WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 28 |

«Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи Москва Радио и связь 2003 УДК 621.396 Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и ...»

-- [ Страница 6 ] --

где: j = 1,...,2 L 1. Решая ее методом Крамера [1], получим общее решение системы в виде:

В силу произвольности hL1 (s2 ) положим его равным ( 1)2 L M 2 L (z1,..., z2 L 1, s1, s2 ), точностью до произвольного комплексного коэффициента будет иметь вид:

Заметим также, что нам нужно вычислить только L миноров, т.к. из анализа структуры матрицы (3.5) следует, что:

Таким образом, мы нашли значения неизвестных полиномов h0 (s ),..., hL 1(s ) в точках s1 и s2. Если M = 2 этого достаточно для оценки всех коэффициентов неизвестного векторного канала:

Для того чтобы найти решение системы для произвольного числа каналов, мы должны выполнить вычисления (3.9) в кольце C [s1, s2 ]. Поскольку решение системы (3.5) по формулам (3.9) не содержит операции деления, то мы получим решение с точностью до некоторого полинома g (s1, s2 ) C [s1, s2 ].

Поскольку полиномы hl (s1 ) и hl (s2 ) очевидно не имеют общих множителей, то неизвестный множитель g (s1, s2 ) мы можем найти как наибольший общий делитель полиномов M l ( z1,..., z 2 L 1, s1, s2 ) и M L +l (z1,..., z 2 L 1, s1, s2 ), используя, например алгоритм Евклида. Конечно такой алгоритм не имеет практического значения из-за больших вычислительных затрат.

Альтернативный путь состоит в формировании системы линейных уравнений для M значений полиномов канала hl (s1 ),..., hl (sM ).

h(s1,..., sM ) = (h0 (s1 ),..., hL 1(s1 ),..., h0 (sM ),..., hL 1(sM ))T. Тогда система линейных уравнений в матричной форме имеет вид:

где: Y(z1,..., z r, s1,..., s M ) (M 1) r L M комплексная матрица ранга Общее решение для коэффициентов канала может быть найдено далее по интерполяционной формуле Лагранжа:

где: Li (s ) - элементарные лагранжевы интерполяционные многочлены, определяемые формулой:

Т.о. в отсутствии шума алгоритм слепой идентификации канала сводится к вычислению базиса нуль-пространства матрицы Y(z1,..., z r, s1,..., s M ). Условия теоремы Т.2 обеспечивают единственность решения этой задачи, т.е. наличие единственного нулевого собственного числа и соответствующего ему единственного собственного вектора с точностью до комплексной константы, за счет строгого равенства rank (Y( z1,..., zr, s1,..., sM )) = ML 1.

Наличие аддитивного шума в матрице входных данных Y( z1,..., zr, s1,..., sM ) = Y( z1,..., zr, s1,..., sM ) + V (z1,..., zr, s1,..., sM ) создает условия, когда rank Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) может быть равен ML или может быть меньше (LM 1). В первом случае нуль-пространство матрицы состоит только из нулевого вектора, а во втором содержит несколько базисных векторов. Поэтому задача слепой идентификации может вообще не иметь решения или решение задачи становится неоднозначным.

Как уже отмечалось выше, в этом случае мы можем использовать стратегию метода наименьших квадратов, т.е. в качестве решения задачи для случая rank Y( z1,..., zr, s1,..., sM ) = ML взять собственный вектор, соответствующий минимальному по модулю собственному числу матрицы Y* (z1,..., zr, s1,..., sM )Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) :

В этом случае решение задачи всегда единственно и, как известно [10] минимизирует функционал Y(z1,..., zr, s1,..., sM )h(s1,..., sM ), при ограничении нормы h(s1,..., sM ) = 1.

