«СЛОВО, ЧИСЛО И СЕМИОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЖИЗНИ Москва, 1999 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. БИОЛОГИЧЕСКАЯ БИЛИНГВА 2. ЧТО ТАКОЕ ЖИЗНЬ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ БИОЛОГА 3.НАТУРАЛИСТСКАЯ КНИГА О ...»

Пространственная природа чисел отчётливо проявилась уже в письменности Древнего Египта и Древнего Вавилона. В клинописи (рис.6) цифрами служат так называемые клинышки, величина числа есть количество клинышек. Таким образом, различие между знаком и значением сведено к минимуму; зрительно воспринимаемый пространственный знак - это почти то же, что и обозначаемое им количество; разумеется, различие между изображением и изображаемым всё же сохраняется. Клинопись адекватна природе чисел. Подобной гармонии знака и значения, определённой величины и цифры, нет в обычной удобной цифровой скорописи.

Зрительному восприятию доступны и вычисления клинописных чисел. Они воспринимаются как пространственные объединения пространственных же знаков (рис.6). В свою очередь, объединяемые знаки уже есть объединения, комбинации, других знаков. Подобная изобразительность только отчасти доступна древнеримской и современной цифровой письменности; но вместо клинышек в них поначалу были использованы пальцы рук.

Рис. 6. Клинописные цифры 1-9. Сложение обозначаемых клинышками чисел выглядит как пространственное объединение цифр.

Изобразительность пространственного знака лежит в основе иероглифической письменности, в какой-то мере удобной и понятной пока изображаются предметы, имеющие пространственную определённость, чёткие и выразительные очертания;

собственно иероглифы обозначают понятия, а не звуки. Принципиальные трудности возникают при попытке изобразить временные действия, состояния, процессы, в действительности не изобразимые. Песочные часы, например, могут служить символом времени, но они не изображают само время. Можно изобразить траекторию планеты за год, но невозможно изобразить сам год без траектории. Изображению поддаются пространственные следы времени, однако нельзя изобразить само время.

Любой письменный знак остаётся пространственным и вневременным в том смысле, что для изображения значения знаку не требуется времени. Письменный знак не может изобразить текущее время потому, что как песочные часы означает своим неподвижным изображением, пространственностью. То обстоятельство, что для речения и письма, для восприятия и усвоения значения устных и письменных знаков требуется время, относится к нам самим, к физиологии высшей нервной деятельности человека; но сами знаки тут непричем. Возьмем, к примеру письменный текст, и притом неважно какой именно, словесный или числовой. Значение текста остается вне времени; это нам требуется время, чтобы прочитать и понять смысл текста.

Разумеется, вид обычной цифры, её изобразительнось, и подразумеваемая ею внутренняя пространственность числа - не одно и то же. Больше того, пространственная изобразительность не только обычных, но и клинописных цифр на рис.6 подчинена требованиям удобства написания и лишь наводит на мысль о той внутренней пространственности, которая заключена в числах самих по себе.

Такое наивное видение чисел и вычислений как в клинописи, утрачено современной высокоабстрактной теорией чисел, которая вытеснила арифмологию и использует сложнейший аппарат едва ли не всей математики (Шафаревич,1993). Повидимому, это отразилось на арифметике. Ещё в начале нашего столетия застой в арифметике отмечал А.Пуанкаре (1983а). Примерно тогда же Н.Н.Лузин (1993) усматривал причины запутанного положения этой старейшей математической дисциплины в забвении её традиций и стремлении к униформизму.

Совсем иной, наивный подход к числу как чувственно осязаемому образу был свойственен античной, по преимуществу геометризованной математике (Лосев, 1993;

Шпенглер, 1993). В свою очередь, поводом для вынужденной геометризации послужило открытие эллинами несоизмеримости диагонали и стороны единичного квадрата (Аверин, Панов, 1971). Оно свидетельствовало об ограниченных возможностях натуральных чисел как средства изучения реальности.

