«Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи Москва Радио и связь 2003 УДК 621.396 Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и ...»

2) отсчеты информационной последовательности {xi }, таковы, что Доказательство:

Утверждение теоремы достаточно очевидно, если использовать эквивалентность условия на ранг матрицы H s и условия отсутствия общих корней у полиномов h1(z ),..., hM (z ) доказанного в Т3. Пусть в (2.19) t = или эквивалентно z = 0. Тогда если нам доступна (L M L M ) ковариационная матрица выходных отсчетов R y = M YL (0)YL (0), то:

условия следует, что R x = I 2 L 1, и R y = H S H*. Для известных R y и 2 первое условие теоремы гарантирует единственность решения задачи слепой идентификации.

Итак, как для случая детерминированной, так и статистической идентификации векторного канала присутствует условие отсутствия общих корней у полиномов h1(z ),..., hM (z ). Это означает, что для идентификации мы в полной мере используем перекрестные связи каналов. Естественно, что избавиться от этого ограничения, можно только решив задачу идентификации скалярного канала. С другой стороны отсутствие возможности использовать перекрестные связи каналов существенно обедняет возможности слепой идентификации, особенно в задачах детерминированной идентификации.

2.2. Идентифицируемость скалярного канала Пусть последовательность сигнальных блоков на выходе канала в полиномиальной интерпретации описывается выражением:

Рассмотрим необходимые условия детерминированной идентификации.

Теорема 5. Для идентифицируемости детерминированного скалярного канала необходимо, чтобы линейная сложность информационной последовательности была больше (2 L 2 ).

Запишем (2.2) для скалярного канала в виде:

Где y L (z ) = y0 ( z ),..., y L 1(z ) и X H, L ( z ) - полиномиальная ганкелева L L матрица, составленная из полиномов x0 (z ),..., x2 L 2 (z ). Если система идентифицируема, то необходимо чтобы rank (X H (L )) = L (Т1).

Нетрудно показать, что в этом случае rank X H, L (z ) = L для z C. Это означает, что для z C матрица X H, L ( z ) имеет обратную матрицу X 1, L ( z ) такую, что X1, L (z ) X H, L (z ) = I L. Пусть для фиксированного y L (z ) имеет место равенства:

Если система идентифицируема, то для (2.23) имеется только тривиальное решение X1H, L (z ) = cX2 H, L (z ) и h1 = 1 / c h2. Тогда должно быть, по крайней мере, так что:

где A(z ) - L L полиномиальная матрица полного ранга. Так как X1H, L (z ) и X2 H, L (z ) матрицы ганкелевой структуры, то (2.24) можно переписать в виде системы 2 L 3 однородных уравнений для неизвестных элементов матрицы A(z ). Поскольку равенство (2.24) справедливо для z C, рассмотрим 2 L сечений z1,..., z2 L, тогда:

где a( zi ) - вектор длины 2 L, составленный из коэффициентов первого и последнего столбца матрицы A(zi ). Эта система имеет единственное нетривиальное решение, если ранг матрицы ее коэффициентов равен 2 L 1. Нетрудно заметить, что главный минор этой матрицы порядка 2 L 1 det (X( z1,..., z2 L 1 )) 0 при выполнении условия теоремы (см. (2.6)).

Отсюда следует в частности, что A(z ) = cI L. Теорема доказана.

Итак, мы показали, что если X H, L ( z ) - ганкелева матрица, составленная из коэффициентов входной последовательности, линейная сложность которой больше 2 L 2 то B(z ) = X1H, L ( z ) A(z ) X2 H, L (z ) 0 для всех A(z ) cI L.

Однако этого условия недостаточно для слепой идентификации, поскольку равенство (2.24) может выполняться, если B(z ) h = 0. Т.е. помимо условия на информационную последовательность мы должны наложить дополнительные ограничения на вектор канала и результат взаимодействия канала с информационной последовательностью.