Поскольку выбор числа уравнений и соответственно числа строк в матрице Y (z1,..., z r, s1,..., s M ) в отличие от традиционного подхода [13] в нашей интерпретации произволен, то мы можем выбрать их число строго равным (LM 1). Тогда rank Y( z1,..., zr, s1,..., sM ) ML 1 теперь уже за r = (L M 1) (M 1) целое только в частных случаях, то мы выбираем r как наименьшее целое, а r так, что (M 2) r + r = L M 1. Тогда:

Теперь мы можем решать задачу слепой идентификации векторного канала при наличии шума, используя алгоритмы точного решения однородной системы уравнений. При этом, поскольку нуль-пространства матриц Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) и Y* (z1,..., zr, s1,..., sM )Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) сов- падают, то решение, получаемое, например, по формулам (3.9) и решение вариационной задачи (3.15) совпадают с точностью до комплексного множителя, и являются нормальным псевдорешением однородной системы уравнений (3.12).

Несмотря на то, что формулы (3.9) дают явное решение, непосредственное их использование для нахождения численного решения однородной системы, задаваемой матрицей (3.16) нецелесообразно даже при сравнительно небольших размерах матрицы, поскольку требует вычисления (L M 1) определителей размера (L M 1). При этом, как известно [15], число операций комплексного деления и умножения при вычислении только одного определителя равно (L M 2) (L M 1)2 + (L M 1) + 3 3.

Поэтому более целесообразно использование алгоритмов имеющих меньшие вычислительные затраты.

Одним из таких методов может быть несколько модифицированный метод Перселла [15]. В рамках данного подхода мы интерпретируем систему однородных уравнений с матрицей (3.16) как условия ортогональности вектора h(s1,..., s M ) с (L M 1) линейно независимыми строками матрицы (3.16). При этом решение системы находится путем построения базисов подпространств унитарного линейного пространства C LM убывающих размерностей:

где: Rk - подпространство, состоящее из векторов, ортогональных к первым k строкам y1,..., y k матрицы Y(z1,..., zr, s1,..., sM ).

Базис подпространства Rk строиться из базиса подпространства Rk 1 в виде следующих линейных комбинаций:

Коэффициенты cik определяются из условия ортогональности строк матрицы Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) и вектора решения, в виде:



Для реализуемости процесса необходимо, чтобы скалярные произведения y k, e k 1 были отличными от нуля. Если k = 0, то в качестве баk зиса берется естественный базис в C LM : e1 = (1,0,...,0),..., e0 = (0,...,0,1).

Подпространство RLM 1 является нуль-пространством матрицы Y(z1,..., zr, s1,..., sM ), т.к. единственный базисный вектор этого подпространства ортогонален ко всем линейно независимым векторам y1,..., y LM 1 и является численным решением системы однородных уравнений, заданных матрицей (3.16).

Теперь рассмотрим вопрос о выборе значений формальных переменных z1,..., z r, s1,..., s M при формировании системы уравнений (3.12).

Ранее мы требовали, чтобы эти множества не содержали совпадающих значений. Если матрица Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) содержит отсчеты аддитивного шума, то выбор значений формальных переменных будет влиять на обусловленность матрицы и соответственно на погрешность алгоритма.

Поэтому мы должны выбрать различные значения формальных переменных z1,..., z r, s1,..., s M так, чтобы минимизировать в некотором унитарном пространстве переменных z1,..., z r, s1,..., s M функционал погрешности алгоритма слепой идентификации.

Анализ возмущений собственных векторов матриц произвольного вида со случайными коэффициентами задача крайне трудная и в полном объеме не решенная до сих пор.

Поэтому при анализе устойчивости решения проблемы собственных чисел и линейных уравнений обычно предполагается, что соответствующие решения непрерывно зависят от малых вариаций коэффициентов матрицы. Это позволяет оценить погрешность решения и сформировать некоторую систему чисел обусловленности, которая характеризует устойчивость системы уравнений к малым возмущениям коэффициентов.

Как мы уже отмечали выше алгоритмы данного раздела эффективны при малых значениях дисперсии шума. Поэтому мы с полным правом можем использовать при анализе погрешности теорию малых возмущений [14].