Идеальным объектам, какими остаются числа, эллины поставили в соответствие реальные камешки и точки на песке. Если бы такого соответствия не существовало, то идеальные по своей природе числа не были бы пригодны для измерения реального пространства и счёта реальных предметов. Античная арифмология приземлена не меньше верований эллинов, их представлений о жизни Олимпийцев, погрязших в интригах и склоках.

Наглядные геометрические образы для натуральных чисел предложены Диофантом (Веселовский, 1947) и П.Флоренским (1916), однако внутренняя пространственность в самих числах открыта Никомахом, Теоном Смирнским, Ямвлихом (Жмудь, 1990; Flegg, 1984). Числа с доступной для изображения пространственностью получили название фигурных чисел - треугольные, квадратные, пирамидальные (тетраэдрические), пятиугольные и др. (Ван дер Варден, 1959; Матем.энцикл.словарь, 1988).

Так же как реальное и перцептивное пространства, фигурные числа имеют пространственность: 1-мерную протяженность в двоичных числах ("тропинка протянулась"), 2-мерное простирание в троичных числах ("поле простирается"), 3мерную обьемность ("колея заполнена водой)" в четверичных пирамидальных (тетраэдрических) числах. Для измерения такой пространственности служат эталонные двоица, троица и четверица. Таким образом "...арифметика делится на рассмотрение чисел линейных, плоских и объёмных..." (Прокл,1994: 113).

С одной стороны, такое видение множества единиц числа могло бы показаться условностью вроде объединения звёзд в созвездия. С другой стороны, оно естественно, потому что множество единиц числа осознаётся вместе с местом для их размещения. Воображаемому множеству точечных единиц числа отвечает изображение реальных точек, а воображаемой пространственности числа - реальное и перцептивное пространство (рис.7).

Эталонная двоица воображается и изображается как две точечные единицы.

Какие бы усилия мы над собой не предпринимали, две единицы нельзя вообразить и изобразить так, чтобы между ними не было отношения соседства, притом непосредственного. Отношение соседства точек, обозначенное стрелкой и есть протяженность (рис.7).

Величина эталонной протяженности в двоице равна одному соседству. В тройке, изображаемой и воображаемой как соседство, объединение (не сумма) двух двоиц, величина протяженности равна двум соседствам. Связность (цельность) двойственных чисел основана на объединённости единиц. Например, в двоице связность выражается в том, что у двух единиц имеется только одно общее и притом взаимное соседство. В тройке связность сохраняется ещё и потому, что средняя точка принадлежит обеим двоицам; только поэтому тройка и остаётся непосредственным соседством двух соседств. Опосредованные соседства точек и соседств впервые появляются в протяжённом числе 4. Симметрия двоицы есть симметрия точек и их единственного взаимного соседства, поэтому двоица имеет пространственную форму. В двоичной тройке имеется точечный центр симметрии опосредованно соседствующих точек и симметрия непосредованно соседствующих соседств. Таким образом, протяженность есть соседство точек.

Эталонная троица (не тройка) (рис.7) воображается и изображается как объединение трёх непосредственно соседствующих точек, двоиц. Они образуют треугольник. Вопреки всем ухищрениям, наше воображение не может создать иного образа непосредственного соседства трёх двоиц. Такое соседство протяжённых двоиц и есть простирание. В троице каждая точка принадлежит соседним двоицам, а каждая протяженность - двум соседним точкам; простирание же принадлежит троице в целом.

В этом выражается связность троицы. Величина простирания в троице равна одному простиранию. Простирание следующего за троицей треугольного числа 6, измеренного эталонной тройкой, равна 4 троицам. Связность треугольных чисел достигается не Рис.7. Фигурные числа: двоичные (одномерные) числа 2, 3, 4, троичные (двумерные) числа 3, 6, 10, четверичные (трехмерные, тетраэдрические) числа 4, 10, 20. Чтобы не перегружать рисунки часть соседств не изображена.

