«Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи Москва Радио и связь 2003 УДК 621.396 Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и ...»

Рассмотрим отображение H 1 : R n R n с координатными функциями вида [59]:

Fk |1...k 1( yk | y1,..., yk 1 ) - условная функция распределения случайной величины yk, Fk1( ) - обратная функция, соответствующая одномерной функции распределения случайной величины yk.

Как было показано в [133] система случайных величин {xk }k =1,...,n взаимно независима.

Введенное в [59,133] треугольное преобразование независимости, (7.6) фактически является вариантом преобразования введенного в работе [135], как преобразование исходной выборки в выборку значений равномерно распределенного на N-мерном единичном кубе случайного вектора.

Хорошо известно, что для гауссовских случайных векторов свойство независимости их компонент эквивалентно их некоррелированности.

Поэтому для каждого гауссовского вектора существует линейное преобразование ортогонализации, совпадающее с (7.6). В случае произвольного распределения компонент {yk }k =1,..., n преобразование (7.6) нелинейное.

В задаче АНК мы не имеем информации о функции распределения Fn ( y1,..., yn ), поскольку нам доступна только выборка значений случайного вектора y. Поэтому для построения преобразования независимости (7.6) мы можем идти двумя путями:

1) Если известен тип многомерного распределения вероятности обрабатываемых данных, то можно использовать явный вид преобразования независимости полученный для данного распределения. В настоящее время известны формулы преобразования для многомерных распределений Гаусса, Коши, Стьюдента [59,133,136-138]. Соответствующие параметры распределений в данном случае оцениваются по наблюдаемым координатам случайного вектора.

2) Если тип наблюдаемого многомерного распределения неизвестен, то в качестве основы для построения преобразований независимости могут быть использованы выборочные многомерные В большинстве случаев, мы не имеем информации о типе многомерного распределения наблюдаемых сигналов, поэтому рассмотрим путь построения (7.6) по выборочным статистикам.

Поскольку для построения преобразования независимости требуется непрерывность Fn ( y1,..., yn ), а также всех маргинальных распределений, то мы можем использовать аналогичный прием, что и при построении алгоритма слепого выравнивания, на основе выборочной оценки энтропии в п.6.5 (6.76), обобщив данный подход на многомерный случай в виде:

Теперь мы можем использовать формулу (7.6) для построения преобразования независимости.

Однако если n велико (на практике более 3-х), то в этом случае трудно получить достоверные оценки многомерных распределений с достаточной точностью.

Возможность построения преобразования независимости n-мерного случайного вектора с помощью парных преобразований независимости для негауссовских случайных векторов была найдена в [137].

Возможность такого построения очевидна в гауссовском случае. В [137] показано, что достаточным условием возможности построения преобразования независимости n-мерного случайного вектора с помощью парных преобразований независимости является свойство воспроизводимости условных квантилей многомерного распределения.

Fk |1...k 1( yk | y1,..., yk 1 ) определим следующими уравнениями:

где: символ “” над переменной означает ее исключение.

Будем говорить [137], что случайный вектор обладает свойством воспроизводимости условных квантилей размерности n-1 при сужении на одномерные условные квантили, если для любого i = 1,..., n и для любого k = 1,..., n такого, что для k i :

Далее будем считать, что случайный вектор обладает свойством воспроизводимости условных квантилей при сужении на все условные квантили меньшей размерности.

В работах [59,136,138] приведены примеры многомерных распределений, условные квантили которых обладают свойством воспроизводимости. Это распределения Гаусса, Стьюдента, Коши, Дирихле и некоторые типы сопряженных распределений.

Можно показать, что этим свойством обладает распределение случайного вектора полученного с помощью линейного однозначного отображения вектора с независимыми, произвольно, но одинаково распределенными компонентами.

В соответствии с [134] процедура “слепого” построения преобразования независимости n-мерного случайного вектора с помощью парных преобразований независимости может быть сведена к следующим этапам:

1) Пусть мы имеем набор реализаций n случайных величин {yk }k =1,...,n. По набору реализаций построим n-1 выборочных условных распределений Fk |1( yk | y1 ), k1. Получим набор реализаций n-1 случайных величин y1 m =1,..., n 1 используя преm 2) По набору реализаций y условных распределений Fk21 y1 | y1, k1. Получим набор реаk лизаций n-2 случайных величин y1 m =1,..., n 2 используя преm 3) Продолжая этот процесс, получим набор реализаций случайной величины y1 1 и соответствующую предыдущему этапу выбоn рочную функцию распределения F2|1 1 y2 2 | y1 2.

4) Используя полученный набор двумерных выборочных условных функций распределения преобразование независимости может быть построено как рекуррентная система равенств Одно из перспективных направлений развития современных систем ДЗЗ является синхронная съемка земной поверхности в различных диапазонах электромагнитного спектра. Совместная обработка многозональных оптических изображений, многочастотных и многополяризационных радиолокационных изображений, радиометрических изображений, перспективное направление исследований и практических приложений последнего времени.

Разработка технологий совместного анализа изображений различной природы включает в себя разработку методов визуализации, классификации, сегментации, сжатия данных. При этом, как правило, стремятся сократить число признаков автоматической классификации объектов, обеспечить их наглядное представление (визуализацию), сократить объемы хранимой информации.

Одним из методов анализа многомерных данных, применяемых для решения этих задач, является метод главных компонент (декоррелирующие преобразование).