Y* (z1,..., zr, s1,..., sM )Y(z1,..., zr, s1,..., sM ) и соответствующее ей нормальное решение (3.12) h(s1,..., sM ). Тогда в соответствии с [15] относительную погрешность оценки собственного вектора, соответствующего нулевому сингулярному числу, можно оценить сверху с помощью следующего неравенства:

где • - спектральная норма матрицы, равная квадратному корню из максимального собственного числа, (•) - вариация, {i } - ненулевые собственные числа матрицы Y* (z1,..., zr, s1,..., sM )Y(z1,..., zr, s1,..., sM ), упорядоченные по возрастанию.

Используя свойство самосопряженности спектральной нормы, а также то, что:

получим следующее неравенство:

h(s1,..., sM ) h(s1,..., sM ) Y (z1,..., z r, s1,..., s M ) ранга (LM 1) по отношению к собственному вектору, соответствующему нулевому собственному числу в виде:

Положим теперь (Y(z1,..., zr, s1,..., sM )) V (z1,..., zr, s1,..., sM ). Тогда используя известные неравенства для спектральной нормы [15], относительную погрешность можно оценить следующим неравенством:

где параметр q 2 ( z1,..., z r, s1,..., sM ) имеет смысл отношения сигналшум.

Итак, для малых шумов погрешность оценки вектора значений полиномов канала h(s1,..., sM ) = (h0 (s1 ),..., h0 (sM ),..., hL 1(s1 ),..., hL 1 (sM ))T ограничена неравенством (3.19).

hT = h01),..., h0M ),..., hL 1,..., hLM1) мы в соответствии с интерполяционной формулой Лагранжа (3.13) можем найти оценку h в виде:

Известно, что если возмущена только правая часть невырожденной системы линейных уравнений, то возмущение решений этой системы ограничены следующим неравенством [14]:

где 2 (s1,..., s M ) - число обусловленности невырожденной матрицы VM (s1,..., sM ), которое в соответствии с [14] определяется следующим выражением:

Окончательно, используя (3.19) погрешность слепой оценки можно оценить следующим неравенством:

Т.о. значения формальных переменных z1,..., z r, s1,..., s M должны быть выбраны так, чтобы обеспечивать максимальное значение отношения сигнал шум и одновременно минимизировать значение чисел обусловленности 1 (z1,..., zr, s1,..., sM ) и 2 (s1,..., sM ).

Далее оценим сверху величину отношения сигнал-шум. Без потери общности положим, что r = r. Нетрудно показать, что если комплексные гауссовы отсчеты аддитивного шума независимы, имеют одинаковую дисперсию 2 и нулевое математическое ожидание, то:

Для мощности полезного сигнала мы можем использовать оценку сверху. Определим энергию l -го блока отсчетов полезного сигнала длины t на выходе k -го канала в виде:

Пусть энергия El, k = t P не зависит от номеров блока и канала. Тогда нетрудно показать справедливость следующего неравенства:

Т.о. из (3.20), (3.25) и (3.27) следует, что q 2 ( z1,..., z r, s1,..., sM ) имеет точную верхнюю грань по всем реализациям наблюдаемых отсчетов, независящую от значений формальных переменных z1,..., z r, s1,..., s M и равную отношению tq 2 = tP 2. Тогда (3.24) можно записать в виде:

При этом наибольший вклад в значение погрешности слепой оценки вносят именно числа обусловленности.

Т.о. для стационарной информационной последовательности выбор значений формальных переменных z1,..., z r, s1,..., s M можно провести минимизируя в некотором унитарном пространстве функционал в правой части неравенства (3.28).

Известно, что 2 (s1,..., sM ) 1, при этом равенство достигается, если матрица VM (s1,..., sM ) = cU, где U - унитарная матрица, c - некоторая константа. Положим соответственно si = exp( j 2i M ), i = 1,..., M, тогда легко убедиться, что в этом случае VM (s1,..., sM ) 1 ( z1,..., zr, s1,..., sM ) не столь очевидно в общем виде, поскольку матрица Y (z1,..., z r, s1,..., s M ) зависит от реализаций выходного сигнала.

