WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 28 |

«Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи Москва Радио и связь 2003 УДК 621.396 Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и ...»

-- [ Страница 11 ] --

Пример 4.9. Пусть x( z ) кольцу C [z ] - случайный полином степени n 1, заданный случайным вектором с нулевым математическим ожиданием и независимыми компонентами. Тогда многообразие нулевой корреляции случайного полинома может быть факторизовано в объединение n 1 неприводимых многообразий:

Пример 4.10. Пусть x( z ) кольцу C [z ] - случайный полином перr01 0. Тогда вой степени, ковариация коэффициентов которого K1,1,0,0 (z1, z2 ) = r00 + r11z1z2 + r01(z1 + z2 ). Этот многочлен является приx водимым, только если r00 r11 r012 = 0. Что невозможно в силу свойств ковариации двух статистически связанных случайных величин, т.к.

r00 r11 r012. Т.о. в данном примере 1,1,0,0 (0 ) - неприводимо.

В рассмотренных примерах мы неявно использовали связь между неприводимыми многообразиями и простыми идеалами кольца полиномов. Для случая, когда многообразие порождается одним полиномом, его неприводимость эквивалентна просто неприводимости порождающего полинома. Если многообразие порождено набором полиномов, то его неприводимость связана с простотой соответствующего идеала (см. [57]).

4.2.2. Слепая идентификация канала, как решение системы полиномиальных уравнений Уравнение, связывающее полиномиальные кумулянты на входе и выходе идентифицируемой системы с пассивной паузой (Рис.1.3.б) можно записать в следующем виде:

K y k1,..., k r,m1,..., mr (z1, z2,..., zr ) = = h(z1 )k1...h(zr )k r h* (z1 )m1...h* (zr )mr K x k1,..., k r, m1,..., mr (z1, z2,..., zr ) + + K v k1,..., k r, m1,..., mr (z1, z2,..., zr ) В некоторых приложениях СОС, например, для систем связи, статистика передаваемого сообщения и аддитивного шума часто известна получателю. В этом случае, если бы мы имели точную оценку полиномиального кумулянта K y k1,...,kr,m1,...,mr (z1, z 2,..., z r ), то алгоритм идентификации сводился бы к элементарным операциям в кольце C [z1,..., zr ]. Конечно, нам доступны только выборочные статистики и в этом случае операция деления не всегда возможна, но кроме этого, для системы общего вида (Рис.1.3.а,г) полиномиальный момент выходного сигнала нельзя записать в виде линейных комбинаций полиномов в кольце C [z1,..., zr ] вида (4.72).

Для преодоления этих трудностей перепишем (2.21) в виде:

Тогда мы можем записать полиномиальные кумулянты выходной последовательности в кольце полиномов C [h0,..., hL 1, z1,..., zr ].

Уравнения для кумулянтов на входе и выходе системы можно записать, подставив (4.73) в (4.46). Например, для симметричных полиномиальных кумулянтов, эти уравнения имеют вид:

где: Fix,...,i (z1, z2,..., zr ) = cum xi1 (z1 )...xir (zr ).

Задавая различные точки в C r r = z1k ), z2k ),..., zrk ), k = 0,..., L из (4.74) получим систему L полиномиальных уравнений:

... hi1...hir Fi1x,...,ir z1(0),..., zr(0) + K rv z10),..., zr(0) и K ry z1,..., zr - выборочный полиномиальный кумулянт.

Данная система уравнений определяет аффинное многообразие f в C L и соответствующий ему идеал I = f 0,..., f L 1 в кольце полиномов C [h0,..., hL 1].

При решении системы (4.75) возможны два случая:

1) число решений конечно и не превосходит r L, т.е. многообразие (4.75) состоит из конечного множества точек в пространстве C L, или другими словами нульмерно;

2) число решений бесконечно, т.е. многообразие (4.75) является кривой, поверхностью или гиперповерхностью в C L, т.е. размерность его Этот факт хорошо известен в алгебраической геометрии как теорема Безу [67]. Идентифицируемость системы в данном случае тесно связана с вопросом о размерности многообразия f. Для алгебраически замкнутого поля (в нашем случае это так) размерность многообразия определяется аффинной функцией Гильберта идеала I f [57]. Определение размерности аффинного многообразия в общем случае довольно сложная задача.

Однако в большинстве случаев интуитивное представление о размерности геометрического объекта совпадает со строгим определением. Т.е. размерность точки – 0, кривой – 1, поверхности -2 и т.п.

В нашей задаче, при выполнении условий теорем статистической идентифицируемости канала Т.7 и Т.8, при соответствующем выборе r многообразия типа (4.75) обычно нульмерны, и имеют конечное множество решений.

Задача решения систем полиномиальных уравнений - это область современной математики тесно связанная с алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй, причем некоторые существенные результаты в этой области получены относительно недавно, что стимулировало работы по получению новых методов решения задач в приложениях. Примером этому являются результаты данной главы.

