WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 28 |

«Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи Москва Радио и связь 2003 УДК 621.396 Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и ...»

-- [ Страница 4 ] --

Слепая проблема возникает здесь вследствие непредсказуемости и соответственно неопределенности формы возбуждающего импульса [144].

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СЛЕПОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

2.1. Идентифицируемость векторного канала Рассмотрим задачу слепой идентификации векторного канала, т.е.

канала со скалярным входом и векторным выходом. Условия слепой идентифицируемости канала обычно формулируются в отсутствии шумов.

При этом различают задачи статистической и детерминированной идентификации, имея в виду модель информационной последовательности.

С практической точки зрения это означает, что в случае детерминированной идентификации нам доступны одна или крайне ограниченное количество реализаций входного сигнала, для статистической идентификации мы имеем в принципе неограниченную выборку.

Под идентифицируемостью системы вслепую понимается возможность восстановления передаточной функции и/или импульсной характеристики канала с точностью до комплексного множителя только по выходным сигналам.

Пусть идентифицируемый канал описывается следующими выражениями:

В этом выражении: yl(k ) (z ) - полином степени (t 1) над полем комплексных чисел, образованный блоком из t отсчетов на выходе k -го канала, k = 1,..., M, l = 0,..., 1 - номер блока выходных отсчетов;

L = max{L1,..., LM } - максимальная длина векторного канала; xl (z ) - полином степени (t 1) над полем комплексных чисел, образованный блоком из t информационных отсчетов на входе канала.

Наша задача найти условия, которым должны удовлетворять информационная последовательность и отсчеты векторного канала, при выy( )(z ),..., y( (z )} h01),..., hL 1,..., h0M ),..., hLM1) и коэффициенты информационной последовательности.

Пример 1. Пусть M = 2 и пусть известно, что L = 2.

а) Если y (1) = (0,2,0,0), y (2 ) = (2,0,2,2 ) то задача слепой идентифиh (1) = (1,1), h(2 ) = (1,1) x = (1,1 1,1,1).

б) Если y (1) = (2,0,2,0 ), y (2) = (0,2,0,2), то задача слепой идентификации имеет, по крайней мере, два решения 1) h (1) = (1,1), h(2 ) = (1,1) и x = (1,1 1,1,1), 2) h(1) = (1,1), h(2 ) = ( 1,1) и x = (1,1 1,1,1).

Заметим, что если бы мы знали информационную последовательность, т.е. решали задачу классической идентификации, то в обоих случаях имелось бы единственное решение для канала.

Действительно пусть y (k ) = y0k ),..., y (k 1, тогда:

где: h (k ) = h0k ),..., hLk)1, X H (L ) - ганкелева матрица, составленная из отсчетов информационной последовательности. Тогда известна следующая теорема [3], являющиеся прямым следствием теоремы КронекераКапелли.

Теорема 1. Для идентифицируемости скалярного канала по известной информационной последовательности для любых значений h = h0,..., hL 1 необходимо и достаточно, чтобы rank (X H (L )) L.

Очевидно, что данная теорема устанавливает также необходимое условие для слепой идентификации.

В рассмотренном примере rank (X H (2 )) = 2 и соответственно имеется единственное нормальное решение для каждого канала при известном входе.

Однако как это видно из примера задача слепой идентификации требует значительно более жестких ограничений на информационную последовательность, чем задача классической идентификации.

Рассмотрим случай детерминированной идентификации векторного канала для M = 2 в полиномиальной интерпретации.

Анализируя структуру преобразования (2.1) легко заметить, что если = L, то справедливо следующее соотношение:

В этом уравнении 2 L неизвестных h01),..., hL 1, h02 ),..., hL21. Выберем 2 L различных значений формальной переменной z1,..., z 2 L. Тогда используя (2.3) мы можем записать 2 L однородных линейных уравнений относительной 2 L неизвестных коэффициентов канала.

В матричной форме, получим:

Y1(z1,..., z2 L )h = Для того, чтобы система линейных уравнений (2.4) имела единственное нетривиальное решение в соответствии с теоремой КронекераКапелли необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы Y1 (z1,..., z2 L ) был равен (2 L 1). Используя формулы (2.1) матрицу системы уравнений (2.4) можно представит в виде:

= X(z1,..., z2 L )H1,2.

Т.о. для идентифицируемости системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1) ранг (2 L 2 L 1) матрицы X( z1,..., z2 L ) равен (2 L 1), для любых различных z1,..., z2 L ;

Для того чтобы матрица H1,2 имела ранг (2 L 1) необходимо что бы нашелся не равный нулю минор порядка (2 L 1). Используя перестановку строк матрицу H1,2 для случая L2 L1 можно представить в виде:

Где T - матрица перестановки, Syl (h1(z ), h2 ( z )) это матрица Сильвестра, образованная коэффициентами полиномов h1 ( z ) и h2 (z ), которые det (Syl (h1(z ), h2 (z ))) = 0 только если полиномы h1 ( z ) и h2 (z ) имеют общий корень. Тогда если длина L2 = L, то главный минор матрицы (2.6) равен Первое условие содержит в себе еще два ограничения которые становятся более очевидны, если представить матрицу X( z1,..., z2 L ) в виде:

Где: Vt2 L (z1,..., z 2 L ) - матрица Вандермонда имеет ранг 2 L 1 если t 2 L 1, X H (2 L 1) - ганкелева матрица, составленная из отсчетов информационной последовательности.

