij (x)) матрица формы.

Многообразие, снабженное симплектической структурой, называется симплектическим.

Очевидно, что при таких ограничениях симплектическое многообразие может быть лишь четномерно. Коэффициенты матрицы 2-формы образуют кососимметрический тензор типа (0, 2) с двумя нижними индексами.

Поскольку симплектическая форма невырождена, ее можно обратить и получить кососимметрический тензор типа (2, 0) уже с двумя верхними индексами ij. Следовательно, на симплектическом многообразии можно f g ввести скобку следующим образом: {f, g} = xi xj ij. Несложно показать, что условие замкнутости симплектической формы в точности совпадает с условием (1). Таким образом, любое симплектическое многообразие является пуассоновым.

Примером пуассонова многообразия может служить любая коалгебра алгебры Ли. Если (x1, x2,..., xn ) координатные функции в коалгебре, а ck структурные константы алгебры, то скобку Пуассона можно ввести ij f g вполне естественным образом: {f, g} = cij xk xi xj. Тождество Якоби выполняется автоматически, поскольку ck k ij структурные константы некоторой алгебры Ли (не будем приводить здесь все выкладки). Тензор Пуассона коалгебры будет ck xk. Вообще говоря, тензор Пуассона должен иметь два верхних индекса, но в коалгебре ij принято координатные функции писать с нижними индексами, поэтому и получился тензор с двумя нижними индексами.

Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями алгебр Ли. Хотя бы с такими, как присоединенное, коприсоединенное действие группы, орбиты действия, форма Кириллова. Выше был приведен классический пример пуассонова многообразия. Следующее утверждение помогает ввести некоторый полезный для приложений класс симплектических многообразий.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Орбиты коприсоединенного действия группы Ли на своей коалгебре G все являются симплектическими многообразиями с канонической 2-формой формой Кириллова. Форма Кириллова есть ограничение тензора Пуассона коалгебры на орбиту. Скобку Пуассона на этих многообразиях можно считать следующим образом: если f, g две гладкие функции на орбите, продолжаем их произвольным образом до, g на всей коалгебре, тогда {f, g}(x) = {f, g }(x) гладких функций f Тензор Пуассона ij является тензором с верхними индексами, а для тензоров с верхними индексами, вообще говоря, нет естественного определения ограничения с многообразия на подмногообразие. В отличие от тензоров с нижними индексами. Но в случае пуассоновых многообразий есть общий метод, который все же позволяет провести ограничение тензора Пуассона на симплектические листы этого пуассонового многообразия. В нашем случае на орбиты. Причем это ограничение является невырожденным кососимметрическим тензором ij типа (2, 0) уже на орбите, а 2-форма, заданная матрицей ij, является замкнутой. Сам метод ограничения тензора Пуассона на орбиту описан в [5]. В дальнейшем в этой работе понадобится лишь знание о том, как устроена скобка Пуассона на орбитах. Причем утверждение 2 вполне достаточно, то есть сам метод ограничения тензора Пуассона с коалгебры на орбиту не потребуется.



2.2. Коалгебра Ли e(3). Применим все введенные выше конструкции к коалгебре Ли e(3) группы движений трехмерного пространства. Это шестимерная коалгебра. В ней можно ввести уже стандартные координаты Lx, Ly, Lz, x, y, z, в которых тензор Пуассона примет вид:

Переменные Lx, Ly, Lz принято называть импульсами. По тензору Пуассона можно понять, как устроена скобка Пуассона на этой коалгебре. На коалгебре e(3) есть две функции Казимира, то есть функции, коммутирующие относительно скобки со всем гладкими функциями на коалгебре. Это I1 = x2 + y 2 + z 2 ее принято называть геометрическим интегралом, и I2 = xLx + yLy + zLz интеграл площадей. А также для коалгебры e(3) верно следующее утверждение, показывающее, как она расслаивается на симплектические многообразия.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. При c1 0 : Mc1,c2 = {I1 = c1, I2 = c2 } орбита коприсоединенного действия группы.