Заметим, однако, что при значении t = r = r оценка канала, полученная алгоритмами, основанными на вычислении базиса нульпространства, вообще не зависит от значений переменных z1,..., z r. Действительно, в этом случае мы можем записать:

При t = r = r, для различных z1,..., z r квадратная матрица V (z1,..., zr ) имеет полный ранг, за счет линейной независимости строк.

нульпространство матрицы Y (z1,..., zr, s1,..., sM ) определяется Тогда только матрицей Y(s1,..., sM ).



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 28 |
 

Похожие работы:

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ по дисциплине НАУКИ О ЗЕМЛЕ Для студентов I курса Направление подготовки 020400.62 Биология Профиль: Биоэкология, Ботаника, Общая биология, Физиология человека Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения Очная Обсуждено на заседании кафедры Составители: ботаники 2013 г. к.б.н., доцент Иванова С.А., Протокол № к.б.н., ассистент Зуева Л.В. Заведующий кафедрой С.М. Дементьева Тверь 2013 2. Пояснительная записка Цели дисциплины: Формирование теоретических знаний и...»

«4. В поэме Медный всадник А. С. Пушкин так описывает наводнение XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года 1824 года, характерное для Санкт-Петербурга: Конкурс по астрономии и наукам о Земле Из предложенных 7 заданий рекомендуется выбрать самые интересные Нева вздувалась и ревела, (1–2 задания для 8 класса и младше, 2–3 для 9–11 классов). Перечень Котлом клокоча и клубясь, вопросов в каждом задании можно использовать как план единого ответа, И вдруг, как зверь остервенясь, а можно...»

«ПЯТЬ НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМ НАУКИ Рисунки Сидни Харриса Уиггинс А., Уинн Ч. THE FIVE BIGGEST UNSOLVED PROBLEMS IN SCIENCE ARTHUR W. WIGGINS CHARLES M. WYNN With Cartoon Commentary by Sidney Harris John Wiley & Sons, Inc. Книга рассказывает о крупнейших проблемах астрономии, физики, химии, биологии и геологии, над которыми сейчас работают ученые. Авторы рассматривают открытия, приведшие к этим проблемам, знакомят с работой по их решению, обсуждают новые теории, в том числе теории струн, хаоса,...»

«Сохань Ирина Владимировна ТОТАЛИТАРНЫЙ ПРОЕКТ ГАСТРОНОМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ (НА ПРИМЕРЕ СТАЛИНСКОЙ ЭПОХИ 1920–1930-х годов) Издательство Томского университета 2011 УДК 343.157 ББК 67 С68 Рецензенты: Коробейникова Л.А., д. филос. н., профессор ИИК ТГУ Мамедова Н.М., д. филос. н., профессор каф. философии Моск. Гос.Торгово-экономического ун-та Савчук В.В., д. филос. н., профессор ФсФ СПбГУ Сохань И.В. Тоталитарный проект гастрономической культуры (на С68 примере Сталинской эпохи 1920–1930-х годов). –...»

«АГРОСПРОМ 2010 руководитель проекта: с.В. Шабаев Технический директор: И.Н. Елисеев Коммерческий директор: Д.В. гончаров Технический редактор: И.с. Шабаев Дизайн обложки и верстка: Е.А. сашина Корректура: о.П. Пуля Отдел реализации: Тел.: (495) 730-48-30, 730-47-30 Факс: (495) 730-48-28, 730-48-29 E-mail: agrosprom@mail.ru agrosprom@list.ru Фролов А.Н. Производство мяса бройлеров. Практическое руководство. – М.: АгросПроМ, 2010. – 128 с: ил. В рационе современного человека одним из важнейших...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.