Данный метод основан на линейном отображении вектора данных в вектор с некоррелированными компонентами, имеющими максимальную дисперсию (изменчивость). В зависимости от конкретного применения дальнейшему анализу подвергается или наиболее информативные (главные) компоненты (изображения), или весь декоррелированный вектор (векторное изображение).

В рамках данного метода, для получения соответствующего отображения используется только выборочная ковариационная матрица наблюдаемых отсчетов яркости различных изображений. Матрица декоррелирующего отображения формируется из собственных векторов ковариационной матрицы, а компоненты упорядочиваются в соответствии с убыванием соответствующих собственных значений.

Мощным инструментом для анализа совместного анализа изображений имеющих негаусову статистику могут стать преобразования (7.6), (7.11).

Блок-схема алгоритма обработки данных использующего преобразование независимости показана на Рис.7.1 [139]. На первом этапе осуществляется совмещение изображений различных датчиков на единую координатную основу. Затем по выделенным фрагментам проводится оценка многомерной плотности вероятностей и вычисляются соответствующие координатные функции. Далее осуществляется собственно преобразование.

В качестве иллюстрации нашего подхода приведем результаты эксперимента по совместной обработке многозональных оптических изображений, полученных камерой МК-4Ф спутника «Ресурс-Ф2» [139,140].

Основная цель эксперимента компенсировать зависимость между изображениями различных спектральных зон, возникающую, например вследствие неидеальности светофильтров. В данном случае задачу построения преобразования независимости можно интерпретировать как задачу слепой коррекции межзонных искажений.

Кроме этого ставилась задача увеличить информативность обрабатываемых изображений, за счет увеличения информационного содержания признаков.

Для обработки использован фрагмент изображения размером 10241024 пикселей в спектральных зонах с длинами волн: 510-600нм ( y1 ), 600-700нм ( y2 ), 700-850нм ( y3 ). Исходные изображения показаны на Рис.7.2, Рис.7.3, Рис.7.4 соответственно.

Предварительная обработка изображения состояла в пространственной коррекции с целью обеспечить совмещение всех 3-х изображений.

Оценка параметров геометрических преобразований выполнена корреляционным методом, а сама геометрическая трансформация выполнена по методу «ближайшего соседа».

Представленные на Рис.7.4, Рис.7.5, Рис.7.6 независимы компоненты существенно контрастируют, как с исходными изображениями, так и с компонентами, полученными в результате применения метода главных компонент (преобразования Карунена-Лоева). В частности ряд природных объектов, характеризующихся существенно отличным рассеянием в различных спектральных зонах, присутствует на различных компонентах:

присутствующие в речной воде взвеси органического происхождения (Рис.7.6), песчаные косы (Рис.7.5, Рис.7.7), небольшое облако (Рис.7.7).

Рис.7.2. Исходное изображение ( y1 ).

Рис.7.3. Исходное изображение ( y2 ).

Рис.7.4. Исходное изображение ( y3 ).

Рис.7.6. Компонента x2, x2|1.

Рис.7.7. Компонента x1|2.

Рис.7.7. Главная (первая) компонента преобразования Карунена-Лоева.

Рис.7.7. Вторая компонента преобразования Карунена-Лоева.

Рис.7.8. Условные квантили порядка 0.5 условных функций распределения В отличии от метода главных компонент, АНК обеспечил существенно более информативный набор признаков для земных покровов. Отчасти отличие этих методов характеризуется видом условных квантилей порядка 0.5 показанных на Рис.7.8. Линейный характер графиков в диапазоне примерно от 30 до 80 нормированной яркости говорит о том, что данные в этой области хорошо описываются гауссовой моделью и могут быть преобразованы в рамках метода главных компонент. Данные за пределами этого интервала имеют явно не гауссовскую природу. Поэтому применение АНК в данном случае представляется оправданным.

На Рис.7.6 и Рис.7.7 показан результат эксперимента по статистическому исключению объектов 2-й зоны из первой и наоборот. Данное преобразование имеет самостоятельный интерес, поскольку обеспечивает покомпонентную независимость. В частности объект небольшое облако как бы «вырезан» из 2-й зоны (Рис.7.6) и «перенесен» в 1-ю (Рис.7.7).

Предложенный в данном разделе метод АНК, использующий преобразование независимости [59], и ядерную оценку функции распределения вероятностей [131], естественно может быть использован и в других приложения АНК и СОС в целом. Недостатком этого метода является необходимость использования достаточно большой выборки.

Список литературы 1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975. – 431с.

2. Xu G., Liu H., Tong L., Kailath T. A least-squares approach to blind channel identification. – IEEE Trans. Signal Processing. - 1995. – Vol. SP-43, N 12. – P. 2982-2993.

3. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Красовского А.А. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

4. Serpedin E. Giannakis G. A simple proof of a known blind channel identifiability result // IEEE Trans. Signal Processing. - 1999. – Vol. SP-47, - N 2. – 5. Hua Y., Vax M. Strict identifiability of multiple FIR channels driven by an unknown arbitrary sequence // IEEE Trans. Signal Processing. - 1996. – Vol. SP-44, - N 3. – P. 756-759.

6. Никиас Х.Л., Рагувер М.Р. Биспектральное оценивание применительно к цифровой обработке сигналов // ТИИЭР. – 1987. - т.75, - №7. - C. 5Gustafson F., Wahlberg B. Blind equalization by direct examination of the input sequences // IEEE Trans. on Communications. - 1995. – Vol. SP-43, N 7. – P. 2213-2222.