Обычно отправным пунктом для обеспечения слепой идентифицируемости скалярного канала по одной реализации служит предположение о конечности алфавита информационных символов. Для этого случая известна следующая теорема [7], которую мы приведем без доказательства.

Теорема 6. Если информационная последовательность принимает значения на множестве {± 1,±3,..., q 1} Z, то для идентифицируемости детерминированного скалярного канала достаточно, чтобы:

1) линейная сложность информационной последовательности была больше (2 L 2 ) ;

2) отсчеты канала h0,..., hL 1 были линейно независимы на подмножестве целых чисел 0,±1,±2,...,±2(q 1)2 L 1 LL / 2 (t0 L + 1)L, t0 - номер первого символа информационной последовательности, начиная с которого линейная сложность информационной последовательности больше L.

Доказательство теоремы можно найти в [7], более мягкие условия для канала в [8].

Статистическая идентификация предоставляет значительно более широкий диапазон возможностей для слепой оценки скалярного канала.

Прежде всего, отметим, что в общем случае наличия на входе канала последовательности с гауссовским распределением на выходе нам доступны только вектор математического ожидания и ковариационная матрица.

Поскольку математическое ожидание как правило равно нулю, то для стационарного гауссовского случайного процесса единственной статистической характеристикой является корреляционная функция или автокорреляционная последовательность.

Известно, что автокорреляция не содержит информации о фазе передаточной функции канала. Действительно оценку автокорреляции на выходе канала для белого шума на входе можно записать в виде:

где ry (z ) - полином, коэффициенты которого являются отсчетами автокорреляционной функции на выходе канала. Если априори известно, что все нули полинома канала находятся внутри (системы с минимальной фазой) или вне (системы с максимальной фазой) окружности единичного радиуса, то, зная ry (z ), мы можем идентифицировать канал. В общем случае для стационарного гауссовского входа идентификация невозможна.

Для негауссовских стационарных случайных последовательностей условие идентифицируемости можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 7. Для идентифицируемости скалярного канала достаточно, чтобы отсчеты информационной последовательности, при M{xi } = 0 и M xi x* = 2 (i j ), описывались негауссовыми расj пределениями.

Доказательство:

Обратное утверждение было доказано нами выше. Конструктивное доказательство фактически будет нами представлено в гл.4.

Аналогичное утверждение мы можем сформулировать для нестационарных по входу систем:

Теорема 8. Для идентифицируемости скалярного канала достаточно, чтобы независимые отсчеты информационной последовательноM{xi } = 0 имели по крайней мере нестационарную диссти, при Доказательство:

Убедимся в правоте данного утверждения рассмотрев более общий непрерывный случай [82].

Пусть модель системы описывается выражением (1.6).

Тогда в отсутствии шума, в соответствии с [90], мы можем записать наблюдаемый случайный процесс в виде следующего стохастического интеграла:

где: x( ) = d ( ) - стандартный комплексный «белый» шум, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией [90], x( ) = ( )x( ) - нестационарный случайный процесс.

Тогда корреляционная функция случайного процесса y (t ) имеет вид:

Возьмем двумерное преобразование Фурье от корреляционной функции B y (t1,t 2 ) :

информацию только о модуле передаточной функции системы h( ).

Во всех остальных случаях канал идентифицируем.

Запишем (2.28) в виде равенств отдельно для модуля и фазы B y (1,2 ) :

Фиксируя разность 1 2, получаем уравнения, как для модуля, так и для фазы передаточной функции, которые определяют её с точностью до комплексного множителя и некоторого постоянного временного смещения.

Утверждения теорем Т.7 и Т.8 могут быть распространены на случай, когда отсчеты информационной последовательности зависимы. Условия идентифицируемости и алгоритмы идентификации в данном случае представлены в гл.4.

МЕТОДЫ СЛЕПОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЕКТОРНОГО

КАНАЛА

3.1. Метод взаимных отношений Рассмотрим задачу слепой идентификации векторного канала. Условия слепой идентифицируемости канала для этого случая сформулированы в теоремах Т.2 и Т.4 для случаев детерминированной и статистической идентификации соответственно.