Многообразия Mc1,c2, c1 0 являются четырехмерными симплектическими многообразиями, диффеоморфныvb кокасательному расслоению к двумерной сфере T S 2.

2.3. Интегрируемость по Лиувиллю. Рассмотрим динамические уравнения на пуассоновых многообразиях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Векторное поле v на многообразии M n, снабженном структурой скобки Пуассона, называется гамильтоновым с гамильтонианом H C (M n ), если для любой f C (M n ) : {f, H} = v(f ). В этом случае пишут v = sgrad H.

Или в локальных координатах Гамильтонова динамическая система на многообразии, снабженном пуассоновой структурой, имеет вид x = sgrad H. Или в локальных координатах xi = {xi, H}, i = 1, 2,.., n. Для интегралов гамильтоновых векторных полей верно следующее: F является интегралом гамильтонова векторного поля с гамильтонианом H тогда и только тогда, когда {F, H} = 0. В таком случае гамильтониан гамильтонова векторного поля всегда является интегралом этого поля. При этом скобка двух интегралов опять будет интегралом. Действительно, из тождества Якоби {{G, F }, H} = {F, {H, G}} + {G, {F, H}} = 0. Таким образом, множество интегралов гамильтонова векторного поля является подалгеброй алгебры Ли гладких функций. Эта подалгебра является максимальной, то есть непополняемой, и определяется одни гамильтонианом.

Перейдем к рассмотрению симплектических многообразий и гамильтоновых векторных полей на них.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Гамильтонова система v на симплектическом многообразии M 2n называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций f1, f2,..., fn таких, что:

1) f1, f2,..., fn первые интегралы v, 2) они функционально независимы на M 2n, то есть почти всюду на M 2n градиенты линейно независимы, 4) векторные поля полны, т.е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.

Оказывается, если на симплектическом многообразии M 2n есть вполне интегрируемая гамильтонова система, то в "компактном"случае это симплектическое многообразие может быть расслоено на n-мерные торы и особые слои. Об этом говорит нам следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Лиувилля). Пусть на симплектическом многообразии (M 2n, ) задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система v = sgrad H и T = {x M |fi (x) = i, i = 1, 2,..., n} регулярная неособая поверхность уровня интегралов f1, f2,..., fn. Тогда:

1) Если подмногообразие T связно и компактно, то T диффеоморфно n-мерному тору T n. Этот тор называется тором Лиувилля.

2) Слоение Лиувилля в некоторой окрестности U тора Лиувилля T тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению тора T n на диск Dn.

Ознакомиться с более подробной формулировкой и доказательством теоремы Лиувилля можно, допустим, в [3, том 1, глава 1].

2.4. Основные интегрируемые случаи. Вернемся к четырехмерным симплектическим многообразиям Mc1,c2, c 0 из раздела 2.2. При рассмотрении гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, т.е. при n = 2, для интегрируемости по Лиувиллю достаточно существование еще одного дополнительного, не зависящего от гамильтониана, интеграла.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
 



Похожие работы:

«ЧУДИЩЕ ОБЛО, ОЗОРНО, ОГРОМНО, СТОЗЕВНО И ЛАЙЯ. Рассказ эколога об атомной индустрии Иркутская региональная общественная организация Байкальская Экологическая Волна А.В. Яблоков ЧУДИЩЕ ОБЛО, ОЗОРНО, ОГРОМНО, СТОЗЕВНО И ЛАЙЯ. Рассказ эколога об атомной индустрии Иркутск 2009 УДК 577.391 ББК 28.081.28 Я 14 Издание осуществлено на средства экологической премии Голдмана, присуждённой в 2008 году Марине Рихвановой (Байкальская Экологическая Волна) Я 14 Яблоков А.В. ЧУДИЩЕ ОБЛО, ОЗОРНО, ОГРОМНО,...»