Линейная сложность детерминированной последовательности это наименьшее значение D такое, что X H (D ) имеет полный ранг по столбцам или существуют такие не равные нулю одновременно j для которых:

Линейная сложность характеризует степень предсказуемости детерминированной последовательности ограниченной длины. Для того чтобы матрица X H (2 L 1) имела полный ранг по столбцам, линейная сложность информационной последовательности должна быть больше (2 L 2 ).



Теперь мы можем объяснить пример 1. В случае а) идентификация возможна, т.к. линейная сложность входной последовательности равна 3, в случае б) несмотря на то, что каналы не имеют общих нулей, идентификация неоднозначна т.к. линейная сложность входной последовательности равна 2.

Т.о. мы определили необходимые и достаточные условия идентифицируемости векторного канала для случая M = 2. Сформулируем этот результат в виде следующей теоремы, обобщив его на случай M 2.

Теорема 2. Для идентифицируемости детерминированного векторного канала необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1) полиномы h1(z ),..., hM (z ) не должны иметь общих корней;

2) линейная сложность информационной последовательности 3) длина информационной последовательности должна быть больше (4 L 3) или длина вектора данных больше (3L 2).

Доказательство:

Случай M = 2 был нами доказан. Докажем теперь общий случай.

Уравнение (2.3) для любой пары образованной i -м и j -м каналом имеет вид:

Среди этих уравнений нетривиальных и несовпадающих K = M (M 1) 2 для L M неизвестных. Из них мы всегда можем сформировать дополнительные, выбирая сечения z1,..., z s так что s K L M.

Запишем (2.8) в матричной форме, аналогично (2.4).

Yi ( z1,..., z s ) имеет размер ((M i ) s L M ) и Y(z1,..., z s ) соответственно Определим вектор hT = h01),..., hL 1,..., h0M ),..., hLM1), тогда (2.4) можно записать в виде:

Для однозначной идентификации необходимо и достаточно, что бы для любых различных чисел z1,..., z s ранг матрицы Y( z1,..., z s ) был равен Пусть H (i ) - тёплицева матрица вида:

rank (X ) = min{s K, (2 L 1) K }. Тогда в соответствии с неравенством Фробениуса и неравенством s K L M то rank (Y(z1,..., z s )) rank (H ).

Очевидно, что rank (H ) M L, поскольку легко проверить равенство Покажем, что при выполнении условия 1) rank (H ) = (M L 1).

Введем новые переменные vT = v01),..., v L 1,..., v0K ),..., vLK 1, так что имеют место следующие уравнения:

тогда уравнение Hh эквивалентно условию rank (H) = (K (2 L ) 1). Проведя элементарные преобразования по аналогии с (2.6) легко убедиться в справедливости последнего утверждения, для чего необходимо и достаточно выполнение условия 1). Теорема доказана.

Данная теорема (впервые сформулированная по видимому в [2,5]) играет ключевую роль в задачах слепой детерминированной идентификации векторных каналов.

Необходимые условия идентифицируемости, сформулированные в данной теореме, могут быть ослаблены. Возможно, что достаточные условия этой теоремы также могут быть ослаблены [5], но в этой области требуются дальнейшие исследования. Условия теоремы по существу гарантируют следующие интуитивные требования:

1) все каналы в системе должны отличаться друг от друга, например они не могут быть идентичны;

2) входная последовательность должна быть достаточно сложна.

Она не может быть нулевой, константой или одиночной синусоидой;

3) в наличии должно быть достаточно отсчётов выхода.

Сформулируем теперь важную теорему для решения задачи коррекции векторного канала.

Теорема 3. Если известен hT = h01),..., hL 1,..., h0M ),..., hLM1), то для однозначного решения задачи коррекции канала при любой информационной последовательности необходимо и достаточно, чтобы полиномы h1(z ),..., hM (z ) не имели общих корней или эквивалентно обобщенная матрица Сильвестра H S = H (1),..., H (M ) Доказательство:

YL ( z ) = y0 ) (z ),..., y L 1(z ),..., y0M )(z ),..., y LM1 (z ) ков X2 L 1(z ) = x0 ( z ),..., x2 L 2 (z ), тогда:

Для любого z если rank (H S ) = 2 L 1, то найдется единственный вектор X 2 L 1 (z ), являющийся решением системы уравнений (2.19).

Докажем эквивалентность условия на ранг матрицы H s и условия отсутствия общих корней у полиномов h1(z ),..., hM (z ) от противного.

Пусть rank (H S ) = 2 L 1. Нуль-пространство матрицы H s образовано линейно независимыми векторами V = (v1,..., v s ) C 2 L 1, где c11),..., c L )1,..., c1M ),..., cLM )1 корни полиномов h1(z ),..., hM (z ). Тогда очеM видно, что если найдется хотя бы один совместный корень c полиномов h1(z ),..., hM (z ), то найдется ненулевой вектор v = 1, c, c 2,.., c 2 L 2 принадлежащий нуль-пространству матрицы H s, т.е. ранг rank (H S ) 2 L 1.