суммированием) единиц (в троице), единиц и соседств (в троичном числе 6), но и простираний (в троичном числе 10). В троичном числе 10 связность выражается в том, что через пунктированные простирания объединены 3 троичных числа 6. Свою симметрию троица получает от симметрии соседних двоиц: их оси симметрии, пересекаясь, образуют центр радиальной осевой симметрии троицы. Поскольку число есть объединение троиц, в обстройке вокруг срединной троицы центры симметрии размещены так, что сохраняется радиальная симметрия эталона - симметрия радиальных осевых симметрий трех троиц. Радиальная осевая симетрия троичных чисел задается симметрией эталонной троицы.

Эталонная четверица есть четыре непосредственно соседствующие троицы. Она воображается и изображается как тетраэдр или пирамида (рис.7). Иных геометрических образов для объединения 4 непосредственно соседствующих точек, и 4 соседствующих простираний наше воображение создать не может. Другой образ, квадрат с диагоналями, в действительности остаётся лишь проекцией тетраэдра на плоскость. Связность четверицы выражается в том, что каждое соседство (ребро) принадлежит двум соседним простираниям, каждая точка (вершина) принадлежит трём смежным протяженностям (граням). Симметрия четверицы задаётся радиальной осевой симметрией простираний, центр симметрии четверицы определяется как пересечение осей радиальной симметрии 4 простираний (граней). Последующие четверичные числа получится обстройкой вокруг эталонной четверицы, как вокруг троицы. Второе четверичное число, 10, складывается из 8 пирамид и тетраэдров (рис.7). При дальнейшй обстройке тетраэдрами (пирамидами) получится третье четверичное число, состоящее из 20 единиц. Оно образовано эталонными телами.

Связностью четверичные числа наделены не только вследствие объединённости точек (вершин) и соседств (ребер), но ещё и вследствие объединённости простираний (граней). В числе 10, например, смежные грани принадлежат сразу двум соседним телам.

Число 10 имеет центр симметрии в окружении центров симметрии 8 чисел (тел). Центр симметрии третьего пирамидального числа, 20, задаётся центрами симметрии окружающих центр эталонных тел.

Итак, в общем случае протяженность - это соседство 2 точек в эталоне и объединение соседних эталонных протяженностей. Простирание - это непосредственное соседство 3 протяженностей в эталоне и объединение соседних эталонных простираний. Обьемность - это непосредственное соседство 4 эталонных простираний в эталоне и объединение соседних обьемностей. Фигурные числа имеют дискретную величину, определяемую количеством протяженностей, простираний и обьемностей. Они наделены связностью, обладают формой, симметрия которой заложена в эталоне, и самоподобны в том смысле, что сохраняют свойства эталона в своих отдельных частях и в объединениях частей. Измерение фигурных чисел заключается не в измерении безразмерных точечных единиц, а в подсчете соседств между точками (для протяженности), между соседствами (для простирания), между простираниями (для обьемности). Поэтому если нас интересует не одна только величина, а пространственность чисел как прообразов реальных вещей, безразмерную точечную единицу не следует принимать в качестве настоящего числа - как это и делали эллины.

Хотя различия между эталонами, казалось бы, определимы в числах - количество непосредственных соседств, различия между ними принципиальны, качественны.

Простирание, например, нельзя определить величину обьемности. Простирание троицы нельзя превратить в обьемность четверицы, потому что число 3 (соседства) определяющее троицу, вообще неизменяемо. Его нельзя превратить, например, в (соседства): 3 и 4 - абсолютные единственности.

Значение числа - это не одна лишь величина, а пространственность как триединство величины (количество единиц), симметрии формы, связности (целостности) (рис.8).

Рис. 8. Триединое значение числа, три раздела математики, три способа соотнесения чисел.