«МИНИСТЕРСТВО АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ СССР СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Главгосэкоэкспертиза Заместитель министра Госкомприроды СССР Е.В.Минаев Е.А.Решетников __1990 г. __1990 г. ВРЕМЕННЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К СТРУКТУРЕ И СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА ТЭО, ПРОЕКТА СТРОИТЕЛЬСТВА АТОМНОЙ СТАНЦИИ: ОЦЕНКА ВОЗДЕЙСТВИЯ АС НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ Директор института Курочкин В.И. Начальник БКП-2 Ермаков Ю.Г. Начальник отдела Минасян Р.Г. Москва - 1990 ОТВЕТСТВЕННЫЕ ИСПОЛНИТЕЛИ: Минасян Р.Г. Институт Атомэнергопроект...»

«24 декабря 2013 Мониторинг СМИ | 24 декабря 2013 года Содержание ЭКСПОЦЕНТР 23.12.2013 Телеканал Совета Федерации Вместе-РФ (vmeste-rf.tv). Новости эфира Спикер СФ посетила в Москве выставку-ярмарку народных промыслов России.6  Выставка-ярмарка народных художественных промыслов России традиционно проводится в канун новогодних праздников в Центральном выставочном комплексе ЭКСПОЦЕНТР. В этом году свои изделия представили более 1,5 тысяч организаций из разных регионов России 23.12.2013 Advis.ru....»

«Звук Безмолвия http://zvyk-bezmolviya.a5.ru Звук безмолвия - труд, выступающий в роле ключа, помогающим вспомнить хорошо известную вам, забытую истину. Познаваемую и осознаваемую нами не одним воплощением. Все знания внутри нас, но многие потеряли путь к этим глубинным подсознательным знаниям-Вселенского разума- нашего высшего Я. И память это путь к этой уже имеющейся информации, а не укоренение в новых знаниях. В процессе жизни мы по мере нашей готовности вспоминаем их через внешние источники,...»

«Глава 6. Глобальные проблемы. 6.1 Проблемы цивилизации. Сложилась парадоксальная ситуация: мировая цивилизация достигла поразительных высот и в то же время оказалась на краю пропасти. К общепланетарным проблемам относятся: бурный рост населения; обострение энергетического кризиса; нехватка продовольствия и нищета в слаборазвитых странах; эскалация этнических конфликтов и малые войны; возникновение эпидемий; разгул бандитизма и терроризма; религиозные конфликты; кризис культуры, нравственности,...»

«Любимая Родина Газета издается инициативной группой жителей поселений родовых поместий : Родное Ладное Мирное Заветное Солнечное Газета предназначена для взаимопонимания между людьми, живущими на одной территории, и обмена информацией Разговор о праздниках Мысль написать статью о праздниках появилась после щую определённый энергетический образ. Мысленно этот костёр прогорел, шаман выложил из углей дорожку метра в разговоров с людьми на праздновании Ивана Купала. образ помещают в центр круга....»

«Примерная основная образовательная программа высшего профессионального образования специальность 180405 Эксплуатация судовых энергетических установок Утверждена Постановлением Правительства РФ от 30.12.2009 г. № 1136 ФГОС ВПО утвержден приказом Минобрнауки России от 24.12.2010 г. №2060 Квалификация выпускника специалист Нормативный срок освоения программы пять лет Форма обучения - очная. Примерная образовательная программа (ПООП) по специальности 180405 Эксплуатация судовых энергетических...»

«Никакое будущее невозможно без прошлого. Дмитрий Медведев, Международный экономический форум в Санкт-Петербурге,...»

«Москва Эксмо 2007 От АВТОРА В каждом из нас от рождения живет неизбывная тяга к земле, ибо она не только дает нам пищу, но и дарит великую радость, позволяя пожинать плоды своего труда. Счастливчик, обладающий хотя бы небольшим приуса­ дебным участком, стремится облагородить его своим трудом. Но мало просто тщательно ухаживать за землей — нужно иметь солидный объем знаний. Только в этом случае огородник получает и удовольствие, и ощутимую при­ бавку к своему столу! Впрочем, не для всех...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.