Для доказательства обратного утверждения, т.е. если h1(z ),..., hM (z ) не имеют общих корней то rank (H S ) = 2 L 1, мы должны показать, что вектора, образованные совместными корнями полиномов образуют базис нуль-пространства матрицы H s. Для этого заметим, что если c1,..., cs совместные корни одиночной кратности h1(z ),..., hM (z ), то V - матрица Вандермонда, имеет ранг s. Если среди корней c1,..., cs будут кратные корни, то часть базисных векторов может быть сформирована, используя производные соответствующего порядка наибольшего общего делителя полиномов h1(z ),..., hM (z ). Более подробное доказательство можно найти в [4].

В задачах статистической идентификации условия идентифицируемости могут обсуждаться в более широком контексте. Например, если число доступных отсчётов на выходе канала бесконечно и вход - негауссовский стационарный случайный процесс, то система может быть идентифицирована точно по статистикам высшего порядка даже тогда, когда полиномы каналов имеют общие нули. Или, например, если на входе стационарный случайный процесс (в том числе и гауссовский) система может быть идентифицирована, если известны точно статистики второго порядка выхода и совместные нули полиномов каналов находятся внутри единичной окружности (условие минимума фазы) [6].

Сформулируем теперь условия, ограничивающие статистические методы слепой идентификации векторного канала. Рассмотрим условия статистической идентификации для случая, когда входная последовательность стационарна и число доступных отсчетов на выходе канала т.е. нам доступна статистика выхода любого порядка.

Теорема 4. Для возможности статистической слепой идентификации векторного канала достаточно выполнения следующих условий:

1) полиномы h1(z ),..., hM (z ) не должны иметь общих корней;



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 28 |
 

Похожие работы:

«АГРОСПРОМ 2010 руководитель проекта: с.В. Шабаев Технический директор: И.Н. Елисеев Коммерческий директор: Д.В. гончаров Технический редактор: И.с. Шабаев Дизайн обложки и верстка: Е.А. сашина Корректура: о.П. Пуля Отдел реализации: Тел.: (495) 730-48-30, 730-47-30 Факс: (495) 730-48-28, 730-48-29 E-mail: agrosprom@mail.ru agrosprom@list.ru Фролов А.Н. Производство мяса бройлеров. Практическое руководство. – М.: АгросПроМ, 2010. – 128 с: ил. В рационе современного человека одним из важнейших...»

«ПЯТЬ НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМ НАУКИ Рисунки Сидни Харриса Уиггинс А., Уинн Ч. THE FIVE BIGGEST UNSOLVED PROBLEMS IN SCIENCE ARTHUR W. WIGGINS CHARLES M. WYNN With Cartoon Commentary by Sidney Harris John Wiley & Sons, Inc. Книга рассказывает о крупнейших проблемах астрономии, физики, химии, биологии и геологии, над которыми сейчас работают ученые. Авторы рассматривают открытия, приведшие к этим проблемам, знакомят с работой по их решению, обсуждают новые теории, в том числе теории струн, хаоса,...»

«Сохань Ирина Владимировна ТОТАЛИТАРНЫЙ ПРОЕКТ ГАСТРОНОМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ (НА ПРИМЕРЕ СТАЛИНСКОЙ ЭПОХИ 1920–1930-х годов) Издательство Томского университета 2011 УДК 343.157 ББК 67 С68 Рецензенты: Коробейникова Л.А., д. филос. н., профессор ИИК ТГУ Мамедова Н.М., д. филос. н., профессор каф. философии Моск. Гос.Торгово-экономического ун-та Савчук В.В., д. филос. н., профессор ФсФ СПбГУ Сохань И.В. Тоталитарный проект гастрономической культуры (на С68 примере Сталинской эпохи 1920–1930-х годов). –...»

«4. В поэме Медный всадник А. С. Пушкин так описывает наводнение XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года 1824 года, характерное для Санкт-Петербурга: Конкурс по астрономии и наукам о Земле Из предложенных 7 заданий рекомендуется выбрать самые интересные Нева вздувалась и ревела, (1–2 задания для 8 класса и младше, 2–3 для 9–11 классов). Перечень Котлом клокоча и клубясь, вопросов в каждом задании можно использовать как план единого ответа, И вдруг, как зверь остервенясь, а можно...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ по дисциплине НАУКИ О ЗЕМЛЕ Для студентов I курса Направление подготовки 020400.62 Биология Профиль: Биоэкология, Ботаника, Общая биология, Физиология человека Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения Очная Обсуждено на заседании кафедры Составители: ботаники 2013 г. к.б.н., доцент Иванова С.А., Протокол № к.б.н., ассистент Зуева Л.В. Заведующий кафедрой С.М. Дементьева Тверь 2013 2. Пояснительная записка Цели дисциплины: Формирование теоретических знаний и...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.