Для решения полиномиальных систем небольшой размерности используются методы, основанные на теории результантов. Простые примеры решения полиномиальных систем можно найти в [1], общую теорию результантов в [57,68]. Использование данных методов для систем общего вида ограничено их громоздкостью.

В соответствии с теоремой Гильберта «О конечной порожденности идеала» любой идеал кольца C[h0,..., hL 1 ] имеет конечное число порождающих полиномов, составляющих базис идеала.

Поэтому один из возможных путей решения (4.75) - это выбор более подходящих для решения системы базисных полиномов идеала I f ( ) - множество всех полиномов кольца C[h0,..., hL1] нули коздесь I f торых f ).

Обычно для решения подобных систем выбирают базис Грёбнера, который состоит из полиномов, содержащих последовательно исключенные переменные h0,..., hL 1 [57].



Данный подход сводится к методу Гаусса при решении систем линейных уравнений. К сожалению, метод крайне сложен с вычислительной точки зрения и не адаптирован к ошибкам задания коэффициентов. Более приемлемый вариант этого алгоритма описан в [63].

Другой путь основан на теореме Штеттера [69]. Если f нульмерно, то факторкольцо C[h0,..., hL 1 ] I как векторное пространство изоморфно конечномерному векторному пространству T s.

Факторкольцом C[h0,..., hL 1 ] I по идеалу I называется множество классов эквивалентности по отношению к сравнимости по модулю I, т.е.:

Этот факт позволяет решать систему полиномиальных уравнений методами линейной алгебры. Традиционный путь решения системы (4.75), это сведение её к задаче поиска собственных чисел и векторов линейных операторов специального вида, определенных на конечномерном векторном пространстве, соответствующему факторкольцу C [h0,..., hL 1] I [57].

Пространство T s образовано линейным многообразием всех мономов {, t 2, t3,..., t s }, принадлежащих дополнению мономиального идеала LT (I ) (идеал, порожденный старшими мономами полиномов из I ) [57].

Этот факт позволяет свести задачу (4.75) к задаче поиска собственных значений линейных операторов специального вида, определенных на Ts.

Теорема Штеттера, полученная относительно недавно, является обобщением известного подхода к вычислению корней полинома от одной переменной через собственные числа матрицы Фробениуса.

Пусть M g - матрица линейного оператора, отображающая T s T s так, что для любого полинома g T s найдется (s s ) матрица M g с элементами mi, j, i, j = 0,..., s 1 такими, что:

При этом, если j, j = 0,..., s 1 - собственные числа матрицы M g, и ( j ) = ( 0,..., L 1 ) одно из (r) L решений системы уравнений (4.75), то собственное пространство соответствующее ненулевому собственному числу j может быть построено с помощью собственного вектора (1, t2 ( ( j ) ),..., ts ( ( j )).

Т.о. найдя все различные ненулевые собственные числа матрицы M g и соответствующие им собственные вектора, мы получим все решения системы полиномиальных уравнений (4.75).

Недостатком данного метода является неопределенность выбора полинома g T s и неустойчивость решения при возмущении коэффициентов системы уравнений (4.75). Для преодоления последнего недостатка мы пользуемся далее методом регуляризации.

Т.о., используя полиномиальные статистики, мы свели решение задачи слепой идентификации к задаче решения систем полиномиальных уравнений от многих переменных [63,65].

Данный подход является обобщением подхода, основанного на использовании полиспектров (п. 4.1.1). Соответственно предложенному методу присущи и некоторые общие недостатки методов, использующих моментные и кумулянтные функции. Это, прежде всего медленная сходимость получаемых оценок. Однако, как мы покажем далее, в рамках используемого подхода мы будем иметь возможности дополнительной оптимизации параметров алгоритма.

Проиллюстрируем эти возможности на примере слепой идентификации скалярного канала с нестационарным входом по статистикам второго порядка. Запишем уравнение полиномиальных кумулянтов 2-го порядка, соответствующих модели системы вида (4.75) в виде:

В частности, если отсчеты входного сигнала некоррелированны, имеют нестационарную дисперсию i2 и нулевое математическое ожидание, то соответствующие полиномиальные моменты входной последовательности в (4.79) имеют вид:

Задавая различные точки в C 2, соответствующие значениям форk ) (k ) мальным переменных ( z1, z 2 ), k = 0,..., s 1 в (4.78), получим систему полиномиальных уравнений (4.75), связывающую искомые переменные h0, h1,..., hL 1.

Для идентифицируемой системы число решений конечно и не превосходит 2 L.