Алгоритмы слепой идентификации, рассматриваемые в данном разделе, основаны на свойстве взаимной симметрии выходных сигналов каналов, на входе которых присутствует одна и та же информационная последовательность. Данное свойство было использовано нами в доказательстве Т.2 при записи выражения (2.3).

В соответствии с этим свойством при выполнении условий теоремы Т.2 матричное уравнение (2.12) в отсутствии шума имеет единственное, с точностью до комплексного множителя, решение для любых различных чисел z1,..., z s.

Y( z1,..., z s ) является линейной оболочкой единственного базисного вектора hT = h(1),..., h (1),..., h(M ),..., h (M ) или что эквивалентно h является собL 1 L ственным вектором матрицы Y* (z1,..., z s )Y(z1,..., z s ), соответствующим нулевому собственному числу.

Наличие шума заставляет нас искать приближенное решение наилучшее, с точки зрения некоторого критерия качества.

Идентифицируемая система в этом случае описывается следующим выражением:

где vl(k ) (z ) полином степени (t 1) над полем комплексных чисел, образованный блоком из t отсчетов на выходе k -го канала.

Для небольших значений уровня шума весьма эффективным оказывается метод наименьших квадратов, в соответствии с которым [10]:

где: • 2 - евклидова векторная норма.

Эквивалентно, оценка канала h может быть получена из собственного вектора, связанного с наименьшим сингулярным значением матрицы Y* (z1,..., z s )Y(z1,..., z s ) [11]:

Метод слепой идентификации, описываемый выражениями (3.2) или (3.3) в несколько иной форме хорошо известен в литературе как «метод взаимных отношений» [12].

Метод был впервые предложен в [9], а также независимо рядом других авторов (см. библиографию в [13]).

В отличие от большинства известных статистических методов слепой идентификации [12], метод взаимных отношений является весьма эффективным для небольших выборок при большом отношении сигнал-шум.

В [9] методом моделирования показано, что данный метод дает оценку близкую к границе Рао-Крамера.

Главные недостатки метода, это необходимость точного знания длины канала L, а также необходимость работы в уравнениях (3.2) или (3.3) с разреженными матрицами большого размера.

Использование полиномиальных представлений позволит нам далее несколько упростить вычислительную структуру алгоритма взаимных отношений.

Для этого запишем выражение (2.3) в виде:

Использование свойства симметрии для решения уравнения (2.8) относительно неизвестных полиномов h0 (s ),..., hL 1(s ) означает, что мы должны выбрать их таким образом, чтобы полином симметричен по переменным s1 и s2.

Выберем 2 L 1 различных значений формальной переменной z1,..., z2 L 1. Тогда используя (2.8) мы можем записать 2 L 1 однородных линейных уравнений относительной L неизвестных полиномов h0 (s ),..., hL 1(s ).

В матричной форме, получим:

При выполнении условий теоремы Т2 полиномиальная матрица Y1(z1,..., z2 L1, s1, s2 ) имеет ранг 2 L 1, действительно:

Ранее при доказательстве теоремы Т2 мы показали, что ранг (2 L 1 2L 1) матрицы X(z1,..., z2 L 1 ) для любых различных z1,..., z2 L личных s1 и s2. Это условие эквивалентно условию 1) теоремы Т.2.

В отсутствии шума легко получить явное решение однородной системы уравнений (3.5). Так как, по условию теоремы Т.2, матрица Y1(z1,..., z2 L1, s1, s2 ) имеет ранг 2 L 1, то хотя бы один из ее миноров порядка 2 L 1 M i ( z1,..., z 2 L 1, s1, s2 ) i = 1,...,2 L - номер столбца, отличен от нуля. Пусть это будет M 2 L (z1,..., z2 L 1, s1, s2 ), тогда полагая значение полинома hL1 (s2 ) произвольным, получим следующую невырожденную систему 2 L 1 линейных уравнений с коэффициентами над полем C :