Заметим, что все полиномы системы уравнений (4.75) образованы мономами вида hi h j. Введем новые переменные {u1, u2,..., u s }, где систему (4.75) можно записать в виде системы линейных уравнений:

где: элементы матрицы P, pk,m = Fixm ), j (m ) z1k ), z2k ), а элементы вектора q, qk = K 2,0 z1, z2 K 2,0 z1, z 2. Если выполняются условия идентифицируемости, заданные теоремой Т.8, то система уравнений (4.81) совместна и ранг матрицы P равен s. Тогда найдется единственный вектор (1,..., s ), такой, что система (4.75), эквивалентна системе полиномиальных уравнений вида:

Для системы уравнений (4.82) легко определить мономы, принадлежащие дополнению мономиального идеала LT (I ), это 1, h0,...hL 1.

Пусть g = h0, тогда матрица M g имеет вид:

У такой матрицы только два собственных числа будут отличны от нуля, что соответствует 2-м решениям системы (4.75), отличающимся на постоянный множитель. Пусть - собственный вектор соответствующий ненулевому собственному числу матрицы M g, тогда оценка канала непосредственно дается ( 2,... L +1 ) компонентами вектора.

Поскольку вектор q системы (4.81) известен нам с погрешностью, вызванной аддитивным шумом и использованием выборочной ковариационной матрицы наблюдаемых сигналов, то решение системы будет сопровождаться погрешностью, величина которой зависит от отношения сигнал шум и числа реализаций сигнала, используемых для оценки ковариационной матрицы. Поэтому для решения системы (4.81) мы используем метод регуляризации Тихонова.

Как отмечалось выше, недостатком метода Штеттера является неопределенность выбора матрицы M g. Однако для решения простых систем полиномиальных уравнений типа (4.82) мы можем использовать базис Грёбнера.

Если система уравнений (4.82) совместна и ранг матрицы P равен где 1, 2,..., s единственное решение (4.81), а {u1, u2,..., u s } это, мономы в C [h0,..., hL 1 ].

Вычисляя базис Грёбнера идеала u1 1, u2 2,..., u s s, полуg1,..., g L, где образующие полиномы содержат последовачим идеал тельно исключенные переменные кольца C [h0,..., hL 1].

Конечно, теоретически возможно построение базиса Грёбнера идеала I непосредственно по полиномам f 0,..., f L 1, однако обычно вычисление базиса в кольце полиномов над полем комплексных чисел крайне трудная задача, особенно в общем виде, поэтому сведение множества формирующих полиномов идеала к полиномам более простого вида сложно переоценить.



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 28 |
 

Похожие работы:

«Сохань Ирина Владимировна ТОТАЛИТАРНЫЙ ПРОЕКТ ГАСТРОНОМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ (НА ПРИМЕРЕ СТАЛИНСКОЙ ЭПОХИ 1920–1930-х годов) Издательство Томского университета 2011 УДК 343.157 ББК 67 С68 Рецензенты: Коробейникова Л.А., д. филос. н., профессор ИИК ТГУ Мамедова Н.М., д. филос. н., профессор каф. философии Моск. Гос.Торгово-экономического ун-та Савчук В.В., д. филос. н., профессор ФсФ СПбГУ Сохань И.В. Тоталитарный проект гастрономической культуры (на С68 примере Сталинской эпохи 1920–1930-х годов). –...»

«ПЯТЬ НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМ НАУКИ Рисунки Сидни Харриса Уиггинс А., Уинн Ч. THE FIVE BIGGEST UNSOLVED PROBLEMS IN SCIENCE ARTHUR W. WIGGINS CHARLES M. WYNN With Cartoon Commentary by Sidney Harris John Wiley & Sons, Inc. Книга рассказывает о крупнейших проблемах астрономии, физики, химии, биологии и геологии, над которыми сейчас работают ученые. Авторы рассматривают открытия, приведшие к этим проблемам, знакомят с работой по их решению, обсуждают новые теории, в том числе теории струн, хаоса,...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ по дисциплине НАУКИ О ЗЕМЛЕ Для студентов I курса Направление подготовки 020400.62 Биология Профиль: Биоэкология, Ботаника, Общая биология, Физиология человека Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения Очная Обсуждено на заседании кафедры Составители: ботаники 2013 г. к.б.н., доцент Иванова С.А., Протокол № к.б.н., ассистент Зуева Л.В. Заведующий кафедрой С.М. Дементьева Тверь 2013 2. Пояснительная записка Цели дисциплины: Формирование теоретических знаний и...»

«4. В поэме Медный всадник А. С. Пушкин так описывает наводнение XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года 1824 года, характерное для Санкт-Петербурга: Конкурс по астрономии и наукам о Земле Из предложенных 7 заданий рекомендуется выбрать самые интересные Нева вздувалась и ревела, (1–2 задания для 8 класса и младше, 2–3 для 9–11 классов). Перечень Котлом клокоча и клубясь, вопросов в каждом задании можно использовать как план единого ответа, И вдруг, как зверь остервенясь, а можно...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.